6.1.1 两个计数原理及其简单应用同步练习-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时 两个计数原理及其简单应用 同步练习 1．甲、乙两个班级分别有29名、30名学生，从两个班中选一名学生，则（　　） A．有29种不同的选法 B．有30种不同的选法 C．有59种不同的选法 D．有29×30种不同的选法 2．如图，在由开关组A与B组成的并联电路（规定只能合上其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的不同方法有（　　） A．2种 B．3种 C．5种 D．6种 3．核糖核酸RNA是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA的碱基主要有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（　　） A．1004 B．4100 C．2100 D．410 4．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有（　　） A．30个 B．42个 C．35个 D．36个 5．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有（　　） A．12种 B．16种 C．24种 D．10种 6．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，那么电路不通时焊接点脱落的不同情况有（　　） A．9种 B．11种 C．13种 D．15种 7．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位（例如，134＋3 802＝3 936），则称（m，n）为“简单的”有序对，而m＋n称为有序数对（m，n）的值，那么值为2 964的“简单的”有序对的个数是（　　） A．525 B．1 050 C．432 D．864 8．如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（　　） A．7种 B．15种 C．23种 D．26种 9．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线． 10．若在图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法． 11．用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，上述四位数中共有________个“渐降数”． 12．某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人抽取幸运观众，若先从两个信箱中任意确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果． 13．从集合M＝{2，3，4，5，6，7，8，9}中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数，可得到多少个不同的对数值？ 14．已知集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对（m，n），问： （1）有多少个不同的数对？ （2）其中所取两数m＞n的数对有多少个？ 15．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球． （1）若取出的2个小球的颜色不同，有多少种取法？ （2）若取出的2个小球颜色相同，有多少种取法？ 16．用1，2，3，4四个数字（可重复）排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}． （1）写出这个数列的前11项； （2）这个数列共有多少项？ （3）若an＝341，求n． 参考答案 1．解：C　分两类：第一类从甲班选有29种方法，第二类从乙班选有30种方法．由分类加法计数原理得共有29＋30＝59种不同方法．故选C． 2．解：C　要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，在由开关组A与B组成的并联电路中，只要合上其中的任一开关，接通电源，灯泡就会发光．因此对完成这件事进行分类，而每一类都可以独立完成这件事（使灯泡发光），所以接通电源使灯泡发光的方法有2＋3＝5种． 3．解：B　每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为4100． 4．解：D　要完成这件事可分两步，第一步确定b（b≠0）有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数． 5．解：A　完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12（种）不同的行车路线． 6．解：C　按照可能脱落的个数分类讨论． 若脱落1个，则有（1），（4），共2种情况； 若脱落2个，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 若脱落3个，则有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4），共4种情况； 若脱落4个，则有（1，2，3，4），共1种情况； 综上，共有2＋6＋4＋1＝13（种）情况． 7．解：B　由题意知本题是一个分步乘法计数原理； 第一位取法有3种，分别为0，1，2； 第二位取法有10种，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9； 第三位取法有7种，分别为0，1，2，3，4，5，6； 第四位取法有5种，分别为0，1，2，3，4 根据分步乘法计数原理知共有3×10×7×5＝1 050（个）．故选B． 8．解：C　每个水闸有打开或关闭两种情况，五个水闸的打开或关闭不同结果有25种，水闸A打开，水闸B，C至少打开一个，水闸D，E至少打开一个，下游有水，水闸B，C至少打开一个有（22－1）种，水闸D，E至少打开一个有（22－1）种，由分步乘法计数原理得下游有水的不同结果有1×（22－1）×（22－1）＝9种．所以所求五个水闸打开或关闭的情况有25－9＝23种． 9．解：22　若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22（条）， 即所求的不同的直线共有22条． 10．解：5　6　对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5（种）不同的方法．对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3＝6（种）不同的方法． 11．解：15　分三类： 第一类，千位数字为3时，“渐降数”只有3 210，共1个； 第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321，4 320，4 310，4 210，共4个； 第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432，5 431，5 430，5 421，5 420，5 410，5 321，5 320，5 310，5 210，共10个． 由分类加法计数原理，共有1＋4＋10＝15（个）“渐降数”． 12．解：28 800　抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类： （1）幸运之星在甲信箱中抽，先定幸运之星，再在两信箱中各定一名幸运伙伴有 30×29×20＝17 400（种）结果． （2）幸运之星在乙信箱中抽，同理有 20×19×30＝11 400（种）结果． 所以共有17 400＋11 400＝28 800（种）不同的结果． 13．解：确定一个对数分两步： 第一步定底数，有8种取法； 第二步定真数，有7种取法． 根据分步乘法计数原理，共有7×8＝56（个）对数． 由于log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94， 所以可得到56－4＝52（个）不同的对数值． 14．解：（1）∵集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对（m，n），先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对． （2）在（1）中的25个数对中，所取两数m＞n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝1，3，有2种结果；当m＝6时，n＝1，3，5，有3种结果；当m＝8时，n＝1，3，5，7，有4种结果；当m＝10时，n＝1，3，5，7，9，有5种结果．综上所述，共有1＋2＋3＋4＋5＝15种结果． 15．解：（1）若2个球颜色不同，则应在A，B袋中各取1个，或A，C袋中各取1个，或B，C袋中各取1个，共有1×2＋1×3＋2×3＝11种取法． （2）若2个球颜色相同，则应在B袋中取出2个，或在C袋中取出2个，共有1＋3＝4种取法． 16．解：（1）111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133． （2）这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64（项）． （3）比an＝341小的数有两类： ① 1 × × 2 × × ② 3 1 × 3 2 × 3 3 × 共有2×4×4＋1×3×4＝44（项）． 所以n＝44＋1＝45． 学科网（北京）股份有限公司 $$