16.1 二次根式精讲+精练2024-2025学年人教版数学八年级下册同步课堂

              二次根式 16.1     目录 探究1 二次根式的概念 2 探究2 二次根式有无意义的条件 4 探究3 二次根式的性质 6 探究1 二次根式的概念 一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【典例1】　（2024秋•通许县期末）下列式子是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】二次根式的被开方数是非负数，根指数是2，根据以上内容判断即可． 【解答】解：、无意义，故本选项不符合题意； 、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意； 、当时，根式无意义，故本选项不符合题意； 、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意； 故选：． 【典例2】　（2024春•江阳区校级期中）下列各式一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的定义，根号下部分一定大于等于零，进而得出答案． 【解答】解：．当时，不是二次根式，不符合题意； ．是二次根式，符合题意； ．中被开方数小于0，故不是二次根式，不符合题意； ．，2不是二次根式，不符合题意， 故选：． 【典例3】　（2024秋•射洪市校级期中）在式子，，，，中，是二次根式的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，进而得出答案． 【解答】解：在式子，，，，中，是二次根式的有，，共4个． 故选：． （1）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件． （2）判断一个式子是不是二次根式时，只看它的初始的外在形态，不看它计算或化简的结果． （3）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究2 二次根式有无意义的条件 类型 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数（式）为非负数 有意义a≥0 二次根式无意义 被开方数（式）为负数 无意义a<0 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【典例4】　（2024秋•永春县期末）若二次根式有意义，则的值不可能是　　 A． B． C．0 D．2 【答案】 【分析】根据二次根式有意义求出的取值范围，然后判断即可． 【解答】解：若二次根式有意义， 则， 解得， 所以的值不可能是5， 故选：． 【典例5】　（2024秋•城关区校级期末）如果二次根式有意义，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意得出且，求解即可． 【解答】解：由题意得，且， 解得， 故选：． 【典例6】　（2024秋•西岗区期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可． 【解答】解：在实数范围内有意义， ， ． 故选：． 1．用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式．例如3，x，x+y，，﹣ab，，x3都是代数式． 2．求使代数式有意义的字母的取值范围的类型： （1）二次根式型：被开方数大于或等于0； （2）分式型：分母不等于0； （3）复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究3 二次根式的性质 （1）；（2）； （3）． 拓展： （1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【典例7】　（2024秋•正定县期末）已知，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：， 则， 则的值为：． 故选：． 【典例8】　（2024秋•榆中县期中）如果有意义，那么代数式的值为　　 A． B．8 C． D．无法确定 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，，再根据绝对值的意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【解答】解：有意义， ，， 故选：． 【典例9】　（2024秋•姜堰区期末）若、都是实数，且，则 　　． 【答案】4． 【分析】根据二次根式有意义的条件得出的值，继而求出的值，从而得出答案． 【解答】解：根据题意得，， 解得k=3， ， ， ， 故答案为：4． 化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值． 运用进行化简，当a的符号无法判断时，就需要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 牛刀小试 一、选择题（共4小题） 1．（2024秋•鲤城区校级期末）二次根式有意义的条件是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•泉州期末）要使二次根式有意义，的值不可以取　　 A．2 B．0 C． D． 3．（2024秋•屯留区月考）如果是一个正整数，那么可以取到的最小正整数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2023秋•洪山区校级期末）下列各式中，二次根式是　　 A． B． C． D． 二、解答题（共3小题） 5．（2024秋•通许县期中）已知． （1）求的值； （2）求的平方根． 6．（2024秋•闵行区校级期中）如果是二次根式，求的取值范围． 7．（2024秋•榆中县期中）若，求的值． 参考答案 一、选择题（共4小题） 1．【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式即可得解． 【解答】解：二次根式有意义， ， 解得：． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ， 解得． 则只有不符合题意． 故选：． 3．【答案】 【分析】首先化简，再确定的最小正整数的值． 【解答】解：由题意可得， 是一个正整数， 可取的最小正整数的值为4， 故选：． 4．【答案】 【分析】形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【解答】解：、被开方数为，没有意义，故此选项不符合题意； 、中根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意； 、中，是二次根式，故此选项符合题意； 、中不确定正负，故此选项不符合题意； 故选：． 二、解答题（共3小题） 5．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）依据算术平方根的被开方数是非负数，即可得到的值； （2）先求得的值，进而得出的平方根． 【解答】解：（1）根据题意，得且7， 解得； （2）由可得， ， ， 的平方根是． 6．【分析】二次根式的被开方数是非负数，且分式的分母不等于零． 【解答】解：依题意得， 解得． 7．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知的值，进一步得到的值，再代入计算即可求解． 【解答】解：， 且， 解得， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$               二次根式 16.1     一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•德惠市期中）下列各式一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•通河县期末）下列各式中，不是二次根式的是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•高州市期末）使代数式有意义的的取值范围是　　 A． B． C． D．一切实数 4．（2024秋•高州市期末）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•江阳区校级期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 6．（2024秋•威远县校级期中）要使有意义，则字母的值不能是　　 A．1 B．2 C．0 D． 7．（2024秋•雁江区校级期中）要使式子有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•临高县期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是　　 A． B． C． D． 9．（2024春•霍邱县期末）已知为实数，且，下列说法：①；②当时，的值是4或；③；④．其中正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2024秋•万州区校级月考）设、为实数，且，则的值是　　 A．2 B．14 C．19 D．22 二、填空题（共8小题） 11．（2024秋•裕华区期末）使式子有意义，则的取值范围为 　　． 12．（2024秋•长宁区校级期末）当实数　　时，有意义． 13．（2024秋•南昌期末）已知，则　　． 14．（2024秋•北碚区校级期末）已知点满足，将点向右平移2个单位长度后得到点，则点的坐标是 　　． 15．（2024春•康县期末）已知，则的值为 　　． 16．（2024秋•宝安区校级期中）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 　　． 17．（2024秋•威远县校级期中）已知，则　　． 18．（2024春•长沙县期中）已知，求　　． 三、解答题（共7小题） 19．（2024秋•雁塔区校级期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． （1）若与是关于15的友好二次根式，求； （2）若与是关于4的友好二次根式，求． 20．（2024秋•石鼓区校级月考）已知，为实数，且． （1）确定、的值； （2）求代数式的值． 21．（2024秋•秦安县校级月考）已知，求的值． 22．（2024秋•肇源县月考）若，求的立方根． 23．（2024春•城厢区校级期中）已知，是8的立方根，求的平方根． 24．（2024秋•桐柏县月考）若，都是实数，，求的立方根． 25．（2024春•开福区校级月考）若，是实数，且． （1）求，的值； （2）求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D D D C C B B 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式进行分析即可． 【解答】解：、不一定非负，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； 、，不是二次根式，故本选项不符合题意； 、是二次根式，故本选项符合题意； 、，不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据二次根式的定义逐项判断即可． 【解答】解：．，根号下的式子大于0，是二次根式，故本选项不符合题意； ．9被开方数为无意义，不是二次根式，故本选项符合题意； ．被开方数等于0，是二次根式，故本选项不符意； ，根号下的式子大于0，是二次根式，故本选项不符合题意， 故选：． 3．【答案】 【分析】根据被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ， 解得． 故选：． 4．【答案】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数即可求解． 【解答】解：， ， 故选：． 5．【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”和分式分母不为零进行计算即可得． 【解答】解：由题意得，， 解得且， 故选：． 6．【答案】 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ， 解得， 故选：． 7．【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于或等于，分式有意义的条件（分母不等于可得答案． 【解答】解：由题可知， 可得，且， 解得且， 即． 故选：． 8．【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 且， 则，，，， 根据二次根式有意义的条件可知， 二次根式的被开方数不小于零． 故选：． 9．【答案】 【分析】根据二次根式成立的条件，二次根式的性质，即可一一判定． 【解答】解：成立， ，， ，， 故①③正确，④不正确； ②当时，， 故②不正确； 故正确的有3个， 故选：． 10．【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性求出的值，进而求出的值，然后代值计算即可． 【解答】解：根据题意得：， 解得， 把代入， 解得， ． 故选：． 二、填空题（共8小题） 11． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【解答】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 12．【答案】． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：， ， ， 则， 解得：， 故答案为：1． 13．【答案】． 【分析】根据二次根式有意义列出，求出的值，即可求出的值，然后代入计算即可． 【解答】解：根据题意得，， 解得， ， ， 故答案为：1． 14．【答案】． 【分析】先根据二次根式的被开方数不小于零的条件求出与，再根据题意求出的坐标即可． 【解答】解：由题可知， ， 解得， 把代入， 解得， 则点的坐标为， 当点向右平移2个单位长度后得到点， 则的坐标为． 故答案为：（6,1）． 15． 【分析】根据非负数的性质列式求出的值，再求出的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，， ， 所以，． 故答案为：-25． 16．【答案】． 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可求出的取值范围． 【解答】解：在实数范围内有意义， ， 解得：． 故答案为：． 17．【答案】． 【分析】先利用二次根式有意义的条件，分式有意义的条件求出的值，从而得出的值，代入中，利用同底数幂的乘法公式，积的乘方公式求解即可． 【解答】解：依题意得： ， 解得：， ， 原式． 故答案为：． 18． 【分析】根据二次根式有意义求出，的值即可． 【解答】解：， ，， 解得：， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共7小题） 19．【答案】（1） （2）2 【分析】（1）根据定义得到，求解即可； （2）根据定义得到：，求解即可． 【解答】解：（1）与是关于15的友好二次根式， ， ； （2）与是关于4的友好二次根式， ， ． 20．【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）由，可得，，可求，进而可求的值； （2）进行乘法，然后进行减法计算可得化简结果，最后代值求解即可． 【解答】解：（1）由题可知，，， 解得， 把代入， 解得， ，； （2） ， 将，代入得，原式． 21．【分析】根据二次根式有意义的条件可得不等式组，再解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 则， ． 22．【答案】2． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出，进而求出，再根据立方根的概念解答即可． 【解答】解：由题意可知，且， 则且， ， ， ． ， 的立方根是2， 的立方根是4． 23． 【分析】根据立方根，算术平方根和平方根的定义和性质，求出，，的值，进而求出的平方根即可． 【解答】解：由题意可得，， ， ， ， 是8的立方根， ， ， 的平方根是． 24．【答案】3． 【分析】先根据被开方数要大于等于0得到，进而求出，再根据立方根的定义求解即可． 【解答】解；式子要有意义， 解得， ， ， 的立方根是9． 25．【答案】（1），； （2）5． 【分析】（1）根据算术平方根的非负性得出，，进而得出，． （2）将，代入代数式，求其算术平方根，即可求解． 【解答】解：（1）． ，， ， ， 则， （2），， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$