专题02 方程与不等式 2025年九年级数学中考 一轮复习 知识清单+典型例题

方程与不等式 一元一次方程、二元一次方程（组） 一、【考纲要求】 1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程； 2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组； 3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想. 二、【知识网络】 三、【考点梳理】 考点一、一元一次方程 1.等式性质 （1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念 （1）含有未知数的等式叫做方程. （2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程 （1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的一般形式:. （3）解一元一次方程的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释： 解一元一次方程的一般步骤 步骤 名 称 方 法 依 据 注 意 事 项 1 去分母 在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数） 等式性质2 1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来. 2 去括号 去括号法则（可先分配再去括号） 乘法分配律 注意正确的去掉括号前带负数的括号 3 移项 把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边（右边） 等式性质1 移项一定要改变符号 4 合并 同类项 分别将未知项的系数相加、常数项相加 1、整式的加减； 2、有理数的加法法则 单独的一个未知数的系数为“±1” 5 系数化为“1” 在方程两边同时除以未知数的系数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数） 等式性质2 不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母） *6 检根 x=a 方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果. ①　若 左边＝右边，则x=a是方程的解； ②　若 左边≠右边，则x=a不是方程的解. 注：当题目要求时，此步骤必须表达出来. 说明： （1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤； （2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法； （3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解. 考点二、二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 要点诠释： (1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如： (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 考点三、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义 两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 要点诠释： 判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式 要点诠释： a1、a2不同时为0，b1、b2不同时为0，a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法 (1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 要点诠释： （1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透． （2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系： 当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值. 考点四、一元一次方程（组）的应用 列方程(组)解应用题的一般步骤： 1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系； 2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整； 3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)； 4.解:解所列的方程(组)； 5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)； 6.答:注意单位和语言完整. 要点诠释： 列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等. 考点五、二元一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的基本思路 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 考点六、常见的一些等量关系 1.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例. 3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量. 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， . 5.行程问题 速度×时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度. 6.存贷款问题 利息=本金×利率×期数. 本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12. 月利率＝年利率×. 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 8.方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 要点诠释： 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案． 四、【典型例题】 类型一、一元一次方程及其应用 1．如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1 举一反三： 【变式1】已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=5，则m的值为 . 【变式2】若a，b为定值，关于x的一元一次方程无论k为何值时，它的解总是1，求a，b的值． 2．某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（　　） A．54盏 B．55盏 C．56盏 D．57盏 举一反三： 【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 类型二、二元一次方程 3．若是关于x、y的二元一次方程，求a的值． 举一反三： 【变式1】已知方程是二元一次方程，则m= ，n= . 【变式2】方程，当时，它是一元一次方程． 【变式3】已知下列方程，其中是二元一次方程的有________． (1)2x-5＝y； (2)x-1＝4； (3)xy＝3； (4)x+y＝6； (5)2x-4y＝7； (6)；(7)；(8)；(9)；(10)． 【变式4】下列方程中，属于二元一次方程的有（ ） A. B. C. D. 类型三、二元一次方程的解 4.若方程中，当x＝1时，y＝-1，求a的值． 举一反三： 【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是，求m的值. 5.写出二元一次方程的所有正整数解. 举一反三： 【变式1】已知二元一次方程 ，下列说法不正确的是（ ） A.它有无数多组解 B.它有无数多组整数解 C.它有4组正整数解 D.它的解中不会出现负整数 【变式2】在方程中，若分别取2、、0、－1、－4，求相应的的值. 类型四、二元一次方程组及解 6. 甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的b．得到方程组的解为．试计算：的值． 举一反三： 【变式1】已知关于的二元一次方程组 ，求． 【变式2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 类型五、一元一次方程（组）的综合应用 7．某县为鼓励失地农民自主创业，在2024年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？ 举一反三： 【变式】某公园的门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 票价 10元／人 8元／人 5元／人 某校七年级甲、乙两班共多人去该公园举行联欢活动，其中甲班多人，乙班不足人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付元．问：甲、乙两班分别有多少人？ 8．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：  甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；  乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；  丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”； 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？ 类型六、二元一次方程（组）的综合应用 1.和差倍分问题： 9.甲乙丙三个工厂共同筹办一所厂校，所出经费不同，其中甲厂出总数的，乙厂出甲丙两厂和的，已知丙厂出了16000元，问这所厂校总经费是多少？甲乙两厂各出多少？ 举一反三： 【变式1】根据图中所给出的信息，求出每个篮球和每个羽毛球的价格. 【变式2】在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生的优分率为60％，女生的优分率为40％，全校的优分率为49.6％；乙校男生的优分率为57％，女生的优分率为37％． (男(女)生优分率＝，全校优分率＝) (1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少? (2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因． 【变式3】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动已开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%． (1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台? (2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？ 2.产品配套问题： 10. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 举一反三： 【变式1】某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）. 【变式2】某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？ 【变式3】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？ 3. 工程问题： 11.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件? 举一反三： 【变式】一项工程，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成．按原定计划，这项工程要求在7天内完成．现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前1天完成任务．问：甲、乙两队合做了多少天？丙队加入后又做了多少天？ 4.利润问题： 12.商店新进一批商品准备出售，若打8折出售，则10天可以售完，并能获利10000元；若打7.5折出售8天可以售完，可获利8000元，商品存放一天需要100元的存货费，求这批商品的本钱(购货价)和预售总价各是多少? 举一反三： 【变式1】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗? 【变式2】甲乙两件服装的成本为500元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按50%的利润定价，乙种服装按40%的利润定价．实际出售时，两种服装均按九折出售，这样商店共获利157元．求甲乙两件服装的成本各是多少元？ 【变式3】儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？ 5.行程问题 13. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出． (1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度； (2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇? 举一反三： 【变式1】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？ 【变式2】某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离. 【变式3】已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度． 6. 存贷款问题 13. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，王先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？ 举一反三： 【变式1】张叔叔10万元买一辆货车跑运输，年利率为5.49%，计划两年还清贷款和利息．他用货车载货平均每月可赚运输费0.8万元，其中开支有两项：油费是运费收入的10%，修理费、养路费和交税是运费收入的20%，其余才是利润. 请你算一算，张叔叔跑2年的利润能否还清贷款和利息？ 【变式2】在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（　　）． A.20 B.25 C.30 D.35 7. 数字问题 14.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数． 举一反三： 【变式1】一个两位数，个位数字和十位数字之和为8，个位与十位互换后，所得的新数比原数小18，则这个两位数是 ． 【变式2】小明和小亮做游戏，小明在一个加数的后面多写了一个0，得到的和为242；小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341.原来的两个数分别为多少？ 【变式3】一个两位数的十位上的数字与个位上的数字之和是这个两位数的，用方程表示这一个数量关系是 ． 8.方案选择问题 15.聪聪暑期在一家商场参加社会实践活动，商场老板想要购进A、B两种新型节能台灯共50盏，只给了聪聪2500元进货款和一份价目表，这两种台灯的进价、标价如下表所示． 类型 价格 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)同学们，你知道聪聪购买了这两种台灯各多少盏吗? (2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若老板要求：计划销售这批台灯的总利润达到1405元，问至少需购进B型台灯多少盏? 举一反三： 【变式1】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐. （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由. 【变式2】一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人奖金”B(元)两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍．(注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．) (1)求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数； (2)求本次奖金发放的具体方案． 【变式3】联想集团某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元，某市一中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由. 一元二次方程、分式方程 一、【考纲要求】 1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 二、【知识网络】 三、【考点梳理】 考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为(a≠0)． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解． （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解． （3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释： 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法． 3．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为． △>0方程有两个不相等的实数根； △＝0方程有两个相等的实数根； △<0方程没有实数根． 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释： △≥0方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么． 考点二、分式方程 1.分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释： （1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量. 　　（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程. 2.分式方程的解法 去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤 　　　(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； 　　　(2)解这个整式方程； 　　　(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 　　　 　分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释： 解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) 关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题 关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题 其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%． 明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题 重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题 对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题． 注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量． 2．解应用题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 要点诠释： 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想． 注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 四、【典型例题】 类型一、一元二次方程 1．用配方法解一元二次方程： 举一反三： 【变式1】用配方法解方程x2-7x-1=0． 【变式2】阅读材料： 为解方程，我们可以将 看作一个整体，然后设， 那么原方程可化为……①， 解得，， 当时，，，； 当时，，，，故原方程的解为， ，，． 解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； （2）请利用以上知识解方程． 【变式3】设m是实数，求关于x的方程的根． 2．关于x的方程有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围. (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由 举一反三： 【变式1】已知关于x的方程． （1）求证方程有两个不相等的实数根． （2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【变式2】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 求的值. 【变式3】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 类型二、分式方程 3．解方程： 举一反三： 【变式1】解分式方程：． 【变式2】方程的解是x= ． 【变式3】解方程： 【变式4】解方程： 【变式5】 4．若解分式方程产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 举一反三： 【变式1】若关于的方程无解，则的值是 ． 【变式2】m为何值时，关于x的方程会产生增根？ 【变式3】当m为何值时，方程会产生增根( ) 　　 A. 2 　　　B. －1　　　 C. 3　　　 D.－3 类型三、一元二次方程、分式方程的应用 5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度. 举一反三： 【变式1】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 【变式2】要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？ 