精品解析：合肥市新站区2024-2025学年九年级上学期期末试卷数学试题

九年级数学学习质量检测卷 试题卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列标志中不是中心对称图形的是（　　） A. 中国移动 B. 中国银行 C. 中国人民银行 D. 方正集团 2. 如图，在由小正方形组成的网格中，的三个顶点在格点上，则（ ）． A. B. C. D. 3. 若反比例函数y=，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. k＞-2 B. k＜-2 C. k＞2 D. k＜2 4. 已知点是上的黄金分割点（），若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 某种商品每件进价为元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 6. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 7. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点分别在反比例函数图象上，点在轴的负半轴上，若平行四边形的面积是，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点为边延长线上一点，连接，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，则______． 12. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为_____________ 13. 如图,直线AB与半径为2的☉O相切于点C,D是☉O上一点,且∠EDC=30°,弦EF∥AB,则EF的长度为____. 14. 如图，中，，，边上取点，且、，是边延长线上一点，过点作，交线段的延长线于点． （1）______； （2）设，则关于的函数解析式为_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 如图，在平面直角坐标系中，点． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，画出； （3）点的坐标是_____，点的坐标是_____． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 18. 足球训练中球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行至与球门水平距离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据头，，，求落水点C到洗手盆边的宽度．（结果取整数，参考数据，） 20. 如图，一次函数与函数为的图象交于，两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点． （1）求这两个函数的解析式； （2）当时，的取值范围是_____； （3）若点的横坐标为2，求的面积． 六、（本题满分12分） 21. 如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作．交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点． （1）求此二次函数解析式及其图象的顶点坐标； （2）结合图象，填空： ①当时，函数的最大值等于4，则的最大值为_____； ②已知，，连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，则的取值范围是__________． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在锐角中，高与高相交于点的平分线与相交于，与相交于点，且点是的中点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学习质量检测卷 试题卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列标志中不是中心对称图形的是（　　） A. 中国移动 B. 中国银行 C. 中国人民银行 D. 方正集团 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】A、是中心对称图形．故错误； B、是中心对称图形．故错误； C、不是中心对称图形．故正确； D、是中心对称图形．故错误． 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 如图，在由小正方形组成的网格中，的三个顶点在格点上，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键． 利用勾股定理得出的长，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：，， ， ， 故选：D． 3. 若反比例函数y=，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. k＞-2 B. k＜-2 C. k＞2 D. k＜2 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据反比例函数的性质， ∵当x＜0时，y随x的增大而增大， ∴k+2＜0． ∴k＜-2 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质． 4. 已知点是上的黄金分割点（），若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割比可直接列式求解． 【详解】根据黄金分割点的概念可得：， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键． 5. 某种商品每件进价为元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】设利润为w根据利润等于利润单价乘以数量列出函数，根据函数性质求解即可得到答案； 【详解】解：设利润为w，由题意可得， ， ∵，， ∴当时w最大， 故选B； 【点睛】本题考查二次函数解决销售利润问题中最值问题，解题的关键是列出函数根据函数性质求解． 6. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 7. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC． 【详解】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=25°， ∴∠BAC=90°-25°=65°， ∴∠BDC=∠BAC=65°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法． 8. 如图，点分别在反比例函数图象上，点在轴的负半轴上，若平行四边形的面积是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，设，由平行四边形的性质可得点的纵坐标等于点的纵坐标，进而得到，再根据平行四边形的面积可得，解之即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形，点在轴上， ∴轴， ∴点的纵坐标等于点的纵坐标， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数与二次函数的图象与性质进行逐项分析即可． 【详解】解：把一次函数和二次函数联立起来， ， 那么，， 移项可得，， 即， ， 即或， 解得或 一次函数与二次函数的交点在轴或点，两个交点应有一个交点在轴上和另外一个交点第一或四象限； A、由一次函数图象与二次函数的两个交点有一个在轴，但另一个交点在第二象限，故此选项错误； B、由于一次函数与二次函数的两个交点，在第一和三象限，故此选项错误； C、由一次函数与二次函数的两个交点，有一个交点在轴上和另一个交点在第四象限，故此选项正确； D、由一次函数与二次函数的两个交点，有一个交点在轴上，但另一个交点在第三象限，此选项错误； 故选：C． 10. 如图，点为边延长线上一点，连接，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的做出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，得到线段和的长，进而求出与相等，过点作，根据勾股定理得出的长，只有时，的值最小，通过相似三角形对应线段成比例即可得到的最小值． 【详解】解：， ， ， 解得，（负值舍去）， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点，如图所示， ， ， ，， ， 当时，的值最小， ， ， ， 即， ； 故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，则______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质．根据题意可设，，然后代入化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用函数图像的平移规律"上加下减，左加右减”进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减左加右减”的原则可知，抛物线y=2x2的图象向下平移3个单位所得函数图象的解析式式是：y=2x2-3；由“左加右减”的原则可知，再向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式y=2（x+2）2-3． 故答案为y=2（x+2）2-3． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移变换，掌握函数图象平移的法则是解答本题的关键． 