专题3 微重点7 子数列与增减项问题 （课件）-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考基础版）

微重点7　子数列与增减项问题 专题一　函数与导数 子数列问题(包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列. 内容索引 考点一 考点二 考点三 奇数项、偶数项 两数列的公共项 数列有关增减项问题 专题强化练 奇数项、偶数项 考点一 例1 　　(2023·新高考全国Ⅱ)已知{an}为等差数列，bn＝ 　　　　　记 Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d， 则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6， 解得a1＝5，d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n＋3. (2)证明：当n>5时，Tn>Sn. 当n为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1， 因此Tn>Sn. 因此Tn>Sn. 综上，当n>5时，Tn>Sn. 因此Tn>Sn， 当n为奇数时，若n≥3， 显然T1＝b1＝－1满足上式， 因此Tn>Sn， 所以当n>5时，Tn>Sn. 规律方法 (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型 ①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； ②含有(－1)n的类型； ③含有{a2n}，{a2n－1}的类型； ④已知条件明确的奇偶项问题. (2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 跟踪演练1 　　　(2023·北京朝阳区模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝ ，等比数列{bn}满足b2＝a2，b3＝a3＋1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 当n≥2时， 又当n＝1时，a1＝S1＝1也成立， 所以an＝n， 所以b2＝a2＝2，b3＝a3＋1＝4， 所以bn＝2n－1. 所以数列{cn}的前20项和T20＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c19＋c20 ＝－1·21＋2·21－3·23＋4·23－…－19·219＋20·219 ＝21＋23＋25＋…＋219 考点二 两数列的公共项 例2 　　已知数列{an}的前n项和Sn＝　　　，{bn}为等比数列，公比为2，且b1，b2＋1，b3为等差数列. (1)求{an}与{bn}的通项公式； 当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1， 当n＝1时，上式也成立， 所以an＝3n－1. 依题意，b1＋b3＝2(b2＋1)， b1＋b1·22＝2(b1·2＋1)，解得b1＝2，所以bn＝2n. (2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn. 数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为21,23,25,27，…， 所以21,23,25,27，…构成首项为2，公比为4的等比数列， 规律方法 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数. 跟踪演练2 　　　(2023·邵阳模拟)数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构 成一个新数列{an}，数列{bn}满足bn＝　，则数列{bn}的最大项等_____. 数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列为1,7,13，…，该数列是首项为1，公差为6的等差数列， 所以当n≥2时，bn＋1－bn<0，即b2>b3>b4>…， 考点三 数列有关增减项问题 例3 　　(2023·无锡模拟)设等比数列{an}的首项为a1＝2，公比为q(q为正整数)，且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2－(3＋bn)n＋ ＝0(t∈R，n∈N*). (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 由题意，可得6a3＝8a1＋a5， 所以6q2＝8＋q4， 解得q2＝4或q2＝2(舍)，则q＝2， 又a1＝2，所以an＝2n. 得bn＝2n. (2)当{bn}为等差数列时，对每个正整数k，在ak与ak＋1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和，试求T100. 因为b1＝2，所以a1与a2之间插入2个2， b2＝4，所以a2与a3之间插入4个2， b3＝6，所以a3与a4之间插入6个2， … 则{cn}的前100项，由90个2，a1，a2，a3，…，a9，a10构成，所以T100＝(a1＋a2＋…＋a10)＋2×90 规律方法 解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意，要弄清楚增加了(减少了)多少项，增加(减少)的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加(减少)部分分别求和，再相加(相减)即可. 跟踪演练3 　　　已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列{an}中，a1＝b1，a4＝b8. (1)求{bn}与{an}的通项公式； ∵Sn＝n2＋n， ∴当n≥2且n∈N*时，bn＝Sn－Sn－1＝2n. 又b1＝S1＝2也符合上式，∴bn＝2n. ∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16， ∴等比数列{an}的公比为2，∴an＝2n. ∵a1＝2，a2＝4，a3＝8， a4＝16，a5＝32，b25＝50， ∴c1＋c2＋…＋c20 ＝(b1＋b2＋…＋b25)－(a1＋a2＋…＋a5) ＝S25－(21＋22＋…＋25) (2)若{bn}中去掉{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前20项和. 