抽象函数专项训练-2025届高三数学二轮重难点专题复习

2025年高三数学二轮重难点专题复习--抽象函数专项训练 一、单选题 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D．0 2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广西柳州·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南·模拟预测）已知函数满足：，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．（2025·江西·一模）若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·重庆·一模）已知函数 满足: ① 是偶函数; ②在 上为增函数. 若 ， 且 ，则 与 的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．（2024·安徽·模拟预测）已知可导函数的定义域为是的导函数，且均为奇函数，，则（   ） A． B． C．0 D．1 二、多选题 9．（2025·河南郑州·模拟预测）已知函数和的定义域均为R，且是的导函数，若和均为奇函数，则（    ） A． B．0是的一个极值点 C．和均为周期函数 D． 10．（2025·河北邯郸·二模）已知函数的定义域为，且，，当时，，则（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数的值域为 D．方程在上的所有根之和为24 11．（2025·云南昆明·模拟预测）函数及其导函数的定义域均为R，是奇函数，，且对任意，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的奇函数是单调函数，且，若曲线，和轴交于同一个点，则 ． 13．（24-25高三上·江西·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 . 14．（2024·福建宁德·二模）定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 四、解答题 15．（24-25高三上·江苏·模拟预测）我们知道，函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于坐标原点成中心对称，有同学发现该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数，且，求的值. (2)已知函数. （Ⅰ）求的图象的对称中心； （Ⅱ）若与的图象有四个公共点，，，，求的值. 16．（24-25高三上·湖南·期中）我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. (1)已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值. (2)已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； (3)求数组的个数，其中，且为中心对称函数. 17．（24-25高三上·广东肇庆·模拟预测）若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． (1)求函数图象的对称轴（直接写出结论，不需证明）； (2)求函数图象的对称中心，并给出证明； (3)在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 18．（24-25高三上·湖北·模拟预测）教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. (1)利用上述材料，求函数图象的对称中心； (2)利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数.类比推理的单调性（不需要证明）；附立方差公式：. (3)也有同学发现可以将其推广为：若函数的图象关于点成中心对称，则，请根据该结论求不等式的解集. 19．（24-25高三上·山东潍坊·模拟预测）已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值； (2)已知函数的图象关于点中心对称. （ⅰ）求实数、的值； （ⅱ）设函数，其中，若正数、满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 参考答案 1．C 【分析】根据函数的奇偶性的性质，即可求解. 【详解】是定义在上的奇函数，有， 是定义在上的偶函数，有， 的值域为，故， 则有，得， 所以， 与有相同的值域， 因此的最小值为， 故选：C 2．B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 3．C 【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数得，再求导得，结合函数也是偶函数，得，从而得导函数的解析式，最后利用导函数研究函数的单调性即可解出实数的范围. 【详解】由题意，是定义在上的偶函数，则，所以， 即，又也是偶函数，所以， 所以，即， 因为函数是R上的减函数，也是减函数， 所以函数是R上的减函数； 令，即，解得， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以由，可得，解得， 因此，实数的范围是， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据，求导得，进而得导函数的解析式，再利用导函数研究函数的单调性. 4．B 【分析】根据题意，得函数的一个周期为12，利用周期性求值. 【详解】根据题意，，显然，所以， 所以，所以函数的一个周期为12， 所以. 故选：B. 5．A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 6．C 【分析】根据题设易得，结合函数单调性有，再由的单调性及零点确定不等式解集. 【详解】由，即的图象关于点对称， 所以，而，即， 则，又在上为增函数， 故，即， ， 因在上单调递增，且， 由，可得， 即不等式的解集为. 故选：C. 7．A 【分析】根据是偶函数，可得函数图象关于对称，则在 上为减函数，讨论两种情况，分别利用单调性比较大小，即可得答案. 【详解】不妨设， 由是偶函数，则，即， 即函数 的图象关于对称，且， 因为在上为增函数，所以在上为减函数， 因为，且，所以， 若则，则，即； 若因为，则，所以； 综上可得：. 故选：A. 8．D 【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性，结合导数运算法则计算即可. 【详解】因为为奇函数，则，即， 两边求导得， 所以关于直线对称， 即，∴① 又因为为奇函数，则， 即，可知关于点对称， 即②， 由①②得，，，即8为的周期． 注意到， 所以， . 故选：D． 9．ABC 【分析】由为奇函数，可得函数的导函数为偶函数，据此结合每个选项逐项计算判断即可. 【详解】因为是奇函数，所以，两边求导可得， 所以，因为是的导函数，即， 所以是偶函数，令，可得，所以， 因为均为奇函数，所以， 令，可得，可得， 又是偶函数，所以，故A正确； 因为是偶函数，所以，求导可得， 所以，令，可得，从而可得， 由，可知在两侧导数值异号，所以0是的一个极值点，故B正确； 由，又是偶函数，所以， 所以，所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数，因为， 所以，所以， 所以也是以4为周期的周期函数，故C正确； 由以4为周期的周期函数， 所以， 又是奇函数，所以， 所以， 所以， 所以，所以，又， 所以，所以， 所以，无法确定，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：利用奇函数的导数偶函数，可确定是周期函数，进而确定是周期函数，进而计算可判断D的正确性. 10．ACD 【分析】由函数对称性的定义，即可判断AB，结合条件可得函数的周期，以及解析式，从而判断CD 【详解】因为，即， 所以函数的图象关于直线对称，所以A选项正确，B选项不正确； 因为，即， 所以函数的图象关于点对称，所以， 又当时，，所以，解得， 所以，，，， 即，， 又由A选项可知，当时，， 即，. 又因为，则， 又，所以， 也即， 所以，，， 所以8为函数的一个周期，所以函数的值域为，所以C选项正确； 方程在上共有8个根，分别记为， 不妨令， 则 ， 所以D选项正确， 故选：ACD. 11．ACD 【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可. 【详解】对于A，由函数是R上的奇函数，得，A正确； 对于B，由，令，得， 而，解得，B错误； 由，两边求导得， 令，得，则， 即，于是， 即，因此， 即，则，且， 函数都是周期为的周期函数，， 对于C，，C正确； 对于D，，而，则， 即，因此，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数，的性质. 12． 【分析】根据题意易得，，进而得到，再根据奇函数的性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域为且是单调函数，所以， 则曲线，与轴均交于原点， 因此，即，得，则． 故答案为：. 13．2 【分析】为偶函数，则，两边求导得到，即，结合，得到，故是以4为周期的周期函数，由，可得，，，故，所以. 【详解】因为为偶函数，则，即， 又因为为偶函数，则. 由，求导得，即， 所以，则， 所以是以4为周期的周期函数. 由，可得，即，则， ，所以， 所以. 故答案为：2 【点睛】知识点点睛：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； 14． 【分析】根据函数对称中心定义判断函数对称中心，再应用对称中心性质用倒序相加法求和计算即可. 【详解】因为是奇函数，则， 整理得，所以的对称中心为； 由， 则， 因为，所以， 所以，即， 故答案为：； 15．(1) (2)（Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】（1）利用，即可求解； （2）（Ⅰ）设对称中心坐标为，根据题意得到为奇函数，得到，解得答案； （Ⅱ）首先通过平移变化得到的图象的对称中心也为，从而确定函数与图象个公共点也关于对称. 【详解】（1）由， 则， 又，则. （2）（Ⅰ）设对称中心坐标为，由题意可知，为奇函数， 对任意恒成立， 即， 所以恒成立， 则，解得. 故函数图象的对称中心为. （Ⅱ）由， 又的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的图象， 则的图象的对称中心也为. 则函数与图象个公共点也关于对称，所以. 【点睛】关键点点睛：函数的图象关于点对称，等价于，也等价于. 16．(1)， (2)对称中心为，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，借助赋值法，分别令、，结合所给函数计算即可得； （2）结合中心对称函数定义，得到定义域后，证明即可得； （3）结合中心对称函数定义，设其对称中心为，则得到其定义域关于中心对称，就对称中心分类讨论后可得数组的个数. 【详解】（1）由函数的图象关于点中心对称，故有， 令，则有，故， 令，则有， 又当时，，故， 故， 即，； （2）对称中心为，证明如下： 由，则有，解得且， ， 故函数的对称中心为； （3）设的对称中心为，则该函数定义域关于中心对称， 由，则有、， 又、、， 若对称中心为，则必有，且， 故，，共有2022个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，或，经检验不合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，共有个数组符合题意； 综上所述，数组的个数为. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于结合中心对称函数定义，得到其定义域也相应对称，从而就对称中心分类讨论即可 17．(1)直线 (2)对称中心为点，证明见解析 (3)对称中心为，理由见解析 【分析】（1）根据二次函数的性质即可知道函数图象的对称轴； （2）（3）根据题目所给推广知识设出函数图像的对称中心，代入求解即可求得对称中心. 【详解】（1）函数图象的对称轴为直线. （2）函数图象的对称中心为点，证明如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数， 故有，即，故. 又，代入化简得， 即对任意的恒成立， ，解得. 故函数图象的对称中心为点. （3）关于成中心对称.原因如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，故有，即， 即. 又，代入上式化简得 对任意的恒成立， 故，， 即. 综上所述，图象的对称中心为. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 18．(1) (2)证明见解析，在上是增函数 (3) 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据题中定义可得出，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出函数图象的对称中心坐标； （2）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；然后类比函数的单调性可得出函数的单调性； （3）由已知可得出，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数， 则，即，即， 因为 ， 所以，，解得，所以，函数图象的对称中心为. （2）任取、且， 则， 若，则，可得，不合乎题意， 所以，所以，， 则，故函数在区间上是增函数. 因为 ， 则，则， 即将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 故函数在上是增函数. （3）因为函数的图象关于点对称，且该函数的定义域为， 对任意的，， 由可得，即， 因为函数在上是增函数，则，即，解得或， 故不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 19．(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ） 【分析】（1）根据函数的对称性可求出的值； （2）（i）根据函数对称性的定义得出，根据等式恒成立可得出关于、的方程组，结合可得结果； （ii）推导出，利用倒序相加法可得出，利用参变量分离法结合基本不等式可求出的取值范围. 【详解】（1）因为函数的图象关于点中心对称， 所以为奇函数，所以， 令，则有，故；令，则有， 所以. （2）（ⅰ）由题意可得为奇函数， 所以，则， 所以，有， 所以恒成立， 所以，解得或， 因为，所以，； （ⅱ）因为， 所以， 所以， 因为， ， 两式相加得，即， 又由， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$