第28章 锐角三角函数 单元复习卷2024-2025学年人教版九年级数学下册

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元复习卷 一、单选题（本大题共6小题） 1．的值等于（    ） A． B． C． D． 2．已知α为锐角，且，则α的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在等边中，，动点P从点 B 出发，沿方向运动，过点 P作于点 H，设的面积为y，点 P的运动路程为x，则y与x之间的函数关系的图象正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，，均为锐角，且，则下列对的形状的描述中，最准确的是    （ ） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是等腰三角形 D．是等腰直角三角形 5．如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是(   ) A． B． C． D． 6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（　　） A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝ 二、填空题（本大题共6小题） 7．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于，两点，分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点，作射线．以点为圆心，长为半径作圆弧，恰好经点，与射线交于点，连接，．若，则四边形的面积为 ． 8．如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则 ． 9．在中，已知，，，点在边上，点在边上，且，连接，当为等腰三角形时， ． 10．如图，中，，，．动点M从点B出发，在边上以的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B运动，运动时间为，连接．当 时，是等腰三角形． 11．如图，在矩形中，，．的平分线交于点E．以E为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F．则图中阴影部分的面积为 ． 12．如图，在中，已知，，，点P为边上一动点，若为直角三角形，则的长为 ． 三、解答题（本大题共11小题） 13．暴雨过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的树正好抵着高树的中点．救援的小明通过测量得到了以下数据：米，，（取） (1)求两树的支撑点离地面高多少米？ (2)求高树比低树高多少米（结果保留一位小数）． 14．如图，的网格中，的三个顶点都在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求完成画图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，画，使得与全等； (2)在图2中，画，使得． 15．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．      (1)求的长． (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 16．某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，下图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称． (1)如图1，若B，C，D，E 四点在同一条直线上，连接． ① ； ②判断的形状，并证明． (2)如图2，若菱形的边长为，，求点N到点 G的距离． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 17．【课本再现】 思考 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？ 可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理； 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）为证明此逆定理，某同学画出了图形，并写好“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在的内部，过射线上的点作，，垂足分别为，，且． 求证：平分． 【知识应用】 （2）如图2，在中，过内部一点，作，，，垂足分别为，，，且，，连接，． ①求的度数； ②若，，求的长． 18．在数学活动课上，老师带领学生去测量某建筑物的高度．如图，在处用高米的测倾器测得建筑物顶部的仰角为，向建筑物的方向前进米到达处，在处测得建筑物顶部的仰角为，求建筑物的高约为多少米？（结果精确到米，）    19．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为，转动点距离地面的高度为． (1)当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点距离地面的高度； (2)某日,一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，） 20．如图1是某品牌全电动家用升降机固定款，图2是其示意图，立柱垂直于地面，折线为吊臂，吊臂可绕点旋转，，为伸缩杆．经测量：，，，．（结果精确到小数点后一位） (1)如图2，当时，求的度数； (2)如图3，将吊臂绕点旋转使点的位置达到最高，此时，，三点共线，求点到地面的距离．（参考数据：，，，，） 21．如图1是小丽使用手机自拍杆的图片，她眼睛望向手机屏幕上端的仰为，没得手与肘部形成的“手肘角”为，自拍时手机屏幕与手肘平行且手与自拍杆在同一条直线上．图2是其侧面简化示意图． (1)_______度； (2)如图2，测得． ①求仰角的度数； ②自拍时若小丽头顶与自拍杆端点B在同一水平线上，且肘部C正好落在小丽身体长度的黄金分割点上（此黄金分割点靠近头部），求小丽的身高．（结果保留小数点后一位）（参考数据：） 22．图1是位于“革命摇篮”井冈山市的《井冈红旗》雕塑，其整体外形为基座和高高飘扬的红旗组成，中间镶嵌五角星、镰刀、斧头和“井冈山”三字熠熠生辉，光彩夺目．如图2，是其正面简化示意图，延长交于点，测得，，，，m，m，m． (1)求证：； (2)点为《井冈红旗》雕塑的最高点，求点到地面的距离（结果精确到0.01m）． （参考数据：，，） 23．在一堂“折纸与数学”的实践探究课上，每个小组分到若干张纸进行折纸．下面给出了“遥遥领先”小组利用半张纸（矩形的长:宽）折特殊三角形的方法，我们一起来探究其中的数学原理．    (1)折法一：如图1，将矩形的顶点D与边上的任意一点G重合对折，折痕．求证：是等腰三角形． (2)在折法一的条件下，若E 是的中点，求：的值． (3)折法二：如图2，先折出一个正方形，折痕为，再将点D折到上并让折痕过点F，折痕为，点D的对应点为点G．求证：． 参考答案 1．【答案】B 【分析】直接根据特殊角的三角函数值，可得答案． 【详解】解：， 故此题答案为B． 2．【答案】C 【详解】解：， ， 故此题答案为． 3．【答案】A 【分析】根据题意分以下两种情况讨论，①当点P在上运动时，②当点P在上运动时，根据以上情况通过等边三角形性质，解直角三角形表示出三角形的底和高，再利用三角形面积公式求解，得到面积表达式，即可解题． 【详解】解：为等边三角形， ，， ①当点P在上运动时， 有，，， 的面积为， ②当点P在上运动时， ，， ，， 的面积为， 综上所述，由解析式可知图象为一个开口向上的二次函数图象和一个开口向下的二次函数图象组合， 故此题答案为A． 4．【答案】B 【分析】根据非负数的性质可得，，证明，从而可得答案． 【详解】解：由， 得，． 由，均为锐角，得，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故此题答案为B． 5．【答案】B 【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，解直角三角形求出，即可求出扇形的面积，再算出的面积，即可求出阴影部分面积． 【详解】连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示， ∵扇形中，， ∴， ∵点A与圆心O重合， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 故此题答案为B． 【关键点拨】此题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，添加辅助线是此题的关键． 6．【答案】C 【分析】由勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义分别求出sinA、tanA、tanB、cosB即可． 【详解】Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵AC＝2，BC＝3， ∴AB＝＝， ∴sinA＝＝，tanA＝＝，tanB＝，cosB＝＝． 故此题答案为C． 7．【答案】 【分析】连接交于点，由作图易知是等边三角形，平分，先证明四边形是菱形，求出的长度，再根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可得结论． 【详解】解：如图，连接交于点． 由作图可知， 是等边三角形， ， 由作图可知平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， ， 菱形的面积． 8．【答案】3 【分析】先利用垂径定理得到，再利用勾股定理求得，然后利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，又， ∴， ∴. 9．【答案】5或或 【分析】分三种情况讨论，结合等腰三角形的性质和解直角三角形求解即可． 【详解】当时，如图1， ∵，∴， . 当时，如图2，过点作， 则有. ，且， ，即， 解得. 当时，如图3，过点作， 则有， ，且， ，即， 解得. 综上，的长为5或或． 10．【答案】或或 【详解】解：由题意可得，，，，则， ∵是等腰三角形， ∴当时，， 解得，， 当时，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 当时，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 综上所述：当或或时，是等腰三角形. 11．【答案】 【分析】根据矩形的性质得出，，求出，求出，根据阴影部分的面积求出即可． 【详解】解：在矩形中，，，． 的平分线交于点E， ． 又， ， ， ． 在中，， ， ， ． ． 12．【答案】2或4或10 【分析】分情况讨论，当时，为直角三角形，由，设，则，利用勾股定理求得，；当时，为直角三角形，作于点，求得，利用正切函数的定义列式求解即可． 【详解】解：当时，为直角三角形， ∵，设，则， ∵， ∴，解得， ∴，； 当时，为直角三角形，作于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或，经检验或都是方程的解， ∴或， ∴或，此时点与点重合， 综上，的长为2或4或10 13．【答案】(1)为米 (2)高树比低树高米 【分析】（1）过点作于点，由，设米，米；由，得米，根据建立方程即可求解； （2）由（1）得，的长度，由勾股定理得，由D是中点即可求得，从而求得，即高树比低树高多少． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ， 设米，米． 又， ，即米， ∵， 即， 解得 ， ∴米； 答：为5.2米； （2）解：由（1）得，（米），（米）， （米）， 由勾股定理得，（米）， （米）， 点是的中点， （米）， （米）， 答：高树比低树高5.7米． 14．【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）利用“”的判定方法构造全等三角形，即可作答； （2）根据，即可构造出一类符合要求的；再根据垂直平分线的性质以及三角形外角的性质可以构造另一类符合要求的，据此即可作答． 【详解】（1）如图： 即为所求； 利用网格、勾股定理求出图中各边的长度，再根据“”即可证明； （2）有四种情况，如图， 、,,即为所求． 证明：结合网格图可知,，， 即有，同理有； 作的垂直平分线，即有， 根据，可得， 同理可得． 15．【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：．    （2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了．    16．【答案】(1)，等边三角形，证明见解析 (2) 【分析】①首先根据菱形的性质得到，进而得出，，然后利用三角形内角和定理求解即可； ②连接，证明出四边形是平行四边形，得到，然后设，则，根据平行线的性质表示出，进而求解即可； （2）连接交于点P，首先得出，然后根据对称的性质得到，，，然后解直角三角形求解即可． 【详解】（1）①∵五个菱形两两全等 ∴ ∴， ∵ ∴； ②连接，　　　 ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵B，C，D，E 四点在同一条直线上， ∴ ∵四边形是菱形 ∴设，则 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形； （2）如图所示，连接交于点P ∵菱形的边长为， ∴ ∵A，D，F，G四点始终在同一条直线上 ∴ ∵图形关于直线对称 ∴点N和点G关于直线对称 ∴，， ∴在中， ∴ ∴ ∴． 17．【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）此问只需证明即可 （2）①判断出,,是角平分线，用平分线的性质及三角形内角和是即可求出的度数； ②由①得构造特殊直角三角形从而求出,,在中用勾股定理即可求出． 【详解】解：（1）证明：，， ． 在与中 ； ； ；即平分． （2）①， 由（1）中定理得，． ． ②过点作于点． ， ． ， ， ． ， ． 18．【答案】建筑物的高度约为米 【分析】设米，分别在和中，表示出和的长度，然后根据米，求出的值，继而可求出建筑物的高度． 【详解】解：如下图：    设米， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：． 米， 则（米）． 答：建筑物的高度约为米． 19．【答案】(1) (2)无法实施有效救援． 【分析】（1）作于点,则四边形为矩形，根据矩形的性质得到，从而求得=，再利用直角三角形的正弦值得到CG,即可求得； （2）同理（1），利用矩形的性质和直角三角形的正弦值得到，进而得到该消防车能否可以实施有效救援． 【详解】（1）解：如图，作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴； （2）解： ∵四边形为矩形， ∴，， ∵的最大角度为， ∴， ∵， ∴在Rt中，， ∴， ∴； ∴最高救援高度为， ∵该居民家距离地面的高度为， ∴, 故该消防车无法实施有效救援． 20．【答案】(1) (2)点到地面的距离为 【分析】（1）根据题意算出，得出，即可求出的度数； （2）分别过点，作，的平行线，两条线相交于点．根据，求出，，， 从而算出，，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ． ． ． （2）分别过点，作，的平行线，两条线相交于点． ，， ． ． ，， ，， ． ． ． 点到地面的距离为． 21．【答案】(1)134 (2)①；②小丽的身高为 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得答案； （2）①过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，则可得，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，则结论可求； ②在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，则为小丽的身高中黄金分割点与头顶之间线段的长，设小丽的身高为，利用黄金分割点的意义列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， （2）①如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，如图， 则四边形为矩形， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴估计仰角的度数约为； ②在中， ∵， ∴． ∵自拍时小丽头顶与自拍杆端点在同一水平线上， ∴为小丽的身高中黄金分割点与头顶之间线段的长． 设小丽的身高为， ∵正好落在小丽身体长度的黄金分割点上（此黄金分割点靠近头部)， 解得：， ∴小丽的身高为． 22．【答案】(1)见解析 (2)19.27m 【分析】（1）等边对等角，结合三角形的外角的性质，求出，进而得到，即可得证； （2）作，，，交于点，得到四边形是矩形，分别解，，，求出，进一步求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ． （2）解：如图，作，，，交于点， ，，四边形是矩形； ， ， 在中，，， ； 在中，，， ， 在中，，， ， ， （m）． 答：点到地面的高度为19.27m． 23．【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由折叠的性质得．根据平行线的性质得出，进而得出，即可得出答案； （2）过点E作于点H．令，则，得出，得出，进而可得出答案； （3）令，则，由折叠的性质得 ，由（1）可知 ，得出，，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）如图，过点E作于点H． ∵矩形的长∶宽， ∴令，则， ∴． ∵E是的中点， ，    （3）证明：令，则， ∵四边形是正方形， ． 由折叠的性质得 ． 由（1）可知 ， ∵是折痕，点D，G是折叠中的对应点， ， ，， ∴ 第 page number 页，共 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