第六章平行四边形同步练习2024-2025学年青岛版数学八年级下册

第六章平行四边形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图,在四边形ABCD中,  AD//BC,且AD>BC,BC= 6cm, AD=9cm, P、Q分别从A、C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,多少s时直线将四边形ABCD截出一个平行四边形(         ) A．1 B．2 C．3 D．2或3 2．在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 3．在一组对边平行的四边形中，增加下列条件中的哪一个条件，这个四边形是矩形（　　） A．另一组对边相等，对角线相等 B．另一组对边相等，对角线互相垂直 C．另一组对边平行，对角线相等 D．另一组对边平行，对角线互相垂直 4．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（　　） A．75° B．45° C．60° D．30° 5．如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 6．任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC=20cm，BD=30cm，则四边形EFGH的周长是（   ） A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm 7．如图，折叠，折痕经过点，交边于点，点落在的延长线上的点处，点落在点处，得到四边形，若的面积为8，有以下结论： ①； ②若，则四边形是菱形； ③设四边形的面积为，四边形的面积为，则与的函数关系式为； ④若，则点到的距离为1． 其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（    ） A．或 B． C． D．或 9．如图，已知平行四边形中，，则（    ）    A．18° B．36° C．72° D．144° 10．如图，平行四边形的对角线与相交于点，添加一个条件使平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则对四边形EFGH表述最确切的是（　　） A．四边形EFGH是矩形 B．四边形EFGH是菱形 C．四边形EFGH是正方形 D．四边形EFGH是平行四边形 12．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为的中点，且，，则菱形的面积为（　　） A．12 B． C． D．16 二、填空题 13．对于，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB=BC；②∠BAD=90°；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB=∠ABC，能判定是矩形的概率是 ． 14．如图，四边形中，，，，是上一点，且，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， ． 15．如图，在□ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S□AEPH＝ ． 16．如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ． 17．如图，在中，，D、E分别是边的中点，是斜边上的中线．若，则 ． 三、解答题 18．如图，在矩形中，将沿着折叠，使点D落在边上的点F处．如果，求的度数． 19．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F,AB=10,AC=6，求DF的长. 20．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO． 求证：四边形AMCN是矩形． 21．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线． (1)求证：∠ACD＝∠ADC； (2)若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形． 23．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F． （1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系． 24．已知：如图，在中，中线，交于点O，G，H分别是，的中点，连接．求证：． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第六章平行四边形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C C D A A B B 题号 11 12 答案 B B 1．D 【分析】根据题意设t秒时，直线将四边形ABCD截出一个平行四边形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t.要使成平行四边形，则就有AP=BQ或CQ=PD，计算即可求出t值. 【详解】根据题意设t秒时，直线将四边形ABCD截出一个平行四边形 则AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t 要使构成平行四边形 则：AP=BQ或CQ=PD 进而可得： 或 解得 或 故选D. 【点睛】本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即可. 2．B 【详解】试题解析：用两个边长为的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．根据题意得，拼成的四边形四边相等，则是菱形． 故选B． 3．C 【分析】根据等腰梯形的定义、平行四边形的判定、特殊平行四边形（矩形、菱形）的判定即可得． 【详解】A、一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可能是等腰梯形，此项不符题意； B、一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可能是菱形，此项不符题意； C、一组对边平行，另一组对边平行的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，此项符合题意； D、一组对边平行，另一组对边平行的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法是解题关键． 4．C 【分析】首先连接AC，由四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，易得△ABC与△ACD是等边三角形，即可求得∠B＝∠D＝60°，继而求得∠BAD，∠BAE，∠DAF的度数，则可求得∠EAF的度数． 【详解】解：连接AC， ∵AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分别为BC、CD的中点， ∴AB＝AC，AD＝AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴AB＝BC＝AC，AC＝CD＝AD， ∴∠B＝∠D＝60°， ∴∠BAE＝∠DAF＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝120°， ∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝60°． 故选C． 【点睛】此题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 5．C 【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可． 【详解】解：A、▱ABCD中，本来就有AB=CD，故本选项错误； B、▱ABCD中本来就有AD=BC，故本选项错误； C、▱ABCD中，AB=BC，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定▱ABCD是菱形，故本选项正确； D、▱ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 6．D 【分析】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC，或BD的一半，进而求四边形周长即可． 【详解】∵E，F，G，H，是四边形ABCD各边中点， ∴HGAC，EFAC，GF=HEBD． 又∵AC=20cm，BD=30cm， ∴四边形EFGH的周长是HG+EF+GF+HE（AC+AC+BD+BD）=AC+BD=50cm． 故选D． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据． 7．A 【分析】由折叠知：∠C＝∠F，∠ABP＝∠CBP，可证AB＝AP，再通过证AP∥EF，AP＝EF，可得四边形APEF是平行四边形，通过面积转化可判断结论的正确性． 【详解】解：由折叠知：∠C＝∠F，∠ABP＝∠CBP， ∵平行四边形ABCD， ∴∠C＝∠BAD，CD＝AB， ∴∠F＝∠BAD， ∴EF∥AP， ∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBC， ∴∠ABP＝∠APB， ∴AB＝AP，故①正确； 由折叠可知，CD＝EF，PD＝EP， ∴AP＝EF， ∴四边形APEF是平行四边形， ∵， ∴AP＝EP， ∴平行四边形APEF是菱形，故②正确； ∵四边形BCDP的面积为x， ∴SAPEF+SABCD＝2x， ∴y＝2x﹣8（4＜x＜8），故③正确； 设点P到AB的距离为h， ∴SABCD＝S四边形BPEF+S△ABP， ∴8＝， ∴8＝， ∴h＝1， 故④正确， 故选： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、翻折的性质、以及图形面积表示等知识，抓住等腰△ABE是解题的关键． 8．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形外角的性质，正确的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，为等腰三角形腰上的高，并且，取边中点E，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴底角； 当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图， 为等腰三角形腰上的高，并且， 同理可得， ∴， 故选A． 9．B 【分析】利用平行四边形的对角相等，邻角互补的性质即可解答. 【详解】解：在平行四边形ABCD中，    ∵BC∥AD， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠B=4∠A， ∴∠A=36°， ∴∠C=∠A=36°， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的几何性质． 10．B 【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解： A、时，平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、时，∠BAD＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意； C、时，平行四边形ABCD不一定是矩形，故选项C不符合题意； D、时，平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解答此题的关键． 11．B 【分析】根据三角形中位线定理得到EH=BC，EH∥BC，得到四边形EFGH是平行四边形，根据菱形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵点E、H分别是AB、AC的中点， ∴EH=BC，EH∥BC， 同理，EF=AD，EF∥AD，HG=AD，HG∥AD， ∴EF=HG，EF∥HD， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AD=BC， ∴EF=EH， ∴平行四边形EFGH是菱形， 故选B． 【点睛】本题考查的是中点四边形的概念和性质、掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键． 12．B 【分析】利用菱形的性质，得到为的中位线，从而得到菱形的边长，再根据菱形的性质可以得到是含角的直角三角形，从而求出菱形的对角线的长度，利用菱形的面积公式对角线乘积的一半，即可得解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，为的中点， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，以及含角的直角三角形．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，且平分一组对角，是解题的关键． 13．． 【详解】解：①∵ABCD是平行四边形，AB=BC，∴ABCD是菱形； ②∵ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴ABCD是矩形； ③∵ABCD是平行四边形，AC=BD，∴ABCD是矩形； ④∵ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴ABCD是菱形； ⑤∵ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC=180°，∠DAB=∠ABC， ∴∠DAB=90°，∴ABCD是矩形． 故P（ABCD是矩形）=． 故答案为:． 14．或. 【分析】分两种情形列出方程即可解决问题 【详解】①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则有，解得， ②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则有，解得， 综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 15．4 【分析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG．，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案． 【详解】解：∵EF∥BC，GH∥AB， ∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形， ∴S△PEB=S△BGP， 同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB， ∴S△ABD-S△PEB-S△PHD=S△CDB-S△BGP-S△DFP， 即S四边形AEPH=S四边形PFCG． ∵CG=2BG，S△BPG=1， ∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4； 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行⇔四边形为平行四边形，②两组对边分别相等⇔四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等⇔四边形为平行四边形，④两组对角分别相等⇔四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分⇔四边形为平行四边形． 16．45 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线性质是解答关键．根据同角的余角相等得到，，根据互余和求得，进而得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵E是斜边的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．3 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质和三角形的中位线定理，熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键． 由已知条件易得是斜边上的中线，是的中位线，由此可得，从而可得． 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边上的中线， ∴． ∵D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：3． 18． 【分析】本题考查折叠的性质．由矩形的性质可得，由，可得，再根据折叠的性质即可得． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵由折叠得到， ∴， ∵， ∴． 19．2. 【分析】延长CF交AB于点G，先根据ASA证明△AFG≌△AFC，得AG=AC，GF=CF，进而得出DF是△CBG的中位线，再根据三角形中位线的性质定理即可求出结果. 【详解】解：延长CF交AB于点G， ∵AE平分∠BAC， ∴∠GAF=∠CAF， ∵AF⊥CG， ∴∠AFG=∠AFC=90°， 在△AFG和△AFC中， ∴△AFG≌△AFC（ASA）， ∴AG=AC=6，GF=CF， 又∵点D是BC中点， ∴DF是△CBG的中位线， ∴DF=BG=（AB－AG）=×（10－6）=2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和三角形的中位线定理，作辅助线构造出以DF为中位线的三角形是解题的关键. 20．见解析 【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BM＝DN， ∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵MO＝NO， ∴MN＝2MO， ∵AC＝2MO， ∴MN＝AC， ∴四边形AMCN是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 21．见解析 【分析】根据菱形的性质得出，，再利用角的等量代换得出，接着由角边角判定，最后由全等的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，E，F是对角线AC上两点， ∴，． ∵， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练地掌握这些性质和判定定理，并能从题中找到合适的条件进行证明． 22．（1）详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠FAD=∠B，进而得到AD∥BC，再利用∠D=∠DCE，即可证明∠ACD=∠ADC； （2）首先证明△ABC和△ADC是等边三角形，进而得到AD=CB=AB=CD，可判定四边形ABCD是菱形． 【详解】证明：(1)∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， 在△ABC中， ∠FAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B. ∵AD平分∠FAC， ∴∠FAC＝2∠FAD＝2∠CAD， ∴∠FAD＝∠B， ∴AD∥BC. ∴∠D＝∠DCE. ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE. ∴∠ACD＝∠ADC　 (2)∵∠B＝60°， ∴∠ACB＝∠CAD＝60°， ∵AB＝AC，∠ACD＝∠ADC， ∴△ABC和△ACD都是等边三角形． ∴AB＝BC＝AC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形. 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，平行线的判定与性质，三角形外角的性质，以及等边三角形的判定，熟记菱形的各种判定方法是解题的关键． 23．（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质可证得，由此可得，，再根据同角的补角相等证得，等量代换可得，由此可得，再等量代换即可得证； （2）过点E作交CB的延长线于点G，先证明，利用勾股定理可得，再证明，由此可得，最后再等量代换即可得证； （3）仿照（1）和（2）的证明即可证得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过点E作交CB的延长线于点G， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴在中，， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点E作交BC于点G，设CD与EF的交点为点P， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键． 24．证明见解析 【分析】利用三角形中位线定理证明，进而证明四边形是平行四边形，即可证明． 【详解】证明：∵在中，中线，交于点O， ∴E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，根据三角形中位线定理证明是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$