13. 如图,直线AB与半径为2的☉O相切于点C,D是☉O上一点,且∠EDC=30°,弦EF∥AB,则EF的长度为____. 【答案】2 【解析】 【详解】分析：本题利用切线的性质和圆周角定理及勾股定理得出即可. 解析：连接OC交EF与点M,连接OE, ∵点C是AB与⊙O相切的切点， ∴OC⊥AB, ∵EF∥AB， ∴OC⊥EF， ∵∠EDC=30°， ∴∠EOC=60°, ∵OE=2， ∴EM=， 由垂径定理得EF=2. 故答案为2. 14. 如图，中，，，边上取点，且、，是边延长线上一点，过点作，交线段的延长线于点． （1）______； （2）设，则关于的函数解析式为_____． 【答案】 ①. 1 ②. ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形和等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）通过证明，得到，代入数据即可求解； （2）利用相似三角形的性质得到，作于，利用三线合一性质得到，进而得到，再通过证明，得到，代入数据即可求出关于的函数解析式． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ； 故答案为：1． （2）， ， ， ， ， ， 如图，作于， ，， ，， ， ， ， ， 又，即， ， ， ， ，， ， 整理得：， 关于的函数解析式为． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查的是含特殊角的锐角三角函数的混合运算，熟练掌握30°的正弦值、45°的余弦值和60°的正切值是解决此题的关键． 根据30°的正弦值、45°的余弦值和60°的正切值计算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，画出； （3）点的坐标是_____，点的坐标是_____． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3）的坐标是的坐标是 【解析】 【分析】本题考查坐标系中的位似和旋转变换，熟练位似图形的作图方法是解题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、即可得到； （2）利用位似变换的性质分别作出、、的对应点、、即可得到； （3）根据点的位置写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的坐标是的坐标是． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG=AF•AB． 【答案】（1）6； （2）∵DE∥BC，EF∥CG， ∴， ∴AD•AG=AF•AB． 【解析】 【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC； （2）由平行可知 ，可得出结论． 【详解】解：（1）∵DE∥BC， ∴， 又，AE=3， ∴， 解得AC=9， ∴EC=AC-AE=9-3=6； （2） 略 18. 足球训练中球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行至与球门水平距离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球能射进球门 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． （1）根据题意可知抛物线的顶点坐标为，故可设抛物线的函数表达式为，把代入函数表达式即可解答； （2）把代入函数表达式即可求出y的值，然后做出判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 球能射进球门． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据头，，，求落水点C到洗手盆边的宽度．（结果取整数，参考数据，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的性质与判定，在运用数学知识解决问题过程中，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题，解答的关键是构造直角三角形． 过点A作于，过点作于，利用矩形的判定与性质求得，，，在Rt中，利用锐角三角函数定义求得，，进而求得，再在中，利用正切定义求得，进而可求解． 【详解】解：过点A作于，过点作于，如图所示， 则四边形为矩形， ，， 在Rt中，，， ，， ，， 中，， ， ， 答：的长约为． 20. 如图，一次函数与函数为的图象交于，两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点． （1）求这两个函数的解析式； （2）当时，的取值范围是_____； （3）若点的横坐标为2，求的面积． 【答案】（1），， （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． （1）由A坐标求出反比例函数解析式，由反比例函数解析式求出点B坐标，待定系数法求出直线解析式即可； （2）根据函数图象，可直接写出时自变量x的取值范围； （3）求出点P和点Q的纵坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：在函数为的图象上， ， ，当时，， ， 一次函数过， ， 解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：根据函数图象，当时，的取值范围为：． 故答案为： 【小问3详解】 解：当时，，， ∴点， ． 六、（本题满分12分） 21. 如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作．交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， 是的平分线， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决问题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理进行解答即可； （2）设与交于点F，利用含角的直角三角形的性质，勾股定理求得和的长度，再利用相似三角形的判定与性质求得和的长度，最后利用勾股定理进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与交于点F，如图， 为的直径， ，， ，， ， ，， 过点C作于点H，则， ， ， ， ， ， 令，则， ， ， ，， ， ， ． 答：的长为． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点． （1）求此二次函数解析式及其图象的顶点坐标； （2）结合图象，填空： ①当时，函数的最大值等于4，则的最大值为_____； ②已知，，连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，则的取值范围是__________． 【答案】（1）；顶点坐标为 （2）①2；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求函数解析式、二次函数的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入和，利用待定系数法求出函数解析式，再将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）①根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合对称轴及y的最大值即可求解； ②先求出平移后的二次函数解析式，再分别求出平移后的二次函数顶点在上，恰好经过点，时对应的值，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：代入和，得， 解得：， 二次函数的解析式为， ， 顶点坐标为， 综上所述，二次函数解析式为，其图象的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：①由（1）得，的顶点坐标为，且抛物线开口向下， 当时，有最大值为4， 又当时，函数的最大值等于4， ， 解得：， 的最大值为2． 故答案为：2． ②二次函数的图象向上平移个单位， 平移后的二次函数解析式为， 此时图象的顶点坐标为， 当线段经过点时，此时，解得； 当平移后的二次函数恰好经过点，代入得，， 解得：； 当平移后的二次函数恰好经过点，代入得，， 解得：； 平移后的二次函数与线段有一个公共点， 结合图象得，的取值范围是或． 故答案为：或． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在锐角中，高与高相交于点的平分线与相交于，与相交于点，且点是的中点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2） 证明：∵，， ∴． 平分， ． ． 点是的中点， ． ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据，，可得，根据平分，可得； （2）由已知得，，得，得，根据中点性质即得； （3）过点作，垂足为．连接．根据角平分线性质得．根据直角三角形斜边中线性质得，可得，，得．得，，根据．得，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作，垂足为．连接． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ∴，， ． 即， ∴， ∴， ， ， ∴． ， 即， ． 【点睛】本题考查了三角形综合．熟练掌握直角三角形性质，角平分线性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质，中点性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $