湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024-2025学年高三上学期10月考试数学试题

数学试题 第 1页（共 4页） 数学试题 第 2页（共 4页） 绝密★启用前 高三数学考试 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题纸上。写在 本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回。 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求. 1． A．0 B．1 C．2024 D．2025 2．已知 2 i i1 i m n    ，  , Rm n ，则 m n  A． 1 2 B． 1 2  C．2 D． 2 3．已知空间向量 ， ，若 ，则 A．4 B．6 C． D． 4．对集合有如下新定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空 真子集  *1 2, , , N ,kA A A k  且 1 2 kA A A UU U L U （其中 L为...），那么称子集族 1 2, , , kA A A 构成集合 U的 一个 k划分.已知集合 2{ N | 6 5 0}I x x x     ，则集合 I 的所有划分的个数为 A．3 B．4 C．14 D．16 5．已知函数 在 上单调递增，则 a的取值范围为 A． B． C． D． 6．中国古代建筑中重要的构件之一——柱（俗称“柱子” )多数为木造，属于大木作范围，其中，瓜 棱柱是古建筑木柱的一种做法，即木柱非整根原木，而是多块用榫卯拼合而成．宁波保国寺大殿的 瓜棱柱，一部分用到了“包镶式瓜棱柱”形式，即在一根木柱周围，根据需要再用若干根一定厚度的 木料包镶而成的柱子，图1为“包镶式瓜棱柱”，图2为此瓜棱柱的横截面图，中间大圆木的直径为2R， 外部八根小圆木的直径均为2r，所有圆木的高度均为h，且粗细均匀，则中间大圆木与一根外部小 圆木的体积之比为 A． 4 2 2 1  B． 4 2 2 2 4 2 2   C．3 D．5 2 2 2 4 2 2   7．已知 EF是棱长为 8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足 40ME MF     ，AB是正方体的一 条棱，则 AM AB   的最小值为 A．  16 2 4 B．  16 2 2 C．  16 4 2 D．  16 2 2 8．阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如 图，若抛物线C与直线 l交于 A，B两点，要求弓形部分面积，先构造直线 l l∥ ，l与抛物线相切于 点 P，得到一级 PAB ；用同样的方法在切点 P两旁得到两个二级 DPA ， EPB△ ；再用同样的方法 在切点D，E两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明知道每个新构建的三角形的面积都 是上一层级三角形面积的 1 8 ，那么求出 PAB 的面积就可以得出弓形面积.若已知抛物线 2: 4C y x ， 直线 : 1 0l x y   ，则抛物线C与直线 l围成的弓形面积为 A． 4 2 B．8 2 C．16 2 3 D．16 2 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有 A．   2 1f x x  与   1 1g x x x    B．  f x x 与   2g x x C．   xf x x  与   1, 0 1, 0 x g x x     D．   2 1f x x x   与   2 1g t t t   10．如图是一个边长为 1的正方体的平面展开图，M为棱 AE的中点，点 N为平面 EFGH内一动点，若MN∥ 平面 BDG，下列结论正确的为 A．点 N的轨迹为正方形 EFGH的内切圆的一段圆弧 B．存在唯一的点 N，使得 M，N，G，D四点共面 C．无论点 N在何位置．总有MN CE D．MN长度的取值范围为 6 2, 4 2       数学试题 第 3页（共 4页） 数学试题 第 4页（共 4页） 11．   1e  x xf x ．则 A．若  f x a 有两个解，则 2 10 e a  ． B．若  f x m 有最小值，则 2 1 2 m e   ． C．若  f x m 有最小值，则 2 1 2 m e   ． D．若  f x a 有两个解 1 2,x x ，则 1 2 4x x  ． 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 二项式 中展开式中 项的系数为 . 13. 如图，圆 O与 x轴的正半轴的交点为 A，点 C，B在圆O上，且点 C位于第一象限，点 B的坐标 为 4 3, 5 5      ， AOC   .若 1BC  ，则 2 33 cos sin cos 2 2 2 2      的值为 ． 14. 已知函数  22( ) 3log 1f x x x   ，正数 ,a b满足 ( ) (3 1) 0f a f b   ，则 3b aab  的最小值为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图所示，在四面体 ABCD中，AD 平面 BCD，M是 AD的中点，P是 BM的中点,点Q在线段 AC 上，且 3AQ QC ． （ I ）求证： / /PQ 平面BCD． （ II ）求直线 PA与平面 PBC所成角的正弦值． 16．（15分） 某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰.已知甲､乙､丙三人参与 考核，考核结果互不影响，甲过关的概率为 1 2 ，乙过关的概率为 2 3 ，丙过关的概率为 3 4 . （ I ）若三人中有两人过关，求丙过关的概率． （ II ）记甲､乙､丙三人中过关的人数为 X ，求 X 的分布列与数学期望． 17．（15分） 已知双曲线 2 2: 1E x y  ，直线 PQ与双曲线 E交于 P，Q两点，直线MN与双曲线 E交于M，N 两点． （ I ）若直线MN经过坐标原点，且直线 PM ，PN的斜率 PMk ， PNk 均存在，求 PM PNk k ． （ II ）设直线 PQ与直线MN的交点为 (1, 2)T ，且TP TQ TM TN       ，证明：直线 PQ与直线MN 的斜率之和为 0． 18．（17分） 将 ( 2)n n  个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列 na ，对任意1 i j n   ，如果 i ja a ，那么称 数对  ,i ja a 构成数列 na 的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． （ I ）若将 1，2，3，4四个数构成的数列恰有 2个逆序对，请写出符合条件的数列组合． （ II ）计算以下数列的逆序数: （ⅰ） 2 19(1 100)na n n     ； （ⅱ） 1 , 3 (1 ) , 1 n n n a n k n n n          为奇数 为偶数 ． （ III ）已知数列 1a ， 2a ，…， na 的逆序数为 a，求 na ， 1na  ，…， 1a 的逆序数． 19．（17分） 若函数  f x 在  0,  上恒有    xf x f x  成立（其中  f x 为  f x 的导函数），则称这类函数为 R类函数． （ I ）若函数   21g x x  ，试判断  g x 是否为 R类函数． （ II ）若函数   13 ln ah x ax x x      是 R类函数，求函数  h x 的单调区间． （ III ）若函数  f x 是 R类函数，当 1 > 0x ， 2 0x  时，证明：      1 2 1 2 .f x f x f x x  