精品解析：福建省莆田市涵江区莆田锦江中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

莆田锦江中学2024---2025学年（上）期末考 高一数学 一、单选题（共40分） 1. 设集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合必要不充分的定义即可判断. 【详解】，则， 所以，解得，故充分性不满足， 时，，， 所以，必要性满足， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 2. 将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移规律解答即可. 【详解】因为，所以将函数的图象向右平移个单位所得的图象对应的函数为. 故选：. 3. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，只需使为已知函数的递增区间的子集，列不等式，解之即得. 【详解】函数的图象开口向上，对称轴为直线， 由函数在区间上单调递增，可得，解得. 故选:C. 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数定义得到，由诱导公式得到答案. 【详解】由三角函数定义知，， . 故选：C 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数性质、指数函数性质判断． 【详解】，且，， 所以， 故选：C． 6. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象结合五点法可得，即可得函数解析式. 【详解】设的最小正周期为， 由图可知，，即，且，所以， 此时，将代入得， 即，且，则， 可得，解得，所以. 故选：D. 7. 已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到在定义域上单调递减，再利用分段函数、一次函数、反比例函数的性质，即可求解. 【详解】因为，且， 不妨设，则，， 所以在定义域上单调递减， 当时，在区间上单调递减，所以， 当时，，，为减函数， 又，解得， 综上： 故选：A. 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的单调区间及对应的函数值集合，再由零点个数列出不等式组求解即得答案. 【详解】当时，在上单调递减，函数值的集合为， 当时，在是单调递增，函数值的集合为， 在上单调递减，函数值的集合为，而， 由函数有两个零点，得或，解得或， 所以实数取值范围为. 故选：C 【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键. 二、多选题（共18分） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是真命题 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，写出命题的否定，即可判断D. 【详解】对于A：当时，，所以，为真命题，故A正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对于C：由且，可以推得出，故“且”是“”的充分条件，故C错误； 对D：命题“，”的否定为：，，显然，则命题，为真命题，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心坐标为 C. 的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 D. 的一条对称轴为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简，根据周期公式即可判断A，代入检验即可判断B，通过三角函数的平移原则即可判断C，运用对称轴经过最高最低点即可判断D. 【详解】对A，， 由周期公式可得，A正确； 对B，因为，故为对称中心，B正确； 对C，的图象向左平移个单位得到，C错误； 对D，当，取得最小值， 则为的一条对称轴，故D正确. 故选：ABD. 11. 设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A. B. C. 是减函数 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断B，结合单调性结合特例判断C，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 令可得，解得，故A正确； 令可得，解得， 因为函数的定义域为， 令可得，所以， 因此，函数奇函数，故B正确； 是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故C错误； 由C可知是上的增函数，当时，，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共15分） 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式求值即可. 【详解】因为， 所以． 故答案为：. 13. 已知集合，.若，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据交集结果确定参数范围即可. 【详解】由题设交集不为空，即即可，故. 故答案为： 14. 函数，且的图象恒过的定点的坐标为__________，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据指数函数图象性质可得，再利用基本不等式计算可得结果. 【详解】由函数，则当时，恒有，即. 由题意，可得，由， 则， 当且仅当且，即，等号成立. 故答案为：；； 四、解答题（共77分） 15. 求下列各式的值： （1）. （2）. 【答案】（1）3； （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则和性质结合换底公式即可计算求解； （2）由指数幂的运算法则和性质即可计算得解. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 . 16. 已知全集为实数集 ，集合 ，. （1）求集合 、 ； （2）求 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数函数、对数函数单调性求解不等式即可. （2）利用补集、并集的定义求解. 【小问1详解】 解不等式，得，即，解得，即， 解不等式，得，解得或，即. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. 17. 已知 （1）求的值； （2）若，求锐角的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用齐次式弦化切，最后代入化简即可； （2）根据同角三角函数关系求出，以及，再利用两角差的正弦公式即可求得答案． 【小问1详解】 因为，所以 则 【小问2详解】 因为，为锐角，所以， 由可得，， 因为， 所以， 所以 ． 因为为锐角，所以 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调区间； （3）求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）最小值为0，最大值为2. 【解析】 【分析】（1）先利用三角变换公式把化成形式，利用求函数周期． （2）整体换元法求函数的单调区间. （3）整体换元法求函数的值域． 【小问1详解】 因为． 由，所以函数的最小正周期为． 【小问2详解】 由得：． 由得：． 所以函数的单调增区间为；单调减区间为． 【小问3详解】 因为，所以． 所以，函数在上最小值为0，最大值为2． 19. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明在定义域上的单调性； （3）若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由对恒成立，可得对恒成立，求解即可； （2）由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可； （3）由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性可得对任意恒成立，可求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为的定义域为，又是奇函数， 所以对恒成立，即对恒成立， 所以对恒成立，对恒成立， 解得； 【小问2详解】 由（1）可知， 该函数在定义域上单调递减，证明如下： 任取，， ， 因为，所以，所以，， 所以，所以，即. 所以该函数在定义域上单调递减． 小问3详解】 由得， 又是奇函数，所以， 由（2）知在是减函数，故原问题可化为， 即：对任意恒成立，又， 所以，所以实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田锦江中学2024---2025学年（上）期末考 高一数学 一、单选题（共40分） 1. 设集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 将函数图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 3. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 下列叙述正确是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，或” C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是真命题 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心坐标为 C. 的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 D. 的一条对称轴为 11. 设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A. B. C. 是减函数 D. 当时， 三、填空题（共15分） 12 已知，则______． 13. 已知集合，.若，则实数a的取值范围是______ 14. 函数，且的图象恒过的定点的坐标为__________，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为__________. 四、解答题（共77分） 15. 求下列各式的值： （1）. （2）. 16. 已知全集为实数集 ，集合 ，. （1）求集合 、 ； （2）求 17 已知 （1）求的值； （2）若，求锐角的值. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调区间； （3）求在区间上的最值． 19. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明在定义域上的单调性； （3）若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$