【变式3】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗 粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年 的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550 毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量． 6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 举一反三： 【变式】某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元． 　　⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ 　　⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由． 一元一次不等式(组) 一、【考纲要求】 1.会解一元一次不等式（组），理解一元一次不等式（组）的解集的含义，进一步体会数形结合的思想； 2.会用不等式（组）进行解题，能利用不等式（组）解决生产、生活中的实际问题. 二、【知识网络】 三、【考点梳理】 考点一、不等式的相关概念 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “≠”、 “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式 求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式. 要点诠释： 不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 考点二、不等式的性质 性质1： 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2： 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）． 性质3： 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）． 要点诠释： （1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，�则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号. （2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b． 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c. 考点三、一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)． 2．一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，�但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向． 解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1． 要点诠释： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 3．一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 要点诠释： 判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多． 4．一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小 找不到） 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 要点诠释： 解不等式组时，一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集． 5．一元一次不等式（组）的应用 列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要． 要点诠释： 列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）�找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（�或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）�的解集中求出符合题意的答案． 6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系 一次函数，当函数值时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值或时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定的取值范围. 四、【典型例题】 类型一、解不等式（组） 1．解不等式≥x-5，并把它的解集在数轴上表示出来． 举一反三： 【变式】. 2．解不等式组并将其解集在数轴上表示出来. 举一反三： 【变式1】解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式2】解不等式组，并写出不等式组的整数解； 类型二、一元一次不等式（组）特解的问题 3．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（ ） A．-5≤a≤- B．-5≤a≤- C．-5＜a≤- D．-5＜a＜- 举一反三： 【变式1】关于x的方程，如果3(x＋4)－4＝2a＋1的解大于 的解，求a的取值范围． 【变式2】若不等式-3x+n＞0的解集是x＜2，则不等式-3x+n＜0的解集是_______． 类型三、一元一次不等式（组）的应用 4．仔细观察下图，认真阅读对话： 根据对话内容，试求出一盒饼干和一袋牛奶的标价各是多少元． 举一反三： 【变式】某牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种产品全年共新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足：110＜p＜120．已知有关数据如表所示，�那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？ 产品 每件产品的产值 甲 4.5万元 乙 7.5万元 类型四、一元一次不等式（组）与方程的综合应用 5．某钱币收藏爱好者，想把3．50元纸币兑换成的1分，2�分，5分的硬币；他要求硬币总数为150枚，2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5�分的硬币要多于2分的硬币；请你根据此要求，设计所有的兑换方案． 6．某校组织学生到外地进行综合实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李． ⑴ 如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？ ⑵ 如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方程与不等式 一元一次方程、二元一次方程（组） 一、【考纲要求】 1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程； 2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组； 3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想. 二、【知识网络】 三、【考点梳理】 考点一、一元一次方程 1.等式性质 （1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念 （1）含有未知数的等式叫做方程. （2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程 （1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的一般形式:. （3）解一元一次方程的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释： 解一元一次方程的一般步骤 步骤 名 称 方 法 依 据 注 意 事 项 1 去分母 在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数） 等式性质2 1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来. 2 去括号 去括号法则（可先分配再去括号） 乘法分配律 注意正确的去掉括号前带负数的括号 3 移项 把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边（右边） 等式性质1 移项一定要改变符号 4 合并 同类项 分别将未知项的系数相加、常数项相加 1、整式的加减； 2、有理数的加法法则 单独的一个未知数的系数为“±1” 5 系数化为“1” 在方程两边同时除以未知数的系数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数） 等式性质2 不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母） *6 检根 x=a 方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果. ①　若 左边＝右边，则x=a是方程的解； ②　若 左边≠右边，则x=a不是方程的解. 注：当题目要求时，此步骤必须表达出来. 说明： （1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤； （2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法； （3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解. 考点二、二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 要点诠释： (1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如： (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 考点三、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义 两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 要点诠释： 判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式 要点诠释： a1、a2不同时为0，b1、b2不同时为0，a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法 (1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 要点诠释： （1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透． （2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系： 当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值. 考点四、一元一次方程（组）的应用 列方程(组)解应用题的一般步骤： 1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系； 2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整； 3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)； 4.解:解所列的方程(组)； 5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)； 6.答:注意单位和语言完整. 要点诠释： 列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等. 考点五、二元一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的基本思路 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 考点六、常见的一些等量关系 1.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例. 3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量. 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， . 5.行程问题 速度×时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度. 6.存贷款问题 利息=本金×利率×期数. 本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12. 月利率＝年利率×. 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 8.方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 要点诠释： 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案． 四、【典型例题】 类型一、一元一次方程及其应用 1．如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1 【思路点拨】未知数x的指数是1即可. 【答案】B； 【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4. 【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三： 【变式1】已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=5，则m的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m＝2，∴m=6. 【变式2】若a，b为定值，关于x的一元一次方程无论k为何值时，它的解总是1，求a，b的值． 【答案】a=0,b=11. 2．某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（　　） A．54盏 B．55盏 C．56盏 D．57盏 【思路点拨】可设需更换的新型节能灯有x盏，根据等量关系：两种安装路灯方式的道路总长相等，列出方程求解即可． 【答案】B； 【解析】设需更换的新型节能灯有x盏， 则70（x+1）=36×（106+1），70x=3782，x≈55 则需更换的新型节能灯有55盏．故选B． 【总结升华】注意根据实际问题采取进1的近似数． 举一反三： 【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】成本价提高30%后标价为，打8折后的售价为．根 据题意，列方程得，故选A． 类型二、二元一次方程 3．若是关于x、y的二元一次方程，求a的值． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义作答． 【答案与解析】 解：根据题意得：|a|-2＝1，所以|a|＝3，a＝±3，而(a-3)x中，a-3≠0，即a≠3，所以a＝-3． 【总结升华】二元一次方程和二元一次方程组中系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数与次数，不管方程的形式如何变化，必须满足含有两个未知数，含未知数的项的次数是一次且方程左右两边都是整式这三个条件． 举一反三： 【变式1】已知方程是二元一次方程，则m= ，n= . 【答案】-2， 【变式2】方程，当时，它是一元一次方程． 【答案】； 【变式3】已知下列方程，其中是二元一次方程的有________． (1)2x-5＝y； (2)x-1＝4； (3)xy＝3； (4)x+y＝6； (5)2x-4y＝7； (6)；(7)；(8)；(9)；(10)． 【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验． 【答案】(1)(4)(5)(8)(10) 【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念．(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；(9)中未知数x的次数为2． 【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断． 【变式4】下列方程中，属于二元一次方程的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 类型三、二元一次方程的解 4.若方程中，当x＝1时，y＝-1，求a的值． 【思路点拨】该题其实是给出了二元一次方程的一个解，只需把它代入方程，原方程就转化为关于a的一元一次方程，即可求出． 【答案与解析】 解：把x＝1，y＝-1代入原方程，，． 【总结升华】一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程解的定义可以求出方程中其他字母的值，所以在今后的学习中要会灵活运用它． 举一反三： 【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是，求m的值. 【答案】 解：将代入方程2x-y+m-3=0得，解得. 答：m的值为3. 5.写出二元一次方程的所有正整数解. 【思路点拨】可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，当两个未知数的取值均为正整数才是方程的解，写时注意按一定规律写，做到不重、不漏. 【答案与解析】 解：由原方程得，因为都是正整数， 所以当时，. 所以方程的所有正整数解为：， ， ， . 【总结升华】对题意理解，要注意两点：①要正确；②不重、不漏. 两个未知数的取值均为正整数才是符合题意的解. 举一反三： 【变式1】已知二元一次方程 ，下列说法不正确的是（ ） A.它有无数多组解 B.它有无数多组整数解 C.它有4组正整数解 D.它的解中不会出现负整数 【答案】D 【变式2】在方程中，若分别取2、、0、－1、－4，求相应的的值. 【答案】将变形得. 把已知值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表： 2 0 －1 －4 －2 2 6 类型四、二元一次方程组及解 6. 甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的b．得到方程组的解为．试计算：的值． 【思路点拨】把x、y的值代入正确的方程，就可以求出字母的值． 【答案与解析】 解：把代入②，得-12+b＝-2，所以b＝10． 把代入①，得5a+20＝15，所以a＝-1， 所以． 【总结升华】一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程解的定义可以求出方程中其他字母的值，所以在今后的学习中要会灵活运用它． 举一反三： 【变式1】已知关于的二元一次方程组 ，求． 【答案】 解：将代入原方程组得： ，解得 ， 所以． 【变式2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A，B中未知数的次数高于或低于一次，而C中出现三个未知数，只有D选项满足题意，故正确答案为D. 【总结升华】是否是二元一次方程组要满足“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数都应是一次；3、都是整式方程”． 类型五、一元一次方程（组）的综合应用 7．某县为鼓励失地农民自主创业，在2024年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？ 【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解 决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解． 【答案与解析】 方法一： 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人， 则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000， 解得：x=40， ∴60-x =60-40=20 答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人. 方法二： 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x，y人， 根据题意列出方程组： 解得： 答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业 人员稳定就业一年以上的农民有20人. 【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系. 举一反三： 【变式】某公园的门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 票价 10元／人 8元／人 5元／人 某校七年级甲、乙两班共多人去该公园举行联欢活动，其中甲班多人，乙班不足人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付元．问：甲、乙两班分别有多少人？ 【答案】设甲班有x人，乙班有y人，由题意得： 解得：． 答：甲班有55人，乙班有48人. 8．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：  甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；  乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；  丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”； 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？ 【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解. 【答案与解析】 设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时辆，根据题意得：    解得 答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆. 【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键. 类型六、二元一次方程（组）的综合应用 1.和差倍分问题： 9.甲乙丙三个工厂共同筹办一所厂校，所出经费不同，其中甲厂出总数的，乙厂出甲丙两厂和的，已知丙厂出了16000元，问这所厂校总经费是多少？甲乙两厂各出多少？ 【思路点拨】题目中的相等关系是：甲厂所出经费＝总经费×， 乙厂所出经费＝（甲厂所出经费+丙厂所出经费）×. 【答案与解析】 解：设甲厂出x元，乙厂出y元，由题意得： ∴12000+14000+16000=42000（元） 答：总经费为42000元，甲厂出12000元，乙厂出14000元. 【总结升华】本题也可以用一元一次方程来解，相比之下，对于含有两个未知数的应用题，列二元一次方程组来解更方便、更直观. 举一反三： 【变式1】根据图中所给出的信息，求出每个篮球和每个羽毛球的价格. 【答案】 解：设每个篮球元，每个羽毛球元.根据题意列方程组： 解得 答：每个篮球20元，每个羽毛球2元. 【变式2】在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生的优分率为60％，女生的优分率为40％，全校的优分率为49.6％；乙校男生的优分率为57％，女生的优分率为37％． (男(女)生优分率＝，全校优分率＝) (1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少? (2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因． 【思路点拨】 (1)求甲校参加测试的男、女生人数需设两个未知数，故可建立二元一次方程组求解．(2)由于甲校男、女生的优分率相应高于乙校的男、女生的优分率，要使乙校的全校优分率比甲校的全校优分率高，此时，只有乙校的男生较多时，才能提高全校的优分率． 【答案与解析】 解：(1)设甲校参加测试的男生人数是x人，女生人数是y人． 由题意可列方程组： 解之得：． 答：甲校参加测试的男生有48人，女生有52人． (2)如：乙校男生有70人，女生有30人，则乙校的全校优分率为 ．51％＞49.6％ (说明：只要所举例子中男生人数多于63人，且女生优分率合适，即可得全分．) 【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题的第（2）问也可以用不等式求出甲乙两校男生人数满足什么关系时，才满足甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低． 【变式3】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动已开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%． (1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台? (2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？ 【答案】 解：(1)设政策出台前一个月销售的手动型汽车为x辆，自动型汽车为y辆， 由题意可得： 解之得：． 答：政策出台前一个月销售的手动型汽车为560辆，自动型汽车为400辆． (2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(万元) 答：政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了516.2万元． 2.产品配套问题： 10. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 【思路点拨】本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反了）. 【答案与解析】 解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套. 根据题意，列方程组得 解方程组得 答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套. 【总结升华】生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键. 举一反三： 【变式1】某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）. 【答案】 解：设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，由题意得， , . ∴方桌有50=300（张）. 答：有6的木材生产桌面，4的木材生产桌腿，可生产出300张方桌. 【变式2】某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？ 【答案与解析】 解：设女生人，男生人，由题意得： 解得： 答：这个班的男生有32人，女生有21人. 【总结升华】两人抬土需要一根扁担，一只筐；一人挑土需要一根扁担，两只筐．题中的等量关系是：参加劳动的同学一共用去箩筐68个和40根扁担，从而列出方程组，解出即可． 【变式3】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】 解：设分配x人生产螺栓，y人生产螺母，则根据题意可得： 答：应分配25人生产螺栓，35人生产螺母. 3. 工程问题： 11.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件? 【思路点拨】本例由分析知，有两个相等关系：(1)甲4天的工作量＋甲乙合做8天的工作量＝工作总量；(2)乙4天的工作量＋甲、乙合做9天的工作量＝工作总量，根据这两个相等关系可列方程求解． 【答案与解析】 解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件． 根据题意，得， 解之，得． 答：甲、乙两人每天做机器零件分别为50个、30个． 【总结升华】解答这类问题的基本关系式是：工作量＝工作效率×工作时间．工程问题一般分为两类：一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题． 举一反三： 【变式】一项工程，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成．按原定计划，这项工程要求在7天内完成．现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前1天完成任务．问：甲、乙两队合做了多少天？丙队加入后又做了多少天？ 【思路点拨】根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解． 【答案与解析】 解：设甲、乙两队先合做了x天，丙队加入后又做了y天，则 解得． 答：甲、乙两队合做了4天，丙队加入后又做了2天． 【总结升华】①工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量．②在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”． 4.利润问题： 12.商店新进一批商品准备出售，若打8折出售，则10天可以售完，并能获利10000元；若打7.5折出售8天可以售完，可获利8000元，商品存放一天需要100元的存货费，求这批商品的本钱(购货价)和预售总价各是多少? 【思路点拨】本题有两个未知数，即商品本钱和预售总价，也有两个明显的等量关系，即两种打折出售的获利情况． 【答案与解析】 解：设这批商品的本钱(购货价)为x元，预售总价为y元，根据题意，得： ，解这个方程组得． 答：这批商品的本钱为24200元，预售总价为44000元． 【总结升华】打几折就是乘以百分之几十，另外注意两次获利都是纯利润．本例需要弄清的等量关系是：销售总价－商品进价－存货费＝利润． 举一反三： 【变式1】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗? 【答案】 解：设王师傅分别购进甲、乙两种商品件和件，则 解得： 答：王师傅分别购进甲乙两种商品32件与18件． 【变式2】甲乙两件服装的成本为500元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按50%的利润定价，乙种服装按40%的利润定价．实际出售时，两种服装均按九折出售，这样商店共获利157元．求甲乙两件服装的成本各是多少元？ 【答案与解析】 解：设甲、乙两件服装的成本分别为元和元，由题意： 解得： 答：甲、乙两件服装的成本分别为300元和200元 【总结升华】本题也可以用一元一次方程的知识解答． 【变式3】儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？ 【答案】 解：设书包和文具盒的标价分别为x元和y元，根据题意，得 解得：． 答：书包和文具盒的标价分别为48元和18元． 5.行程问题 13. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出． (1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度； (2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇? 【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解． (1)“同时开出相向而行”可用下图表示． “同时开出同向而行”可用下图表示． (2)慢车先开出1小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来． 【答案与解析】 解：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时． 根据题意，得， 解得 答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时． (2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时， 根据题意，得60(x+1)+100x＝480． 解得． 答：快车开出小时两车相遇． 【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词． 举一反三： 【变式1】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？ 【答案】 解：设这两列火车的速度分别为km/h，km/m． 由题意得， 答：这两列火车的速度分别为45 km/h和 36 km/h． 【变式2】某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离. 【思路点拨】本题中的等量关系为：50×（规定时间+）＝两地距离； 75×（规定时间－）＝两地距离．算出规定时间和两地距离后即可求得每小时多少千米的速度行驶可准时到达． 【答案与解析】 解：设规定的时间为x小时，甲乙两地间的距离为y千米. 则由题意可得： 解得： 答：甲乙两地间的距离为140千米. 【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词． 【变式3】已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度． 【答案】 解：设火车速度为x m/s，火车长度为y m．根据题意，得： 解得: 答：火车速度是20m/s，火车的长度是200m． 6. 存贷款问题 13. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，王先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？ 【思路点拨】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息＝6075元. 【答案与解析】 解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得： 解得： 答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元． 【总结升华】利息＝贷款金额×利息率. 举一反三： 【变式1】张叔叔10万元买一辆货车跑运输，年利率为5.49%，计划两年还清贷款和利息．他用货车载货平均每月可赚运输费0.8万元，其中开支有两项：油费是运费收入的10%，修理费、养路费和交税是运费收入的20%，其余才是利润. 请你算一算，张叔叔跑2年的利润能否还清贷款和利息？ 【答案与解析】 解：设 10万元贷款两年后的本息和为万元，而张叔叔跑2年的总利润为万元，则： 解得 ∵ ， ∴能还清． 答：张叔叔跑2年的利润能还清贷款和利息． 【总结升华】本题也可以不用方程组，直接列出代数式求值，比较大小得答案． 【变式2】在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（　　）． A.20 B.25 C.30 D.35 【答案】B 7. 数字问题 14.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数． 【思路点拨】本题中的等量关系：①个位上的数－十位上的数＝5；②原数+新数＝143． 【答案与解析】 解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y．则原数为10y+x，把这两个数的位置对换后，所得的新数为10x+y，根据题意，得： ，解方程组，得． 故这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49． 答：这个两位数为49． 【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位数＝十位数字×10+个位数字； 三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个位数字． 举一反三： 【变式1】一个两位数，个位数字和十位数字之和为8，个位与十位互换后，所得的新数比原数小18，则这个两位数是 ． 【答案】53 【变式2】小明和小亮做游戏，小明在一个加数的后面多写了一个0，得到的和为242；小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341.原来的两个数分别为多少？ 【思路点拨】在后面多写一个0，实际就是扩大了10倍．两个等量关系为：10×一个加数+另一个加数=242；一个加数+10×另一个加数=341． 【答案与解析】 解：设原来的两个数分别为和，则： ， 解得． 答：原来两个加数分别是21，32． 【总结升华】解决本题的关键是弄清在后面多写一个0，实际就是扩大了10倍． 【变式3】一个两位数的十位上的数字与个位上的数字之和是这个两位数的，用方程表示这一个数量关系是 ． 【答案】或（填一个即可） 8.方案选择问题 15.聪聪暑期在一家商场参加社会实践活动，商场老板想要购进A、B两种新型节能台灯共50盏，只给了聪聪2500元进货款和一份价目表，这两种台灯的进价、标价如下表所示． 类型 价格 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)同学们，你知道聪聪购买了这两种台灯各多少盏吗? (2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若老板要求：计划销售这批台灯的总利润达到1405元，问至少需购进B型台灯多少盏? 【思路点拨】(1)两种灯的总数为50，两种灯的进货款总和为2500元，列出二元一次方程组，求出两种灯的数量．再利用B型灯的数量设参，根据两种灯的总利润达到1405元列方程，即可求出B型灯的数量． 【答案与解析】 解：(1)设A型台灯购进x盏，B型台灯购进y盏． 根据题意，得，解得：． (2)设购进B型台灯m盏，根据题意，得35m+20(50-m)＝1405， 解得m＝27． 答：(1)A型台灯购进30盏，B型台灯购进20盏；(2)要使销售这批台灯的总利润达到1405元，至少需购进B种台灯27盏． 【总结升华】本例为直接设元，利用表格进行分析、判断，这种方法值得学习和借鉴． 举一反三： 【变式1】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐. （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由. 【答案】 解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.则根据题意可得： 解得： 答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐. ∴能供全校的5300名学生就餐. 【变式2】一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人奖金”B(元)两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍．(注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．) (1)求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数； (2)求本次奖金发放的具体方案． 【思路点拨】 (1)有两个等量关系： ①技术员工的人数+辅助员工的人数＝15人； ②技术员工人数＝辅助员工人数×2．由此，可以设未知数列出方程组求解． (2)有一个等量关系：两种标准发放的奖金和为20000元，结合A≥B≥800，且A，B都是100的整数倍，从而分类求解． 【答案与解析】 解：(1)设该农机服务队有技术员工x人，辅助员工y人． 根据题意，得，解得． 即该农机服务队有技术员工10人，辅助员工5人． (2)由(1)，可得10A+5B＝20000． 因为A≥B≥800，且A，B都是100的整数倍， 所以当B＝800时，A＝1600； 当B＝900时，A＝1550(A不是100的整数倍，舍去)； 当B＝1000时，A＝1500； 当B＝1100时，A＝1450(A不是100的整数倍，舍去)； 当B＝1200时，A＝1400； 当B＝1300时，A＝1350(A不足100的整数倍，舍去)； 当B＝1400时，A＝1300(A＜B，舍去)； 因此再取下去都不符合题意． 所以本次奖金发放的具体方案有三种： 方案1：技术员工每人1600元，辅助员工每人800元； 方案2：技术员工每人1500元，辅助员工每人1000元； 方案3：技术员工每人1400元，辅助员工每人1200元． 【总结升华】本题的第(1)问容易求解．难在由第(2)问得到的等量关系武中含有两个未知数，好在这两个未知数受到两个条件的限制，从而可以分情况求解． 【变式3】联想集团某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元，某市一中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由. 【答案】 解：设从该公司购进A型电脑台， B型电脑台， C型电脑z台，则可分3种情况考虑： ①只购进A型电脑和B型电脑， 不符合题意，舍去，此方案不可取. ②只购进A型电脑和C型电脑， 符合题意，此方案可取. ③只购进B型电脑和C型电脑， 符合题意，此方案可取. 答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台. 2.2 一元二次方程、分式方程 一、【考纲要求】 1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 二、【知识网络】 三、【考点梳理】 考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为(a≠0)． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解． （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解． （3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释： 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法． 3．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为． △>0方程有两个不相等的实数根； △＝0方程有两个相等的实数根； △<0方程没有实数根． 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释： △≥0方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么． 考点二、分式方程 1.分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释： （1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量. 　　（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程. 2.分式方程的解法 去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤 　　　(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； 　　　(2)解这个整式方程； 　　　(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 　　　 　分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释： 解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) 关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题 关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题 其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%． 明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题 重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题 对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题． 注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量． 2．解应用题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 要点诠释： 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想． 注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 四、【典型例题】 类型一、一元二次方程 1．用配方法解一元二次方程： 【思路点拨】 把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值. 【答案与解析】 移项，得 二次项系数化为1，得 配方 由此可得 ， 【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则 判定此方程无实数解. 举一反三： 【变式1】用配方法解方程x2-7x-1=0． 【答案】 将方程变形为x2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方，得 　　　　x2-7x+=1+，所以有=1+． 　　　　直接开平方，得x-=或x-=-． 　　　　所以原方程的根为 x=或x=． 【变式2】阅读材料： 为解方程，我们可以将 看作一个整体，然后设， 那么原方程可化为……①， 解得，， 当时，，，； 当时，，，，故原方程的解为， ，，． 解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； （2）请利用以上知识解方程． 【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想． 【答案与解析】 （1）换元法； （2）设，那么原方程可化为 解得； 当时，； 当时，不符合题意，舍去． 所以原方程的解为，． 【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想. 【变式3】设m是实数，求关于x的方程的根． 【答案】x1=1,x2=m+2. 2．关于x的方程有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围. (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由 【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0. 【答案与解析】 （1）由△=(k+2)2－4k·＞0 ∴k＞－1 又∵k≠0 ∴k的取值范围是k＞－1，且k≠0 （2）不存在符合条件的实数k 理由：设方程kx2+(k+2)x+=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有： x1+x2=，x1·x2=， 又=0 则 =0 ∴ 由（1）知，时，△＜0，原方程无实解 ∴不存在符合条件的k的值. 【总结升华】 （1）注意隐含条件k≠0；（2）由根与系数关系的应用，求出k的值，要验证k的值是否符合题意. 举一反三： 【变式1】已知关于x的方程． （1）求证方程有两个不相等的实数根． （2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【答案】 （1）证明:因为△= = 所以无论取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以， 根据方程的根与系数的关系得，解得， 所以原方程可化为，解得，. 【变式2】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 求的值. 【思路点拨】 由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝，可得出a、b之间的关系， 然后将化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值． 【答案与解析】 ∵有两个相等的实数根， ∴⊿＝，即． ∵ ∵，∴ 【总结升华】 本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度． 【变式3】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 【答案】 （1）方程有两个不相等的实数根， ∴＞0． 　　 即，解得，．　　　　　　　　　　　　　 （2）若k是负整数，k只能为－1或－2．　　　　　　　　　　　　　 　 　如果k＝－1，原方程为　． 　　 解得，，．　　　　　　　　　　　　 　　 （如果k＝－2，原方程为，解得，，．） 类型二、分式方程 3．解方程： 【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【答案与解析】 方程两边都乘以，得 【总结升华】 首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根. 举一反三： 【变式1】解分式方程：． 【答案】方程两边同乘以，得 ． 　． ． 　　　 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． 【变式2】方程的解是x= ． 【答案】. 【变式3】解方程： 【思路点拨】 把原方程右边化为代入原方程求解较为简单. 【答案与解析】 原方程变为 经检验，是原方程的根. 【总结升华】 因为，，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大，可采用上面的方法较好. 【变式4】解方程： 【答案】原方程化为 方程两边通分，得 化简得 解得 经检验：是原方程的根. 【变式5】 【答案】 解此方程此方程无解. 4．若解分式方程产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m的值. 【答案】D； 【解析】由题意得增根是： 化简原方程为：把代入解得， 故选择D. 【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值. 举一反三： 【变式1】若关于的方程无解，则的值是 ． 【答案】1. 【变式2】m为何值时，关于x的方程会产生增根？ 【思路点拨】先把原方程化为整式方程，使分母为0的根是增根，代入整式方程求出m的值. 【答案与解析】 方程两边都乘以，得 整理，得 【总结升华】分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根. 【变式3】当m为何值时，方程会产生增根( ) 　　 A. 2 　　　B. －1　　　 C. 3　　　 D.－3 【答案】分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3.所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根.故选C. 类型三、一元二次方程、分式方程的应用 5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度. 【思路点拨】 在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系. 【答案与解析】 设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时 由题意，得 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时. 【总结升华】 流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度； 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2. 举一反三： 【变式1】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 【答案】设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得： 答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵. 【变式2】要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？ 【思路点拨】设规定日期是x天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，工作总量为1. 【答案与解析】 设规定日期为x天 根据题意，得 解得 经检验是原方程的根 答：规定日期是6天. 【总结升华】 工程问题涉及的量有三个，即每天的工作量、工作的天数、工作的总量．它们之间的基本关系是：工作总量=每天的工作量×工作的天数． 【变式3】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量． 【答案】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克， 由题意得， 解得：x=22， 经检验：x=22是原分式方程的解，且符合题意． 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克． 6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 【思路点拨】 设该产品的成本价平均每月降低率为x，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果． 【答案与解析】 设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x． 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500 整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81． 1-x=±0.9，x=1±0.9， x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%． 答：该产品的成本价平均每月应降低10%． 【总结升华】 题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，�要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，�关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价． 举一反三： 【变式】某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元． 　　⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ 　　⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由． 【思路点拨】 第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间， 这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间 第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少. 【答案与解析】 ⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得 　　　　　　 　　　　　　①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④ 　　　　　　④－①×，得＝，即z ＝ 30， 　　　　　　④－②×，得＝，即x ＝ 10， 　　　　　　④－③×，得＝，即y ＝ 15． 　　　　　　经检验，x ＝ 10，y ＝ 15，z ＝ 30是原方程组的解． 　　　　⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元， 　　　　　　根据题意，得 　　　　　　 　　　　　　由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队． 　　　　　　此工程由甲队单独完成需花钱元； 此工程由乙队单独完成需花钱元. 　　　　　　所以，由甲队单独完成此工程花钱最少． 【总结升华】 这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．在求解时，把，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解． 2.3 一元一次不等式(组) 一、【考纲要求】 1.会解一元一次不等式（组），理解一元一次不等式（组）的解集的含义，进一步体会数形结合的思想； 2.会用不等式（组）进行解题，能利用不等式（组）解决生产、生活中的实际问题. 二、【知识网络】 三、【考点梳理】 考点一、不等式的相关概念 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “≠”、 “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式 求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式. 要点诠释： 不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 考点二、不等式的性质 性质1： 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2： 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）． 性质3： 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）． 要点诠释： （1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，�则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号. （2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b． 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c. 考点三、一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)． 2．一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，�但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向． 解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1． 要点诠释： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 3．一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 要点诠释： 判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多． 4．一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小 找不到） 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 要点诠释： 解不等式组时，一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集． 5．一元一次不等式（组）的应用 列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要． 要点诠释： 列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）�找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（�或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）�的解集中求出符合题意的答案． 6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系 一次函数，当函数值时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值或时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定的取值范围. 四、【典型例题】 类型一、解不等式（组） 1．解不等式≥x-5，并把它的解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】 ①分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号．同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项； ②不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变； ③在数轴上表示不等式的解集，当解集是x＜a或x＞a时，不包括数轴上a这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是x≤a或x≥a时，包括数轴上a这一点，则这一点用实心圆点表示. 【答案与解析】 解：去分母，得 4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60， 去括号，得 8x-4-20x-2≥15x-60， 移项合并同类项，得-27x≥-54， 系数化为1，得x≤2． 在数轴上表示解集如下图所示： 【总结升华】解不等式（组）是中考中易考查的考点，必须熟练掌握． 举一反三： 【变式】. 【答案】解：去分母，得 （不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 （注意符号，不要漏乘!） 移 项，得 （移项要变号） 合并同类项，得 （计算要正确） 系数化为1， 得 （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 2．解不等式组并将其解集在数轴上表示出来. 【思路点拨】分别解出两个不等式的解集，再求出公共的解集即可. 【答案与解析】 解： 由（1）式得＜5， 由（2）式得≥-1， ∴ -1≤＜5 数轴上表示如图： 【总结升华】注意解不等式组的解题步骤. 举一反三： 【变式1】解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为-3≤x＜1，数轴上表示如图： 【变式2】解不等式组，并写出不等式组的整数解； 【答案】不等式组的解集为1≤x＜5，故其整数解为：1，2,3,4． 类型二、一元一次不等式（组）特解的问题 3．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（ ） A．-5≤a≤- B．-5≤a≤- C．-5＜a≤- D．-5＜a＜- 【思路点拨】其基本思路为：先解关于x的一元一次不等式组的解集，�然后确定此解集包含的四个整数解，由这些整数解可推断字母a的取值范围. 【答案】C； 【解析】解原不等式组，得2-3a＜x＜21． 由题设条件可知2-3a＜x＜21包含着四个整数解，这四个整数解应为17，18，19，20． 这时，2-3a应满足16≤2-3a＜17，解得-5＜a≤-． 【总结升华】本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解问题． 举一反三： 【变式1】关于x的方程，如果3(x＋4)－4＝2a＋1的解大于 的解，求a的取值范围． 【答案】. 【变式2】若不等式-3x+n＞0的解集是x＜2，则不等式-3x+n＜0的解集是_______． 【答案】∵-3x+n＞0，∴x＜，∴=2 即n=6 代入-3x+n＜0得：-3x+6＜0， ∴x＞2. 类型三、一元一次不等式（组）的应用 4．仔细观察下图，认真阅读对话： 根据对话内容，试求出一盒饼干和一袋牛奶的标价各是多少元． 【思路点拨】根据对话找到下列关系：①饼干的标价+牛奶的标价＞10元；②饼干的标价＜10； ③饼干标价的90%+牛奶的标价=10元-0.8元，然后设未知数列不等式组． 【答案与解析】 解：设饼干的标价为每盒x元，牛奶的标价为每袋y元． 则 由（2）得 y=9.2-0.9x （4） 把（4）代入（1）得：9.2-0.9x+x＞10，解得x＞8． 由（3）综合得 8＜x＜10． 又∵x是整数，∴x=9． 把x=9代入（4）得：y=9.2-0.9×9=1.1（元） 答：一盒饼干标价9元，一袋牛奶标价1.1元． 【总结升华】不等式、方程与实际生活相联系的问题，主要是审好题，计算准确. 举一反三： 【变式】某牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种产品全年共新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足：110＜p＜120．已知有关数据如表所示，�那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？ 产品 每件产品的产值 甲 4.5万元 乙 7.5万元 【答案】 解：设该公司安排生产新增甲产品x件，那么生产新增乙产品（20-x）件， 由题意得：110＜4.5x+7.5（20-x）＜120 ∴10＜x＜，依题意，得x=11，12，13 当x=11时，20-11=9；当x=12时，20-12=8；当x=13时，20-13=7． 所以该公司明年可安排生产新增甲产品11件，乙产品9件；或生产新增甲产品12件，乙产品8件；或生产新增甲产品13件，乙产品7件． 类型四、一元一次不等式（组）与方程的综合应用 5．某钱币收藏爱好者，想把3．50元纸币兑换成的1分，2�分，5分的硬币；他要求硬币总数为150枚，2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5�分的硬币要多于2分的硬币；请你根据此要求，设计所有的兑换方案． 【思路点拨】题目中包含的相等关系有：①所有硬币的总价值是3．50元；②共有硬币150枚．�不等关系有：①2分的硬币的枚数不少于20枚；②5分的硬币要多于2分的硬币．且硬币的枚数为整数，2分的硬币的数量是4的倍数． 【答案与解析】 解：（法一）设兑换成1分，2分，5分硬币分别为x枚，y枚，z枚，依据题意，得 由（1），（2）得 将y代入（3），（4）得 解得40＜z≤45，∵z为正整数，∴z只能取41，42，43，44，45，由此得出x，y的对应值， 共有5种兑换方案． （法二）：设兑换成的1分，2分，5分硬币分别为x枚，y枚，z枚，依据题意可得 ∵y是4的倍数，可设y=4k（k为自然数）， ∵y≥20，∴4k≥20，即k≥5． 将y=4k代入（1），（2）可解得z=50-k， ∵z＞y，∴50-k＞4k，即k＜10． ∴5≤k＜10，又k为自然数，∴k取5，6，7，8，9．由此得出x，y的对应值，共有5种兑换方案： 【总结升华】这是一道方案设计题，�是涉及到方程和不等式的综合应用题． 6．某校组织学生到外地进行综合实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李． ⑴ 如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？ ⑵ 如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案 【思路点拨】根据题意列出不等式组，解出未知数的取值范围，分类讨论各种方案. 【答案与解析】 解：（1）设安排辆甲型汽车，安排（20-x）辆乙型汽车. 由题意得： 解得， ∴整数可取8、9、10. ∴共有三种方案： ①租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆； ②租用甲型汽车9辆、乙型汽车11辆； ③租用甲型汽车10辆、乙型汽车10辆. （2）设租车总费用为元，则 随的增大而增大， ∴当时，， ∴最省钱的租车方案是：租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆． 【总结升华】考查不等式与方程综合应用问题，体现了分类讨论的思想. 学科网（北京）股份有限公司 $$