精品解析：上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年第一学期高二数学期末试卷 （本试卷共4页，满分160分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上） 考试说明：试卷最后的挑战题为非必答题，分值10分 一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果） 1. 已知数列的前n项和，那么的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合对数运算即可求解. 【详解】， 故答案为：1. 2. 椭圆的焦距是_________. 【答案】2 【解析】 【详解】分析：由椭圆方程可求，然后由可求，进而可求焦距 详解：∵椭圆 ∴. 即答案为2． 点睛：本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，属基础题 3. 若圆锥的底面半径与高均为2，则其侧面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可求得其母线长，代入侧面积公式计算可得结果. 【详解】由题可知圆锥母线为， 所以其侧面积为. 故答案为： 4. 将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】折痕为点与点的中垂线，得方程，再根据点与原点对称可得答案. 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 5. 已知直线的倾斜角为，则的余弦的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系，利用同角三角函数的商数关系与平方关系即可求得结果. 【详解】，所以又，所以. 故答案为：. 6. 一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_____米. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意建系，设抛物线的方程为，由抛物线经过的点求出的值，则易得焦点到顶点的距离. 【详解】 如图建系，设抛物线的方程为，由题意抛物线过点， 代入解得，故拋物线的焦点到顶点的距离为米. 故答案为：2. 7. 向量，的夹角_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用两个向量夹角的余弦公式即可求得结果. 【详解】，又因为夹角范围为：，故. 故答案为：. 8. 已知，函数，有最小值，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由有，即可得，根据基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得，， 故，，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 9. 如图，在平行六面体中，，，若为中点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】将用基底，结合空间向量的数量积可求得的值. 【详解】在平行六面体中，， ， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，且为中点， 则， 所以 ， 因此，. 故答案为：. 10. 平行直线与间的距离为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平行线之间的距离即可得到结果. 【详解】易知，即有， 与间的距离. 故答案为： 11. 已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设是左焦点，由双曲线定义转化，取最小值时，的最小值是在线段上即得． 【详解】双曲线，，，，，，即为， 圆的圆心为，半径， P在双曲线的左支上，，， 所以， 根据圆的几何性质可知， 的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为：6 12. 已知实系数一元二次方程的两个根、满足，，其中i是虚数单位，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据虚根特点及模的几何意义，分两种情况分别求出参数范围即可. 【详解】若方程有两个虚数根，设（且）， 所以，，，两个根、满足，， 复数分别对应的点在以为圆心2为半径的圆上以及圆的内部， 易知且，且点关于轴对称，所以且， 故. 若方程有两个实数根，由可得，， 同理可得，，所以， 即， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，即，所以充分性成立；当时，即可得到，所以必要性成立. 故选：C 14. 直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（ ） A. 直线过圆心 B. 直线与圆相交，但不过圆心 C. 直线与圆相切 D. 直线与圆无公共点 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心与直线l的关系判断作答. 【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为， 依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：， 而圆的圆心为，半径为，于是得圆心在直线l上， 所以直线l与圆相交，过圆心. 故选：A 15. 设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，双曲线的离心率， 因为是减函数，所以当时，，所以，所以，故选B. 考点：双曲线的几何性质. 【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得中把双曲线的离心率转化为的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题. 16. 已知，把函数的图像向左平移个单位长度，得到的函数图像恰好关于y轴对称.定义：为符合的所有x的和，则的值为（ ） A. B. C. 62 D. 66 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换结合图象变换可得，根据偶函数可得，，进而分析求解即可. 【详解】因为， 把函数的图像向左平移个单位长度， 得到， 因为关于y轴对称，即为偶函数， 则，，解得，. 令，得. 所以. 故选：D. 三、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤） 17. 设． （1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； （2）若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【小问1详解】 因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. 【小问2详解】 当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 18. 如图，在直棱柱中，，，点、、分别是、、的中点． （1）求与平面所成角的大小； （2）求到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出平面的一个法向量，设与平面所成角为，利用向量数量积求解角大小即可. （2）利用点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 以为坐标原点、为轴、为轴、为轴建立如图的空间直角坐标系. 由题意可知,,,. 故 设是平面的一个法向量, 又,, 故由，令，解得，故. 设与平面所成角为,则， 所以与平面所成角为. 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量为，. 设到平面的距离为, 故 所以到平面的距离为. 19. 如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. （1）若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； （2）若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 【答案】（1）表面积，体积； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出半球半径，再借助球的表面积及体积公式列式计算即得. （2）设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b，求出的关系，再求出正四棱柱表面积的关系，借助三角代换求出最大值. 【小问1详解】 依题意，半球内接正方体下底面正方形中心为半球底面圆圆心， 而正方体下底面正方形外接圆半径为， 因此半球的半径， 所以半球表面积，体积. 【小问2详解】 设半球内接正四棱柱的底边长为2a，高为b， 依题意，，即，令，， 该正四棱柱的表面积 ，其中锐角由确定， 则当，即时，， 所以正四棱柱表面积的最大值. 20. 已知椭圆的离心率，左顶点为A，下顶点为B，C是线段的中点，其中. （1）求椭圆方程； （2）记椭圆的左右焦点分别为、，M为椭圆上的点，若的面积为，的面积为，若，求的取值范围； （3）过点的动直线与椭圆有两个交点P、Q，在y轴上是否存在点T使得恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，T点纵坐标的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设，由，得到，再利用即可得到结果. （3）设该直线方程为：，设，，，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用k,t表示，再根据可求的t范围. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为， 所以，即，其中c为半焦距，，则， 所以，，， ，解得， 故，，故椭圆方程为. 【小问2详解】 设，由，有， 故而，所以， 所以. 又，所以的取值范围是. 【小问3详解】 ①若过点的动直线的斜率不存在， 则，或，，此时. ②若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设，，，， 化简整理可得， 故， ，. ，， 故 . 恒成立，故，解得， 若恒成立.结合①②可知，. 故T点纵坐标的取值范围为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 21. 已知函数的定义域为R.定义：若存在实数a、b（）使得对任意恒成立，则称函数具有性质. （1）幂函数是否具有性质，说明理由； （2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； （3）设，集合函数具有性质，求集合M在坐标平面上的对应的区域的面积. （4）设，集合函数具有性质.为集合M在坐标平面上对应的区域边界上的点，且Q不在x轴上，求的最小值. 【答案】（1）具有性质，理由如下： 任取， 有恒成立， 所以幂函数具有性质. （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题干即可求得结果. （2）根据题干中函数的解析式，得到函数为奇函数，且函数的单调区间，再通过恒成立即可求得结果. （3）根据题干将问题转化为恒成立问题，得到，继而求得结果. （4）根据题干得到以区域M的边界为，（不包括x轴），再利用参数方程即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数具有性质， 故对任意， 有恒成立. 由，得， 故，所以，所以， 又令， 故对任意恒成立， 所以且， 所以且， 所以，实数a的取值范围是. 【小问3详解】 函数具为奇函数，且在上为严格增函数， 在上为严格减函数，在上为严格增函数. 当时，函数具有性质， 仅需考虑对任意恒成立. 有， 即对任意恒成立.所以. 当时，同理有. 所以，集合M在坐标平面上的对应的区域的面积为. 【小问4详解】 ，函数具为奇函数，且在上为严格增函数， 在上为严格减函数，在上为严格增函数. 当时，函数具有性质， 不妨仅需考虑对任意恒成立. 有，对任意恒成立. 所以， 所以区域M的边界为，（不包括x轴） 设，设，， 所以， 所以， ， 其中，. 所以， 所以 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义运算问题；解题关键是能够根据已知抽象函数关系式推导得到函数的恒成立问题，进而可将所研究的问题转化为恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二数学期末试卷 （本试卷共4页，满分160分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上） 考试说明：试卷最后的挑战题为非必答题，分值10分 一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果） 1. 已知数列的前n项和，那么的值为_____. 2. 椭圆的焦距是_________. 3. 若圆锥的底面半径与高均为2，则其侧面积为_____. 4. 将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是_____. 5. 已知直线的倾斜角为，则的余弦的值为_____. 6. 一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_____米. 7. 向量，的夹角_____. 8. 已知，函数，有最小值，则的最大值为_____. 9. 如图，在平行六面体中，，，若为中点，则_____. 10. 平行直线与间的距离为_____. 11. 已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为_____. 12. 已知实系数一元二次方程的两个根、满足，，其中i是虚数单位，则的取值范围是_____. 二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（ ） A. 直线过圆心 B. 直线与圆相交，但不过圆心 C. 直线与圆相切 D. 直线与圆无公共点 15. 设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知，把函数的图像向左平移个单位长度，得到的函数图像恰好关于y轴对称.定义：为符合的所有x的和，则的值为（ ） A. B. C. 62 D. 66 三、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤） 17. 设． （1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； （2）若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 18. 如图，在直棱柱中，，，点、、分别是、、的中点． （1）求与平面所成角的大小； （2）求到平面的距离． 19. 如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）. （1）若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体），求半球的表面积和体积； （2）若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值. 20. 已知椭圆的离心率，左顶点为A，下顶点为B，C是线段的中点，其中. （1）求椭圆方程； （2）记椭圆的左右焦点分别为、，M为椭圆上的点，若的面积为，的面积为，若，求的取值范围； （3）过点的动直线与椭圆有两个交点P、Q，在y轴上是否存在点T使得恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数的定义域为R.定义：若存在实数a、b（）使得对任意恒成立，则称函数具有性质. （1）幂函数是否具有性质，说明理由； （2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； （3）设，集合函数具有性质，求集合M在坐标平面上的对应的区域的面积. （4）设，集合函数具有性质.为集合M在坐标平面上对应的区域边界上的点，且Q不在x轴上，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $