精品解析：湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

2024-2025学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期末联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A B. 1 C. 2 D. 4 2. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 3. 已知，是双曲线的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，且是和的等差中项，则的值为（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 已知数列为等比数列，，公比，若是数列前n项积，则取最小值时n为（ ） A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 9或10 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹为椭圆 B. 若，则点的轨迹为椭圆 C. 若，则点的轨迹为直线 D. 若，则点的轨迹为双曲线的一支 6. 设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，的内切圆圆心为I，若则椭圆的离心率e的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知椭圆的上，下焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 设等差数列的前n项和为，若有最大值，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当最大时， B. 使的最大k值为4045 C. D. 在数列中，当时，取最大值 11. 已知双曲线的右顶点为，过点A作的一条切线与双曲线交于点B，若AB中点为P，且，过点A作的另一条切线与双曲线交于点D，设直线AB，AD的斜率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线方程为 B. 双曲线的离心率 C D. 过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若等比数列的各项均为正数，且，则__________. 13. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为__________. 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列各项均为正数，设数列的前n项和为，其中 （1）求数列的通项公式; （2）令，求数列的前n项和 16. 已知双曲线的左顶点为，离心率e为，过点的直线l交双曲线左支于A，B两点. （1）求双曲线C的标准方程; （2）若O是坐标原点，且，求直线l的斜率. 17. 设数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）令，设为数列的前n项和，是否存在常数t，使对恒成立?若存在，求出t的最小值；若不存在，说明理由. 18. 已知平面内一个动点Q到点的距离比它到直线的距离少 （1）求点Q的轨迹方程; （2）已知是点Q的轨迹上不同的四点，点P在x轴下方，直线AC，BD交于点P，且，设的中点分别为点 ①证明：三点共线; ②若点P为半椭圆上的动点，求四边形面积的最大值. 19. 已知，，定义：数列共有m项，对任意i，，或中至少有一个仍是中的项，则称数列为“乘或除封闭数列”. （1）若且，判断数列是否为“乘或除封闭数列”; （2）已知递增数列，3，，27，为“乘或除封闭数列”，求，， （3）已知各项均为正且单调递增数列为“乘或除封闭数列”，若，证明：数列是等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期末联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线，则，焦点为，准线为， 所以焦点到准线距离为2. 故选：C 2. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列下标和的性质得，进而可求. 【详解】由，得，即，所以 故选：D 3. 已知，是双曲线的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，且是和的等差中项，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程及其定义有，结合等差中项的性质有，可求，进而可证，即可求. 【详解】由双曲线，得，， 因为是和的等差中项， 所以，即 ①， 由双曲线的定义得 ②， 由①②得，，， 所以，即， 故 故选：B 4. 已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最小值时n为（ ） A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 9或10 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式可得，利用二次函数与指数函数的性质即可求解. 【详解】由题意得， 因为，，所以， 函数的开口向上，对称轴为，因为， 所以或时，取最小值，即取最小值. 故选：C. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹为椭圆 B. 若，则点的轨迹为椭圆 C. 若，则点的轨迹为直线 D. 若，则点的轨迹为双曲线的一支 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线的定义一一判断即可. 【详解】由，结合椭圆的定义，显然的轨迹不是椭圆而是线段，故A错误； 设，由，所以， 整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故B错误； 由，则点的轨迹为以为端点（向右）的射线，故C错误； 由，根据双曲线的定义，则点的轨迹为双曲线的右支，故D正确. 故选：D 6. 设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可设，，结合与的关系可得. 【详解】因数列，均为等差数列， 故由，可设，， 则， ， 则 故选：B 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，的内切圆圆心为I，若则椭圆的离心率e的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由内切圆性质可得，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】连接并延长，交x轴于点Q， 则，则， 所以， 所以， 由得，所以. 故选:C. 8. 已知椭圆的上，下焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意以及椭圆的几何性质得，，以及抛物线的标准方程以及其在点处的切线方程，进而即可求解. 【详解】解：由题可知，直线AB的斜率k为， 设，则椭圆的离心率， 所以，，即焦点坐标为， 所以抛物线方程为， 故在点处的切线方程为， 令，， 因为， 所以是首项2，公比的等比数列， 即 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设直线AB的方程，联立抛物线方程结合韦达定理可判断A，B；再依次应用抛物线焦点弦长公式和焦半径公式计算即可判断C，D.. 【详解】对于AB，由抛物线的方程可知，，即， ， 直线AB的斜率不可能为0，设其方程为， 联立，消去x，得，， 故，故A错误，B正确； 对于C，若，则， 则，C正确； 对于D，由抛物线的定义知，， 又， ，即选项D正确. 故选:BCD 10. 设等差数列的前n项和为，若有最大值，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当最大时， B. 使的最大k值为4045 C. D. 在数列中，当时，取最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，则或，结合有最大值，则，利用等差数列前n项和的最值即可判断A，利用等差数列的性质与前n项和公式即可判断B，利用二次函数的性质可判断C，利用数列与不等式可判断D. 【详解】由得， 则或，即或， 因为有最大值，所以，故当最大时，，A正确； 因为，，B错误； 根据等差数列前n项和的函数性质，先增大后减小， 因为的图象过原点，且， 又因为， ， 所以，所以C正确； 当时，， 又因为， 当时，，当时，， 因为且， 所以，D正确. 故选：ACD. 11. 已知双曲线的右顶点为，过点A作的一条切线与双曲线交于点B，若AB中点为P，且，过点A作的另一条切线与双曲线交于点D，设直线AB，AD的斜率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线方程为 B. 双曲线的离心率 C. D. 过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意设点代入方程化简得出即求出离心率判断B，得出轨迹方程可判断A，结合点到直线距离及韦达定理即可判断C，应用斜率公式计算求解得出定点判断D. 【详解】设，，将，代入双曲线方程得：①，②， ①-②得：，即， 由题可知，，，所以， 又因为是AB中点，所以，，即，所以，则，故B正确; 由题得，，所以双曲线方程为，故A正确； 圆M的圆心为，半径为r，设切线方程为， 则，即，则，是上述方程的两根，根据韦达定理可得，故C错误; 由，则，， 设AD的中点为Q，由①可得：，即：，，因为，， 所以③，④，因为， 将③④分别代入，则：，即⑤， ，即⑥， ⑤-⑥得：，所以直线BD过定点，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若等比数列的各项均为正数，且，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质和对数运算求解可得. 【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且，则， 因为， 由等比数列的性质知：， 所以 故答案为：6 13. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由递推公式可得，从而得到是等比数列，利用等比数列通项公式得到从而得到的通项公式. 【详解】解：因为，所以， 又因为，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 故答案为： 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件依次求得P点坐标、与，进而得，由，令，则，即可求得t的取值范围. 【详解】将P的纵坐标代入椭圆的方程，则， 所以，， 即 ， 所以， 因为， 令，则 所以， 即，所以，故 故答案为： 【点睛】关键点睛：关键在于利用向量数量积判断为直角，利用勾股定理和椭圆的定义表示出离心率，然后根据离心率范围求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列各项均为正数，设数列的前n项和为，其中 （1）求数列的通项公式; （2）令，求数列的前n项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用前n项和与通项公式的关系证明是等差数列，再利用等差数列的通项公式求解即可. （2）写出新数列的通项公式，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求和即可. 【小问1详解】 ，当时，，得或舍， 当时，，， 即，数列的各项均为正数，即， ，即数列是首项为1，公差为1的等差数列， 【小问2详解】 ，①， ②， ①-②得： ， 16. 已知双曲线的左顶点为，离心率e为，过点的直线l交双曲线左支于A，B两点. （1）求双曲线C的标准方程; （2）若O是坐标原点，且，求直线l的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据顶点和离心率列方程求解可得； （2）设出直线方程，联立双曲线方程消去y，韦达定理结合列方程求解可得. 【小问1详解】 由题得，解得， 双曲线C的标准方程为 【小问2详解】 由题可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立双曲线的方程，得， 设，，则，， 直线l交双曲线左支于A，B两点， ，解得， ， ，即， 解得或， ，时，  17. 设数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）令，设为数列的前n项和，是否存在常数t，使对恒成立?若存在，求出t的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用数列的与的关系式消去，判断为等比数列，即得其通项； （2）代入计算并化简，利用裂项相消法求得，由数列解析式的单调性求得其范围即可. 【小问1详解】 由①， 当时，，即， 当时，②，  ①-②得：，即，所以， 数列是首项为2，公比为2的等比数列，故， 【小问2详解】 由，可得，， ， 故 由于单调递增，可得，即， 则存在常数t，使对恒成立，即，故t的最小值为 18. 已知平面内一个动点Q到点的距离比它到直线的距离少 （1）求点Q的轨迹方程; （2）已知是点Q的轨迹上不同的四点，点P在x轴下方，直线AC，BD交于点P，且，设的中点分别为点 ①证明：三点共线; ②若点P为半椭圆上的动点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）设点，由题意得，化简可得； （2）①由已知可得，则，利用斜率公式可得，则轴，由C，D分别为PA，PB的中点，可得轴，则M，N，P三点共线； ②点，，，由已知与①可得，则由时，取得最大值，即可求得四边形面积的最大值. 【小问1详解】 设点，由题得， 将上式两边同时平方，得， 化简得：， 当时，， 当时，，此时轨迹不存在， 综上：点Q的轨迹方程为 【小问2详解】 ①由，， 可知C，D分别为中点，即得， 则直线AB和直线CD的斜率相等，即， 设，，，， 则点M的横坐标，点N的横坐标， 由，得， 即，则， 所以， 所以轴 设，由点是中点，可得，， 因点在抛物线上，故， 整理得， 同理得， ，是方程的两个根， ， 且，， 有，得轴，故三点共线. ②因为点为半椭圆上的动点， 则，且， 又， 则， 因为， 因，且相似比为， 故 ，其中， 当时，取得最大值， 此时四边形面积取得最大值为 【点睛】关键点点睛：（2）①得到后，利用斜率公式得，则轴，再证得轴，即得M，N，P三点共线； ②结合图象，将四边形的面积用表示为：，再利用二次函数的性质求最大值. 19. 已知，，定义：数列共有m项，对任意i，，或中至少有一个仍是中的项，则称数列为“乘或除封闭数列”. （1）若且，判断数列是否为“乘或除封闭数列”; （2）已知递增数列，3，，27，为“乘或除封闭数列”，求，， （3）已知各项均为正且单调递增数列为“乘或除封闭数列”，若，证明：数列是等比数列. 【答案】（1）不是 （2），，； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用题目定义验证即可； （2）利用或中至少有一个仍是中的项，推理可得答案； （3）结合新定义得出，进而可得数列等比数列. 【小问1详解】 由题意知，数列为2，4，8，16，32，因为和均不是中的项， 所以数列不是“乘或除封闭数列”； 【小问2详解】 由数列递增可知，则不是中的项，所以是中的项，所以， 因为，所以，，都是中的项，所以，得， 由，得，所以，，； 【小问3详解】 因为数列单调递增，且，则不是中的项，所以是中的项，所以， 因为不是中的项，所以是中的项， 所以，因为，，，，，共有m项， 所以①， 类似的，，，， 则不是中的项，所以是中的项， ， 所以②， 由①和②得，所以是首项为1的等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是理解新定义，利用或中至少有一个仍是中的项，进行推理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $