7.5 正态分布 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.5 正态分布 作者编号：32100 1.通过误差模型,知道服从正态分布的随机变量是连续型. 2.通过具体实例等,了解正态分布的特征. 3.识别参数对密度曲线的影响,并能解决简单的实际问题. 学习目标 作者编号：32100 1. 两点分布： X 0 1 P 1-p p 2. 二项分布： X 0 1 … k … n P … … 3. 超几何分布： X 0 1 … k … n P … … 离散型随机变量 复习回顾 作者编号：32100 生活中还有许多随机变量不是离散型的随机变量，例如： 连续型随机变量： 如果随机变量X的所有取值不可以逐个列举出来，而是充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类变量为连续型随机变量。 它的概率分布规律用什么来描述？ 复习回顾 ①小明上学途中等公交车的时间X； ②小麦的株高、穗长、单位面积产量， ③实验中测量某零件尺寸的误差Y； 某市5月份的降雨量Z； ④某电器的使用寿命 ； ... 你还能举出几个这样的例子吗？ 作者编号：32100 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39 1.某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管,为了检验产品的质量,从一批产品中任取100件检测,用X表示它们的实际尺寸，测得X的值如下: 如何描述这100个样本数据的分布? 新知讲解 作者编号：32100 分组 频数 频率 频率/组距 25.235~25.265 1 0.01 0.33 25.265~25.295 2 0.02 0.67 25.295~25.325 5 0.05 1.67 25.325~25.355 12 0.12 4 25.355~25.385 18 0.18 6 25.385~25.415 25 0.25 8.33 25.415~25.445 16 0.16 5.33 25.445~25.475 13 0.13 4.33 25.475~25.505 4 0.04 1.33 25.505~25.535 2 0.02 0.67 25.535~25.565 2 0.02 0.67 合计 100 1.00 频 率 分 布 表 新知讲解 作者编号：32100 产品尺寸 （mm) 频率 组距 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535 25.265 25.325 25.385 25.445 25.505 25.565 2 4 6 8 100个产品尺寸的频率分布直方图 2.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误实际尺寸X在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1. 1.观察图形可知:大致对称地分布在中间值的两侧,极端值较少. 新知讲解 作者编号：32100 200个产品尺寸的频率分布直方图 频率 组距 产品 尺寸 （mm) 新知讲解 作者编号：32100 正态密度曲线 产品 尺寸 （mm) 频率 组距 随着样本数据量越来越大,让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线. 曲线与水平轴之间的面积为1 新知讲解 作者编号：32100 x y 函数 称为正态密度函数. 式中的 μ、σ (σ>0) 是参数，分别表示总体的平均数与标准差. 称它的图象是正态密度曲线.简称正态曲线. 知识归纳 作者编号：32100 若随机变量X的概率分布密度函数为 则称随机变量X 服从正态分布，记为X~N(μ，2). 新知讲解 作者编号：32100 正态曲线的性质 ： 且对称区域面积相等； 具有两头低、中间高、左右对称的基本特征. (5)当 无限增大时，曲线无限接近x轴. (1)曲线位于轴的上方与轴不相交； (2)曲线是单峰的，关于直线=μ对称； (3)曲线在=μ处达到峰值 (4)曲线与轴之间的面积为1; 新知讲解 作者编号：32100 正态曲线的性质 ： σ越大，表示总体的分布越分散； σ越小，表示总体的分布越集中. μ=-1 μ=0　 μ=1 σ=1 μ=0　 =0.5 =1 =2 (5)参数μ定位置，σ定形状： ①当σ一定时，曲线随μ的变化沿轴平行移动； ②当μ一定时，σ越小越“瘦高”,σ越大越“矮胖” 新知讲解 作者编号：32100 正态函数表示式： 当 μ= 0，σ=1时，可得标准正态函数表示式： 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 μ=0 σ=1 标准正态曲线 标准正态曲线： 新知讲解 作者编号：32100 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布： 在生产中，各种产品的质量指标； 在测量中，各种测量结果； 在生物学中，同一群体的某一特征如身高、体重等……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度、 以及降雨量、水位等； 新知讲解 作者编号：32100 【答案】A 1. 设两个正态分布N(μ1，σ12)和N(μ2，σ22)（σ2>0）的密度函数图像如图，则有（ ） A. μ1< μ2 , σ1<σ2 B. μ1< μ2 , σ1>σ2 A. μ1> μ2 , σ1<σ2 B. μ1>μ2 , σ1>σ2 小试牛刀 作者编号：32100 【答案】C 小试牛刀 2.若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10,),则该随机变量的方差等于( ) (A)10 (B)100 (C)(D) 作者编号：32100 正态曲线在特殊区间上的概率： 新知讲解 作者编号：32100 正态总体在 以外取值的概率只有 0.27 ％ , 通常 认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,称为小概率事件. 在实际应用中,通常认为服从于正态分布 x~N(μ，2) 的随机变量X只取 中的值，这在统计学中称为3原则. 新知讲解 作者编号：32100 例1 在某次考试中,考生的成绩X服从正态分布,即 X~N（90,100） （1）求考试成绩X位于区间（70,110]上的概率是多少？ （2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100] 之间的考生大约有多少人？ [解]　∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝10． (1)在该正态分布中，μ－2σ＝70，μ＋2σ＝110， ∵P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545， ∴考试成绩X位于区间(70,110]内的概率为0.9545． 例题讲解 作者编号：32100 例1 在某次考试中,考生的成绩X服从正态分布,即 X~N（90,100） （1）求考试成绩X位于区间（70,110]上的概率是多少？ （2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100] 之间的考生大约有多少人？ (2)μ－σ＝80，μ＋σ＝100， ∵P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827， ∴考试成绩X位于区间(80,100]内的概率为0.6827． 由共有2000名考生，知考试成绩在(80,100]间的考生大约有2000×0.6827≈1 365(人)． 例题讲解 作者编号：32100 例2 若X~N(5,1),求P(6<X<7). 解: 因为X～N(5,1), 故正态密度曲线关于直线 x=5 对称, 例题讲解 作者编号：32100 1).若X~N(μ,σ2),问X位于区域(μ,μ+σ)内的概率是多少？ 解：由正态曲线的对称性可得， 小试牛刀 2).设随机变量(0,1),则P(≤1)=______, P(≤1)=______,P(>1)=______. 3).已知(1,²),若P(<4)=0.9,则P(-2<<1)=( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 作者编号：32100 1. 正态曲线及正态密度函数 2. 正态分布： 3. 正态曲线的性质 (1)对称性:曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. (2)最值性:曲线在x=μ处达到峰值(最高点) (3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. 课堂小结 作者编号：32100 4. 正态分布的3σ原则 课堂小结 作者编号：32100 Chart2 1 2 5 12 18 25 16 13 4 2 2 Sheet1 1 2 5 12 18 25 16 13 4 2 2 Sheet1 Sheet2 Sheet3 Chart2 1 2 2.5 3.8 4.9 7 10 14 17 20 21.2 20 17 14 10 7 4.9 3.8 2.5 2 1 Sheet1 1 1 1.5 2 2 2.5 2.2 3.8 2.5 4.9 3 7 3.8 10 4.3 14 4.9 17 6 20 7 21.2 8 20 10 17 12 14 14 10 16 7 17 4.9 19 3.8 20 2.5 21 2 21.2 1 21 20 19 17 16 14 12 10 8 7 6 4.9 4.3 3.8 3 2.5 2.2 2 1.5 1 Sheet1 Sheet2 Sheet3 Chart2 1 1.5 2 2.2 2.5 3 3.8 4.3 4.9 6 7 8 10 12 14 16 17 19 20 21 21.2 21 20 19 17 16 14 12 10 8 7 6 4.9 4.3 3.8 3 2.5 2.2 2 1.5 1 Sheet1 1 1.5 2 2.2 2.5 3 3.8 4.3 4.9 6 7 8 10 12 14 16 17 19 20 21 21.2 21 20 19 17 16 14 12 10 8 7 6 4.9 4.3 3.8 3 2.5 2.2 2 1.5 1 Sheet1 Sheet2 Sheet3 $$