8.2 立方根 教学课件2024-2025学年人教版数学七年级下册

8.2 立方根 22052 了解立方根的概念与性质，会表示一个数的立方根. 了解开立方与立方互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根. 通过类比的方法学习立方根的有关知识，体会类比的数学思想，并发展推理能力和语言表达能力. 1 2 3 学习目标 22052 【重点】了解立方根的概念与性质，会表示一个数的立方根. 【难点】通过类比的方法总结出平方根和立方根的异同. 学习目标 22052 【问题3】什么数有算术平方根? 我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 【问题1】什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 【问题2】什么叫做算术平方根? 如果x2=a(x≥0),那么x称为a的算术平方根.用 表示. 复习导入 22052 4 一个正方形的面积为25cm²，它的边长是多少？ 解：因为5²=25 所以=5 所以边长为5cm. 新知探究 22052 一个正方体的体积为27cm³，它的棱长是多少？ 分析： 3×3×3=27 正方体的棱长为3cm. 新知探究 22052 解：设它的棱长为x. x³=27 x=3 ∴正方体的棱长为3cm. 一般地,如果一个数x的立方等于a,即x³=a，那么这个数叫作a的立方根或三次方根.如上题3³=27，所以3是27的立方根. 一个正方体的体积为27cm³，它的棱长是多少？ 新知探究 22052 +1 -1 +2 -2 +3 -3 +1 -1 +8 -8 +27 -27 互为逆运算 正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的立方根. 立方 开立方 与平方根有何不同？ +1 -1 +2 -2 +3 -3 +1 -1 +8 -8 +27 -27 新知探究 22052 根据立方根的意义填空: 因为1³=1，所以1的立方根是( ); 因为( ) ³=0.064，所以0.064的立方根是( ); 因为( ) ³=-8，所以-8的立方根是( ); 因为( ) ³=-，所以一8的立方根是( ); 因为( ) ³=0，所以0的立方根是( ). 1 0.4 -2 -2 0.4 - - 0 0 你能发现正数的立方根有什么特点吗?负数呢?0的立方根是多少? 新知探究 22052 立方根的特征: 一般地,如果一个数x的立方等于a,即x³=a，那么这个数叫作a的立方根或三次方根. 正数的立方根是_______; 负数的立方根是_______; 0的立方根是_________. 正数 负数 0 要点归纳 22052 一个数a的平方根记为， 省略了 中的根指数2，因此也读作“二次根号a” 类似的 一个数a的立方根记为_____， 其中的3为_______，读作“_________” 根指数，不可省略 三次根号a 被开立方数 根指数 新知探究 22052 例1 求下列各数的立方根： （1）（-2）³； （2）343； （3）-64； （4) . 解：（1）（-2）³的立方根是-2，即³ =-2； （2）因为7³=343，所以343的立方根是7，即³=7； （3）因为(-4)³=-64，所以-64的立方根是-4，即³ =-4； （3）因为（ ）³= ，所以的立方根是，即³= 典型例题 22052 判断题. （1）-2是8的立方根. （2）0.4是6.4的立方根. （3）±5是125的立方根. （4）3的立方是27. （5）144的立方根是12. （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） × × × √ × 基础练习 22052 平方根 立方根 性质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 平方根与立方根的异同 两个，互为相反数 一个，正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 ³ 非负数 可以为任何数 要点归纳 22052 计算³ 和³ ，它们有什么关系？ ³ 和³ 呢？你能从中发现什么规律？ 解： ³ =-2， ³ =-2； ³ =-3，³ =-3. 一般地， ³ = ³ 新知探究 22052 例2 求下列各式的值： （1） ³ ； （2） ³ ； （3）³ ； 解：（1）³ = ³ 8； （2） ³ ³ 0.1； （3）³ ³ = 4 除了上述的数，实际上还有很多有理数的立方根(如³ ³ ³ 等)是无限不循环小数，我们可以用有理数近似地表示它们. 典型例题 22052 由于一个数的立方根可能是无限不循环小数，所以我们可以利用计算器求一个数的立方根或它的近似值. 用计算器求³ 解：依次按键³2、1、9、7、= 显示13 所以³=13 有些计算器需要调用备用功能求一个数的立方根 新知探究 22052 用计算器计算³ ，³ ³ ，你能发现什么规律？用计算器计算³ （结果保留小数点后三位），并利用你发现的规律求出³ ，³ ， ³ 的近似值. x a x a 0.06 0.6 4.642 0.464 0.046 46.415 被开方数的小数点向左或向右移动3n位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动n位（n为正整数） 6 新知探究 22052 立方根 定义 一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的立方根. 正数的立方根是正数 特征 负数的立方根是负数 0的立方根是0 性质 ³ = ³ 课堂小结 22052 19 查漏补缺 1.比较下列各组数的大小： （1） ³ 与2； （2）³与2.5； （3）-³与- 解：∵2=³ ³ ＜³ ∴³ ＜2 解：∵³ 2.08 ∴³2.5 解：∵ ³ 1.442 1.5 ∴ ³ 随堂小练 22052 提升能力 2.求下列各式中x的值： （1）875-25x³=0； （2）（x-1）³+125=0 解：（1）875-25x³=0 -25x³=-875 x³=(-875)÷(-25) x³=35 x=³ x=3.27106631 x≈3.271 （2）（x-1)³+125=0 (x-1)³=-125 x-1= ³ x-1=-5 x=-4 随堂小练 22052 3.已知2a-1的平方根是±3，3a-b+2的算数平方根是4，求a+3b的立方根. 解：∵2a-1=(±3)²=9 ∴a=5 又∵3a-b+2=4²=16 ∴3a-b+2=16 ∴b=1 ∴a+3b=8 ∴³ = ³ =2 提升能力 随堂小练 22052 $$