10.5一次函数与一元一次不等式同步练习2024-2025学年 青岛版数学八年级下册

10.5一次函数与一元一次不等式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组的解，则a的值可能是（    ）    A． B．0 C．1 D．2 2．不等式﹣3x+6＞0的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示，一次函数的图像经过A、B两点，则解集是（    ） A． B． C． D． 4．小军用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数图象l1、l2，如图所示，则这个方程组是（　　） A． B． C． D． 5．如果一元一次方程的根是，那么一次函数的图象与轴交点的坐标为( ) A． B． C． D． 6．直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（    ） A． B． C． D． 7．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＜ax的解集是（　　）    A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2 8．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（　　） A．x＞ B．x＜ C．x＞3 D．x＜3 9．若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．关于x不等式的解集是 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程的解是 D．当时，一次函数值y的取值范围是 10．如图，直线和直线相交于点P，则根据图象分析，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 11．如图所示，直线l1：yx+6与直线l2：yx﹣2交于点P（﹣2，3），不等式x+6x﹣2的解集是（　　）    A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2 12．如图，已知直线，则方程的解等于（     ） A．0 B．2 C．4 D．1 二、填空题 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y=kx+b交x轴于点C（－8，0）． （1）k的值为 ； （2）点M为直线BC上一点，若∠MAB=∠ABO，则点M的坐标是 ． 14．已知一次函数的图象过点和点. 若，则x的取值范围是 ． 15．直线与的交点坐标为 ． 16．当x 时，式子－2(x－1)的值小于8. 17．已知函数和函数的图像交于和两点，当时，求的取值范围为 三、解答题 18．已知方程组的解是，试求直线与交点的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与一次函数的图象交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时，求的长； (3)直线经过定点，当直线与线段（含端点）有交点时k的正整数值是 　 　. 20．已知，如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，B，都在格点上，若是的边上的高． （1）的面积____________；线段的长为____________；线段的长为____________． 【类比探究】如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，直线垂直于x轴，垂足为点，直线与直线线相交于点． （2）写出点，点的坐标； （3）尝试求出点到直线的距离． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，且与直线：相交于点． (1)求和的值． (2)直线，与轴围成的三角形面积为___________． (3)的解集为___________． 22．已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求的值； (3)设点在轴负半轴上，（2）中的图象与轴、轴分别交于，两点，且，求点的坐标． 23．利用一次函数的图象求二元—次方程组的解． 24．如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于x的不等式ax+b＞0的解集是 　 　； (2)关于x的不等式mx+n＜1的解集是　 　； (3)当x　 　，y1≤y2； (4)当x　 　，0＜y2＜y1． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《10.5一次函数与一元一次不等式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D B B C B B C 题号 11 12 答案 A A 1．D 【分析】根据点A的位置可知方程组中的值，解方程组求得，由，得出，即可得出，解得． 【详解】解：∵点A在第一象限， ∴，且， 得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，熟知函数与方程组的关系是解题的关键． 2．A 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可． 【详解】﹣3x+6＞0 移项得：-3x>-6 解得：x<2， 故不等式-3x+6>0的正整数解为1，共1个． 故选A. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 3．B 【分析】根据图象可知: y随x的增大而增大,当x=-3时,y=0,从而得出当x≥-3时,y=≥0,即可求出结论． 【详解】解:根据图象可知: y随x的增大而增大,当x=-3时,y=0 ∴当x≥-3时,y=≥0 ∴的解集是x≥-3 故选B． 【点睛】此题考查的是一次函数的增减性和求不等式的解集,掌握一次函数的增减性和一次函数与一元一次不等式的关系是解决此题的关键． 4．D 【分析】两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组． 【详解】解：由图可知： 直线l1过（2，﹣2），（0，2），因此直线l1的函数解析式为：y＝﹣2x+2； 直线l2过（0，﹣1），（2，﹣2），因此直线l2的函数解析式为：yx﹣1； 因此所求的二元一次方程组为； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 5．B 【分析】由题意根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标值可得答案． 【详解】解：∵   一元一次方程的根是， ∴   函数的图象与轴的交点坐标为． 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次方程，注意掌握任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 6．B 【分析】根据图象利用一次函数与一元一次不等式的关系即可求解． 【详解】解：由图象知：时，直线在直线的上方， 所以的不等式的解为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握利用图象获取信息的能力． 7．C 【分析】观察函数图像得到当x＞2时，直线y=kx+b不在直线y=ax的上方，于是可得到不等式kx+b＜ax的解集． 【详解】解：当x＞2时，函数y=ax的图像在函数y=kx+b图像的上方，所以kx+b＜ax， 故不等式kx+b＜ax的解集为x＞2． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 8．B 【分析】根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y=0求出x值，从而找出点B的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3）， ∴b＝3， 令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝， ∴点B（，0）． 观察函数图象，发现： 当x＜时，一次函数图象在x轴上方， ∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键． 9．B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A. 关于x不等式的解集是，原说法错误； B. 关于x的不等式的解集是，原说法正确； C. 关于x的方程的解是，原说法错误； D. 当时，一次函数值y的取值范围是； 故选B． 10．C 【分析】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，关于，的二元一次方程组的解即为直线与的图象的交点的坐标． 【详解】解：直线与的图象相交于点， 关于，的二元一次方程组的解是， 故选：C． 11．A 【分析】利用函数图象写出直线l1：y=x+6与在直线l2：y=-x-2上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】当x＞﹣2时，x+6x﹣2， 所以不等式x+6x﹣2的解集是x＞﹣2． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 12．A 【分析】观察图形可直接得出答案． 【详解】解：根据图形知，当y=-1时，x=0，即ax+b=-1时，x=0． ∴方程ax+b=-1的解x=0， 故选A． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想方法． 13． （－2，3），（2，5） 【分析】（1）由y=－2x+4求得点的坐标，根据的坐标待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意画出图形，分在点左边与右边两种情况分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B， 令，得，则，令，得，则， 将，代入y=kx+b， 得， 解得， ∴直线得到解析式为， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， 如图，∠MAB=∠ABO，点M为直线BC上 ①当在点右侧时， ∵∠MAB=∠ABO，点M为直线BC上 , 所以的横坐标为2，代入，得， 所以， ②当在点左侧时，如果，设交轴于点， ∵∠MAB=∠ABO， ∴， 设，所以， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设解析式为， ， 解得， ∴的解析式为， 联立解析式得， 解得：， ∴， 综上，，， 故答案为：或 【点睛】本题考查了一次函数综合问题，求一次函数解析式，等角对等边，勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式是解题的关键． 14． 【分析】根据图象过点和点，画出函数图象，然后根据时，函数图象位于第二象限内，即可得出x的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象过点（-1,0）和点， ∴图象经过一、二、三象限，且y随x的增大而增大， ∴若时，函数图象位于第二象限内， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和不等式，根据题意画出函数图象，得出当时，函数图象位于第二象限内，是解题的关键． 15． 【分析】联立两个函数解析式得到方程组，再解方程组，方程组的解就是交点的坐标． 【详解】解：联立， ∴ ∴ 把代入得： ∴方程组的解为： ∴直线与的交点坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查的是求解两条直线的交点坐标，掌握“二元一次方程组的解就是两个方程对应的一次函数的交点坐标”是解本题的关键． 16．＞－3 【分析】先根据题意列出不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】由题意得：﹣2（x﹣1）＜8，整理得：﹣2x+2＜8，移项得：－2x＜8－2，合并同类项得：－2x＜6，系数化为1得：x＞﹣3． 故答案为＞－3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解答此题的关键． 17．x＜-2或x＞1 【分析】将展开，结合交点画出图形，根据图像可得x的取值范围． 【详解】解：， ∵函数和函数的图像交于和两点， 如图所示： ∴当时，求的取值范围为x＜-2或x＞1， 故答案为：x＜-2或x＞1． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，一次函数与不等式，解题的关键是画出图像，利用数形结合的方法解决问题． 18． 【分析】二元一次方程可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴直线y=3x-3与的交点坐标是（，1）． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 19．(1) (2) (3)或2 【分析】（1）先求得点B的坐标，再运用待定系数法即可得到一次函数的解析式． （2）设点C的横坐标为m，点D、E分别在y1、y2上，则，，由求出m，即可得的长． （3）由图可知，将点B和点A代入直线，可确定k的范围，参考题意k取正整数值． 【详解】（1）当时，， B点坐标为， 直线经过和， 则， 解得： ， 一次函数的解析式为． （2）设点C的横坐标为m，则，， ，， ， ，解得， ，， ． （3）， 解得， k取正整数值， 或2． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键． 20．（1）7；；；（2）（，0），（2，）；（3）点到直线的距离为 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积，利用勾股定理求出线段的长，利用面积法求出边上的高的长； （2）令中，求出坐标；当时求出坐标即可； （3）利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出点到直线的距离． 【详解】（1）； ； ∵ ∴； 故答案为：7；；； （2）令中，得， 解得， ∴； 当时，， ∴； （3）解：如图所示，过点作交于点H，则线段的长度即为点到直线的距离． 在中，，根据勾股定理得 ． 则 ∴点B到直线的距离为． 【点睛】此题考查了勾股定理与网格，勾股定理的计算，一次函数图象上点的坐标特点，利用面积法求三角形某条边上的高，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 21．(1) (2)4 (3) 【分析】（1）先把C点坐标代入中可求得a的值，然后把C点坐标代入中可求得k的值； （2）先解方程可得到B点坐标，然后利用三角形面积公式计算直线，与轴围成的三角形面积； （3）结合图象，写出两函数图象在轴上方(含B点)且直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解:把代入得 , 解得： 把代入得， 解得 （2）解：由（1）可得直线的解析式为，直线的解析式为 当时, 解得, 点坐标为 直线与与轴围成的三角形面积为： （3）解：结合图象, 的解集为 【点睛】此题考查了一次函数解析式，函数图像与坐标轴交点问题，直线围成的图形面积问题，解不等式问题，利用数形结合思想是解题关键． 22．(1) (2) (3)点坐标为 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能够结合图象求三角形面积是解题的关键． （1）由已知，设，再将，代入表达式即可求的值； （2）将点代入解析式即可求； （3）求出、点坐标，设点，，根据三角形面积公式可得，，解出即可． 【详解】（1）解：由与成正比例，则设， 当时，， ， ， ； （2）解：点在该函数的图象上， ， ； （3）解：与轴、轴的交点为，， 点在轴负半轴上， 设点，， ， 或， ， ． 23． 【分析】在同一坐标系中作出函数和的图像，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解． 【详解】解： 在同一坐标系中作出函数和的图像，两图像交点坐标为， ∴二元—次方程组的解为． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数图像交点求对应二元一次方程组的解是解题关键． 24．(1)x＜4 (2)x＜0 (3)x≤2 (4)2＜x＜4 【分析】（1）利用直线y=ax+b与x轴的交点为（4，0），然后利用函数图象可得到不等式kx+b＞0的解集． （2）利用直线y=mx+n与x轴的交点为（0，1），然后利用函数图象可得到不等式mx+n＜1的解集． （3）结合两条直线的交点坐标为（2，1.8）来求得y1≤y2解集． （4）结合函数图象直接写出答案． 【详解】（1）∵直线y2=ax+b与x轴的交点是（4，0）， ∴当x＜4时，y2＞0，即不等式ax+b＞0的解集是x＜4； 故答案是：x＜4； （2）∵直线y1=mx+n与y轴的交点是（0，1）， ∴当x＜0时，y1＜1，即不等式mx+n＜1的解集是x＜0； 故答案是：x＜0； （3）由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是（2，1.8），当函数y1的图象在y2的下面时，有x≤2，所以当x≤2时，y1≤y2； 故答案为：x≤2； （4）根据图象可得，当2＜x＜4时，0＜y2＜y1． 故答案为：2＜x＜4． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$