专题强化练 1 2 3 4 1.(2023·岳阳模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，其公比q≠－1， ，且S4＝a3＋93. (1)求数列{an}的通项公式； 34 1 2 3 4 因为{an}是等比数列，公比为q≠－1， 则a4＝a1q3，a5＝a1q4，a7＝a1q6，a8＝a1q7， 1 2 3 4 (2)已知bn＝ 求数列{bn}的前2n项和T2n. 36 1 2 3 4 T2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋ (b2＋b4＋…＋b2n) ＝－(1＋3＋…＋2n－1)＋(32＋34＋…＋32n) 1 2 3 4 2.(2023·怀化模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，a2＝5，Sn＋1＝Sn＋an＋4，{bn}是等比数列，b2＝9，b1＋b3＝30，公比q>1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 1 2 3 4 由Sn＋1＝Sn＋an＋4， 可得an＋1－an＝d＝4，又a2＝5，即a1＋d＝5， ∴a1＝1，故an＝1＋(n－1)×4＝4n－3. ∵{bn}是等比数列，由b2＝9，b1＋b3＝30，q>1， 即bn＝3n. 1 2 3 4 (2)数列{an}和{bn}的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求T20＝c1＋c2＋c3＋…＋c20. 由(1)知a20＝77，令bn<77，则n＝1,2,3， ∴ b1＝3，b2＝9，b3＝27在新数列{cn}的前20项， ∵a3＝9与b2＝9为公共项， ∴前20项中有18项数列{an}中的项以及b1，b3. T20＝a1＋a2＋a3＋…＋a18＋b1＋b3 1 2 3 4 3.(2023·郴州模拟)已知数列{an}，a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an. (1)求数列{an}的通项公式； ∵nan＋1＝(n＋1)an， 1 2 3 4 (2)已知数列 的前n项和为Tn，cn＝[Tn](取整函数[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]＝2)，求数列{cn}的前100项的和M100. ∴Tn＝(log22－log21)＋(log23－log22)＋…＋ [log2(n＋1)－log2n]＝log2(n＋1)， 则cn＝[Tn]＝[log2(n＋1)]， ∴M100＝[log22]＋[log23]＋…＋[log2101]， ∵[log22]＝[log23]＝1， [log24]＝[log25]＝[log26]＝[log27]＝2，…， [log264]＝…＝[log2101]＝6， ∴M100＝2×1＋22×2＋…＋25×5＋38×6＝486. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.(2023·天津模拟)设数列{an}的前n项和为Sn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*. (1)求{an}的通项公式； 由Sn＝(n－1)2n＋1＋2，得a1＝2， Sn－1＝(n－2)2n＋2(n≥2)， 两式相减得an＝n·2n， 当n＝1时，代入上式，求得a1＝2， 所以an＝n·2n(n∈N*). 1 2 3 4 (2)若bn＝ ，抽去数列{bn}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n－2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，求{cn}的前101项和T101. 1 2 3 4 所以数列{cn}为22,23,25,26,28,29，…， 它的奇数项组成以4为首项，8为公比的等比数列； 偶数项组成以8为首项，8为公比的等比数列， 46 而bn＝ 于是 方法一　由(1)知，Sn＝＝n2＋4n， bn＝ Tn＝·＝n2＋n， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0， 当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－[4(n＋1)＋6]＝n2＋n－5， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0， 方法二　由(1)知，Sn＝＝n2＋4n， bn＝ 当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn) ＝·＋·＝n2＋n， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0， 则Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝·＋·＝n2＋n－5， 因此当n为奇数时，Tn＝n2＋n－5， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0， an＝Sn－Sn－1＝－＝n， 所以等比数列{bn}的公比为＝2，b1＝＝1， (2)若cn＝求数列{cn}的前20项和T20. 因为cn＝ 即cn＝ ＝＝(410－1). 由Sn＝， 所以cn＝2×4n－1，则Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＝(4n－1－1). 所以an＝6n－5，所以bn＝， 因为bn＋1－bn＝－＝， 又b1<b2，所以数列{bn}的最大项为第二项，其值为. bn 由2n2－(3＋bn)n＋bn＝0， ＝＋180＝2 226. ＝252＋25－＝650－62＝588. ＝ 所以＝＝＝，解得q＝3， 由S4＝a3＋93，可得＝9a1＋93，解得a1＝3，所以数列{an}的通项公式为an＝3n. ＝(9n－1)－n2. 由(1)得bn＝ ＝－＋ ∴ 解得 ＝18×1＋×4＋3＋27＝660. ∴＝(n≥1)，故为常数列， ∴＝＝1，∴an＝n. ∵an＝n，∴log2＝log2(n＋1)－log2n， 所以T101＝(c1＋c3＋c5＋…＋c101)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c100)＝ ＋ ＝＋＝. 由题知，bn＝＝2n， $$