精品解析：广东省广州市真光中学2024-2025学年高三上学期期末测试数学试题

广州市真光中学2025届高三期末测试 高三数学 命题人：钟三明 审题人：朱静滢 2025.1 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的元素个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，转换为两个图象交点问题，两函数联立，转为一元二次方程解得个数问题，从而得到答案. 【详解】联立整理得. 由，得原方程组有两组解，即中有2个元素， 故选：C. 2. 设，则（ ） A. 10 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数运算化简求得，然后由复数的模的公式可得. 【详解】因为， 所以． 故选：A． 3. 已知向量，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以. 4. 已知随机事件，，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式及已知可得、，再由全概率公式及对立事件概率关系求. 【详解】由且，故， 由，故， 由于，则， 故． 故选：B 5. 已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点，求出点和的坐标，利用中点坐标公式列式计算得关系，进而可得渐近线方程. 【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为， 直线与直线交于点，交双曲线于点， 由M是线段的中点，得，则，， 所以C的渐近线方程为. 故选：C 6. 已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据球的表面积求出球的半径，结合圆锥的底面半径以及三角形相似可求得边长之间的关系，再利用勾股定理可得到圆锥的高，即可求得圆锥的体积. 【详解】设为圆锥顶点，为底面直径，为底面中心，则圆锥内最大球的球心在高上． 设该球与母线相切于点，如图所示： 则易得，所以， 设该球的半径为，则，解得， 所以，所以． 又，结合得， 又， 所以，解得， 所以圆锥的体积． 故选：A． 7. 在平面四边形中，已知，，，，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式可得，在、中分别利用余弦定理可得出关于的等式，求出的值，再利用三角形的面积公式可求得四边形的面积. 【详解】因为，则， 在中，由余弦定理可得，① 在中，由余弦定理可得，② 由①②可得，即，故， 因此，四边形的面积是 ， 故选：B. 8. 已知0<b<1+a，若关于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整数恰有3个，则 A. －1<a<0 B. 0<a<1 C. 1<a<3 D. 3<a<6 【答案】C 【解析】 【详解】由，整理可得（1－）－2bx+>0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－<0，此时>1，而0<b<1+a，故a>1， 由不等式 <0解得 即要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<<－2，由<－2得－b<－2（a－1），则有a<+1，即a<+1<+1，解得a<3，由－3<得3a－3>b>0，解得a>1，则1<a<3． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ） A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系计算弦长和三角形面积判断选项的正误即可 【详解】直线过抛物线的焦点， 可得，则，所以A选项错误； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于两点，设， 直线方程代入抛物线方程消去可得， 则，得，所以B选项错误； 的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以C选项正确； 点到直线的距离，，所以D选项正确． 故选：CD． 10. 在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，从它们可以导出双曲正切函数等，则下列说法正确的是（ ） A. B. 恒成立 C. ， D. ，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过计算和即可判断A；求出和的值域，即可判断B；首先判断函数的单调性，再设，，判断出在的单调递增，且，得出，即可判断C；不妨设，由在上单调递增，得出，即可判断D． 【详解】对于A：，， ， ， 所以，故A正确； 对于B：设，则， 则， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，故B错误； 对于C：因为， 所以在上单调递增， 设，， 则， 因为， 所以， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以，，故C正确； 对于D：不妨设，则， 由C得，，在上单调递增，且， 又因为，即为上奇函数， 所以在上单调递增，且， 所以在上单调递增， 所以， 即， 所以，故D正确， 故选：ACD． 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 四叶草曲线有四条对称轴 B. 设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C. 四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D. 四叶草曲线的面积小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将换为方程不变，换为方程不变，换为，换为方程不变，换为，换为方程不变，可知有四条对称轴；对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为，求最大值即可；对于C，设距离为，，即求的最大值即可；对于D，易得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，故四叶草面积小于即可判断. 【详解】对于A，将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称.故A正确； 对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为， 则， 即，当且仅当时取得最大值，故B正确； 对于C，设距离为，，要求的最大值，即求的最大值， 显然，，又， 当且仅当时，等号成立， 所以曲线上的点到原点距离最大值为，故C错误； 对于D，由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内， 故四叶草面积小于，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 13. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．设函数，则的互生向量=__________；记的互生函数为，若函数在上有四个零点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】化简函数为可得互生向量，化简，作出简图，可得的范围. 【详解】因为，所以的互生向量． 由题，则， 若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根， 则函数与在上的图象有四个交点， 因为 ， 所以， 则 由三角函数性质作其函数图象如图所示， 由三角函数图象及性质可知k的取值范围为． 故答案为：；. 14. 已知函数，动直线与的图象分别交于A，B两点，曲线在点A和点B的两条切线相交于点C，当为直角三角形时，它的面积为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，可得是偶函数，则关于轴对称，C在轴上，设，不妨设点在轴右侧，利用导数的几何意义求出，根据直线与直线垂直，可求得，再求出切线的方程得点坐标，求出. 【详解】由，， 又，所以函数是偶函数. 如图，由对称性可得直线与图象的交点关于轴对称，曲线在点A和点B的两条切线的交点C在轴上， 设，不妨设点在轴右侧，则，即，得， 又，所以曲线在点处切线的斜率为，由对称性得， ，解得，即. 所以切线的方程为，令，解得， ，. 故答案为：1. 【点睛】思路点睛：先证明函数是偶函数，由对称性可得关于轴对称，C在轴上，设出，根据，求出，再求出切线的方程求得点坐标，进而求出三角形的面积. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈． （1）补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好； 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 传统药 合计 （2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，求的分布列及均值． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 列联表如下所示： 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 40 10 50 传统药 280 120 400 合计 320 130 450 创新药的疗效没有比传统药的疗效好； （2）分布列为： 5 6 7 【解析】 【分析】（1）根据已知条件补充列联表；利用公式计算出的值，即可作出判断； （2）按疗效比例分层随机抽取10名，则有7名治愈者和3名未治愈者，故，且服从超几何分布，利用超几何概率计算公式进而可求出分布列与期望． 【小问1详解】 根据已知数据补全列联表如下所示： 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 40 10 50 传统药 280 120 400 合计 320 130 450 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据说明创新药的疗效比传统药的疗效好， 所以我们认为创新药的疗效没有比传统药的疗效好； 【小问2详解】 从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，相当于每40名患者抽取1名， 所以治愈者中抽7名和未治愈者中抽3名，现在这10人中随机抽取8人进行回访， 用表示回访中治愈者的人数，其中的可能取值有， 则，，所以服从超几何分布列，即 ， 故分布列为： 5 6 7 所以． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若0是函数的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）构造函数多次求导，通过分类讨论逐次不同阶段研究导函数的符号与函数的单调性关系，最终还原为原函数的单调性分析，验证在处函数的极大（小）值的情况即可. 【小问1详解】 由，， 则， 所以，即切线斜率为， 又，则切点为，切线方程为， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 根据题意得，， 则． 由0为的极小值点，可知． 设， 则． （ⅰ）当时，， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以0是的极小值点，符合题意． （ⅱ）当时，设， 则， 所以在上单调递增，， ， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，即单调递减； 当时，，单调递增，即单调递增. 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以0是的极小值点，符合题意． （ⅲ）当时，，且在上单调递增， 所以当时，，单调递减，即单调递减； 当时，，单调递增，即单调递增. 又，所以，单调递增，不符合题意． （ⅳ）当时，，在上单调递增，， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，又， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以0是的极大值点，不符合题意． 综上，的取值范围是． 17. 已知椭圆的标准方程为，，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一动点，且在轴上方，延长，分别交椭圆于点，． （1）若，求直线的方程； （2）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，，由椭圆的定义和两点间距离公式计算得出，联立，求得，，根据两点求出直线的方程； （2）联立和方程，利用韦达定理得出和，再利用三角形的面积结合导数求解最值即可． 【小问1详解】 设，，， 由，且，故， 又， 则，即， 因此，故直线的方程为：，即， 直线的方程为：， 联立，得， 则，即，因此， 而，因此， 故直线的方程为：，即． 【小问2详解】 因为点A在x轴上方，所以直线斜率不为0， 设直线，直线，，，，， 联立，可得，则， 注意到，故． 联立，可得，则， 注意到，故． 则，． 注意到，因为，， 所以， 则， 设，，则，则单调递增， 故， 则面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 18. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可. （2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可 （3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径. 【小问1详解】 连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 【点睛】方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得. 19. 已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列． （Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列； （Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为.若，求证： ； （Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个，求数列的通项公式． 【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可； (Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可； (Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可. 【详解】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6. (Ⅱ)对于每一个长度为的递增子列，都能从其中找到若干个长度为的递增子列，此时， 设所有长度为的子列的末项分别为：， 所有长度为的子列的末项分别为：， 则， 注意到长度为的子列可能无法进一步找到长度为的子列， 故， 据此可得：. (Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是， 下面说明此数列满足题意. 很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等. 长度为的递增子列末项的最小值为2s-1， 下面用数学归纳法证明长度为s末项为2s-1的递增子列恰有个： 当时命题显然成立， 假设当时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有个， 则当时，对于时得到的每一个子列， 可构造：和两个满足题意的递增子列， 则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有个， 综上可得，数列是一个满足题意的数列的通项公式. 注：当时，所有满足题意的数列为：， 当时，数列对应的两个递增子列为：和. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市真光中学2025届高三期末测试 高三数学 命题人：钟三明 审题人：朱静滢 2025.1 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的元素个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数 2. 设，则（ ） A. 10 B. 9 C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4. 已知随机事件，，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面四边形中，已知，，，，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知0<b<1+a，若关于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整数恰有3个，则 A. －1<a<0 B. 0<a<1 C. 1<a<3 D. 3<a<6 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ） A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 10. 在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，从它们可以导出双曲正切函数等，则下列说法正确的是（ ） A. B. 恒成立 C. ， D. ，且，则 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 四叶草曲线有四条对称轴 B. 设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C. 四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D. 四叶草曲线的面积小于 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 13. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．设函数，则的互生向量=__________；记的互生函数为，若函数在上有四个零点，则实数的取值范围为__________． 14. 已知函数，动直线与的图象分别交于A，B两点，曲线在点A和点B的两条切线相交于点C，当为直角三角形时，它的面积为_________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈． （1）补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好； 药物 疗效 合计 治愈 未治愈 创新药 传统药 合计 （2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，求的分布列及均值． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若0是函数的极小值点，求实数的取值范围． 17. 已知椭圆的标准方程为，，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一动点，且在轴上方，延长，分别交椭圆于点，． （1）若，求直线的方程； （2）求面积的最大值． 18. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 19. 已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列． （Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列； （Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为.若，求证： ； （Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $