1.1.1 同底数幂的乘法 课件 2024—2025学年北师大版七年级数学下册

第一章 整数的乘除 七下（北师大版） 1.1.1 同底数幂的乘法 1.经历探索同底数幂的乘法运算法则的推导过程. 2.理解并掌握同底数幂的乘法法则. 3.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算，并解决一些实际问题. 学习目标 新课引入 1. an 表示什么意义？ an=a×a×a×···a n个a 乘方运算 乘法运算 an 幂 底数 指数 求n个相同因数的积的运算叫作______；乘方的结果叫作______. 乘方 幂 2. 将下列各式写成乘方的形式，指出底数和指数. ①2×2×2×2=________. ②(-3)×(-3)×(-3)=________. ③a·a·a·a·a=________. ④a·a·····a=________. m个a 24 底数是2，指数是4 (-3)3 底数是(-3)，指数是3 a4 底数是a，指数是4 am 底数是a，指数是m 光在真空中的传播速度约为3×108m/s. 太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年. 比邻星与地球之间的距离大约是 3×108×3×107×4.22=37.98×(108×107)(m). 一年以 3×107s计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米? 可是 108×107等于多少呢? 光在真空中的传播速度约为3×108m/s. 太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年. 探究 观察这个算式，两个因式有何特点？ 108×107 我们观察可以发现，108 和107 这两个因数底数相同，是同底的幂的形式. 所以我们把108 ×107这种运算叫做同底数幂的乘法. 新知学习 根据乘方的意义可知 108 ×107 = = =108+7 =1015. (乘方的意义) (乘法的结合律) (乘方的意义) (1) 102×103=10 ( ) =(10×10) ×(10×10×10) =10×10×10×10×10 =105 (2) 105×108=10( ) =(10×10×10×10×10) ×(10×10×10×10×10×10×10×10) =10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10 =1013 5 13 尝试·思考 1. 计算下列各式. (3) 10m× 10n =10( )（m，n 都是正整数） =(10×10×10×…×10) m个10 ×(10×10×10 ×…×10) n个10 =10×10×…×10 (m+n)个10 =10m+n m+n 2. 2m×2n 等于什么？ 2m×2n = 2( m+n) 3. ( )m×( )n 和( -3 )m×( -3 )n 呢(m、n都是正整数)？ （ ）m×（ ）n = ( m+n) （-3）m×（-3）n =（-3）( m+n) am·an =(a·a·…a) 个a (a·a·…a) 个a =(a·a·…a) 个a =a( ) (乘方的意义) (乘法的结合律) (乘方的意义) m n m+n m+n · 尝试·交流 如果m、n都是正整数，那么am·an等于什么？为什么？与同伴进行交流. am · an = am+n (m、n都是正整数). 同底数幂的乘法法则： 即同底数幂相乘， 底数 ，指数 . 不变 相加 例1 计算： (1) (-3)7×(-3)6； (2) (3) -x3 • x5； (4) b2m • b2m+1 解：(1) (-3)7×(-3)6= (-3)7+6 = (-3)13; (3) -x3 · x5= -x3+5 = -x8 ; (4) b2m · b2m+1 = b2m+2m+1 = b4m+1. (2) 提醒：计算同底数幂的乘法时，要注意算式里面的负号是属于幂的还是属于底数的． 变式 计算：(1)(x－y)2 ·(x－y)·(x－y)5； (2)(a＋b)2 · (a＋b)5； (3)(x＋3)3 ·(x＋3)5 ·(x＋3)． 解：(1)(x－y)2·(x－y)·(x－y)5＝(x－y)2＋1＋5＝(x－y)8； (2)(a＋b)2·(a＋b)5＝(a＋b)2＋5＝(a＋b)7； (3)(x＋3)3·(x＋3)5·(x＋3)＝(x＋3)3＋5＋1＝(x＋3)9. 易错警示 1. 同底数幂相乘时，底数不变，指数是相加的； 2. 不能忽略指数为 1 的情况； 3. 公式中的a可为一个数、单项式或多项式，如： (x－y)m · (x－y)n = (x－y) m+n . 方法总结 例2 填一填：若 xm = 3 ，xn = 2，那么： （1）xm+n = × = × = ； （2）x2m = × = × = ； （3）x2m+n = × = × = . xm xn 6 3 2 xm xm 3 3 9 x2m xn 9 2 18 当幂的指数是和的形式时，可逆用，即 am+n=am·an (m，n都是正整数)，然后把幂作为一个整体代入变形后的幂的运算式中求解． 思考·交流 类比同底数幂的乘法法则 am · an = am+n (m、n都是正整数) 等于什么呢？为什么？与同伴进行交流. am · an · ap am· an· ap = am+n+p (m、n、p都是正整数) 例3 光在真空中的速度约为3×108 m/s，太阳光照射到地球上大约需要 5×102 s．地球距离太阳大约有多远？ 解：3×108×5×102 =15×1010 = 1.5×1011 (m). 答：地球距离太阳大约有1.5×1011 m. 1.下列各式的结果等于26的是( ) A. 2+25 B. 2·25 C. 23·25 D. 0.22· 0.24 B 2.下列计算结果正确的是( ) A. a3 · a3=a9 B. m2 · n2=mn4 C. xm · x3=x3m D. y · yn=yn+1 D 随堂练习 （1）x2 · x5 ; （2）a · a6; 解： x2 · x5= x2+5 =x7 ； 解：a · a6= a1+6 = a7; （3）(-2) × (-2)4 × (-2)3; （4） xm · x3m+1. 解：(-2) × (-2)4 × (-2)3 = (-2) 1+4+3 = (-2)8 = 256; 解：xm · x3m+1= xm+3m+1 = x4m+1. 3. 计算： (5) (a+b)4 · (a+b)7 ; (6) (m-n)3 ·(m-n)5 ·(m-n)7 ; (7) (x-y)2·(y-x)5. 解： (a+b)4 · (a+b)7 = (a+b)4+7 = (a+b)11； 解： (m－n)3 ·(m－n)5 ·(m－n)7 =(m－n)3+5+7=(m－n)15； (x－y)2·(y－x)5=(y－x)2·(y－x)5=(y－x)2+5=(y－x)7. (1) 已知an-3·a2n+1=a10，求 n 的值; (2) 已知xa=2，xb=3，求 xa+b 的值. 公式逆用：am+n=am·an 解：n-3+2n+1=10，n=4; 解：xa+b=xa·xb=2×3=6. 4.计算 公式运用：am·an=am+n 5.计算机存储容量的基本单位是字节，用B表示. 计算中一般用KB(千字节)、MB(兆字节)或GB(吉字节)作为存储容量的计数单位，它们之间的关系为1KB=2¹⁰B，1MB=2¹⁰KB，1GB=2¹⁰MB.一种新款电脑的硬盘存储容量为160GB，它相当于多少千字节? (结果用a×2"千字节表示，其中1<a<2，n为正整数) 解：由题意可知，160GB＝160×210×210KB 160×210×210＝5×225 答：它相当于5×225 KB. 注意 法则 1. am·an=am+n (m, n都是正整数） 同底数幂 的乘法 2. am·an·ap=am+n+p (m, n, p都是正整数） 直接应用法则 底数相同时 底数不相同时 先变成同底数再应用法则 常见变形：(-a)2=a2, (-a)3=-a3 课堂小结 基础题 知识点1　同底数幂的乘法法则 1. 计算a·a2的结果是(　C　) A. a B. a2 C. a3 D. a4 2. 计算－32×32的结果是(　D　) A. 9 B. －9 C. 81 D. －81 3. 下列各项中，是同底数幂的是(　D　) A. a2与b2 B. (－x)3与x4 C. (x－y)3与(y－x)3 D. a5与a2 C D D 课后练习 4. (教材例题改编)下列计算正确的是(　B　) A. x4＋x4＝x8 B. x5·x＝x6 C. x3·x3＝2x3 D. x2·x3＝x6 5. (教材习题第1题改编)计算： (1)(－a)4·a3＝ ⁠； (2)(－b)4·(－b)3＝ ⁠； (3)tm·t2－m＝ ⁠. B a7 －b7 t2 6.光年可以用来衡量天体间的距离，1光年是光在真空中沿直线传播一年的距离.已知光在真空中的传播速度约为3×108 m/s，一年的时间约为3.2×107 s，则1光年表示的距离约为 m(用科学记数法表示). 9.6×1015 7. (教材随堂练习第1题改编)计算： (1)()2·()3·()3； (2)－(－a4)·(－a3)·a. 原式＝－a4＋3＋1＝－a8. 原式＝（）2＋3＋3＝（）8； 知识点2　同底数幂乘法法则的逆用8考 8. (教材素材改编)a2m＋n可以改写成(　B　) A. a2m＋an B. a2m·an C. a2·amn D. am·a2·an 9. 已知2m＝6，则2m＋1的值为(　D　) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 B D 10. (教材习题第2题改编) 10.1　改底数为数字并求值 若3m＝4，3n＝8，则3m＋n的值为 ⁠. 32 10.2　互换条件和结论并求值 已知ax＝3，ax＋y＝6，求ax＋ay的值. 解：因为ax＋y＝ax·ay＝6，ax＝3， 所以3ay＝6， 所以ay＝2， 所以ax＋ay＝3＋2＝5. 综合题 11. (教材习题第2题改编)如果x2·x3a＝x5，则a的值为(　B　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 12. 已知8·2x＝128，则(3－x)2 025的值为(　B　) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 B B 请完成第13～14题： 13. 世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔大约由 2.3×106块石块砌成，平均每块石块约重3×103 kg，则胡夫金字塔所用石 块的总重量约为 kg(用科学记数法表示). 14. 秦始皇陵兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”.秦始皇陵兵马俑一号坑 大约有6×103个兵马俑，据考古学家估计，每个兵马俑的平均重量大约是 1.8×102 kg.现在需要复制和一号坑中兵马俑数量相同，大小也相同的兵 马俑模型，已知每个模型的重量是原兵马俑重量的，那么这一批兵马俑 模型的总重量约为 kg(用科学记数法表示). 6.9×109 2.7×105 世界奇迹背后的数字密码 15. 计算：(1)3n－3·9·32n＋1； 解：原式＝3n－3·32·32n＋1 ＝3n－3＋2＋2n＋1 ＝33n； (2)(－a)3·a2＋a4·a； 解：原式＝－a3·a2＋a4＋1 ＝－a3＋2＋a5 ＝－a5＋a5 ＝0； (3)(x－y)3·(y－x)4. 解：原式＝（x－y）3·（x－y）4 ＝（x－y）3＋4 ＝（x－y）7. 16. 我们知道，同底数幂的乘法法则为：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)， 类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f(m)·f(n)＝f(m＋ n)，例如，若f(1)＝1，则f＝f＝f·f＝1；若f(3)＝2，则f(6) ＝f(3＋3)＝f(3)·f(3)＝4. 请根据这种新运算回答下列问题： (1) 若f(4)＝4，则f(8)＝ ⁠； 【解法提示】因为f（4）＝4，f（m）·f（n）＝f（m＋n），所以f（8） ＝f（4＋4）＝f（4）·f（4）＝4×4＝16. 16 (2)若f(a)＝3，化简f(a)·f(2a)·f(3a)·f(4a)·f(5a). 因为f（2a）＝f（a＋a）＝f（a）·f（a）＝3×3＝31＋1＝32， f（3a）＝f（a＋a＋a）＝f（a）·f（a）·f（a）＝3×3×3＝31＋1＋1＝33， … f（5a）＝35， 所以f（a）·f（2a）·f（3a）·f（4a）·f（5a）＝3×32×33×34×35＝31＋2＋ 3＋4＋5＝315. 拓展提升 17. (代数推理)若3m＋n能被10整除，试说明3m＋4＋n也能被10整除. 解：因为3m＋4＋n ＝34×3m＋n ＝81×3m＋n ＝80×3m＋（3m＋n）， 且3m＋n能被10整除，80也能被10整除， 所以80×3m与3m＋n均能被10整除， 即3m＋4＋n能被10整除. $$