精品解析：福建省部分优质高中2024～2025学年高二下学期入学质量检测数学试卷

2024~2025学年第二学期福建省部分优质高中高二年级入学质量检测 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的标准方程，确定，根据直线方程，即可求解. 【详解】因为，所以抛物线方程为，， 因为抛物线准线方程为，所以抛物线准线方程为. 故选：D 2. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，可求向量在向量上的投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用标准的椭圆方程即可判断参数范围. 【详解】方程变形得：， 该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：， 故选：A. 4. 如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用是边的中点，可得，代入即可求解． 【详解】解：是边的中点， ； ； 故选：． 【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查学生的分析能力；属于基础题． 5. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 80 C. 140 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，再利用前n项和公式计算即得. 详解】等差数列中，，而，则， 公差，， 所以. 故选：C 6. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的定义和判定定理，结合充分条件和必要条件的定义判断即可得到答案. 【详解】若，且，则，， 由于向量所在的直线不一定相交，非零向量所在的直线为， 所以不一定能得到； 若，非零向量所在的直线为，向量是平面内两个不相等的非零向量， 则，，可得，. 综上所述，“，且”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 已知，为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的对称性可得，结合椭圆的定义和勾股定理求得答案. 【详解】如图，由得，，所以是直角三角形， 又由椭圆中心对称图形，可知四边形是平行四边形，即， 又，，则，， 又因为，是直角三角形， 所以，即，即， 所以． 故选：B． 8 已知数列满足：，，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系，再根据累加法求的值. 【详解】由，则， 所以 所以，，…，， 各式相加得：，则. 故选：C. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分， 9. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，建立，建立空间直角坐标系，得到，设直线与所成角为，利用得到答案；B选项，证明出，得到线面平行；C选项，计算出，得到垂直关系；D选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 则， 设直线与所成角为， 故， 直线与所成角的余弦值为，A错误； B选项，，分别为棱，的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面，B正确； C选项，， 故， 故，故，C正确； D选项，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 其中，设直线与平面所成角的大小为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为，D错误. 故选：BC 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】直线与抛物线联立方程组，求出点，的坐标，由，求得，进而求得，即可判断ABC，求出原点到直线的距离，代入面积公式求解判断D. 【分析】如图，，直线的斜率为，则设直线的方程为， 联立得，解得：，． 由，得，故A错误； 由于，则，故C错误； 同理，故B正确； 因为直线的方程为，原点到直线的距离为， 所以，故D正确． 故选：BD． 11. 已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推式及，求得，即可判断A；分为奇数、为偶数，求出通项公式判断B，C；利用分组求和，求出，判断D． 【详解】解：因为，即， 所以，， 解得，故A正确； 由此可得，，，， …… 所以当为奇数时，为偶数，为奇数， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 所以，所以， 所以，故B错误； 当为偶数时，为奇数，为偶数， 则，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D， = =，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分， 12. 设，且，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示及共线向量的坐标表示分别求出参数，进而求出向量的模. 【详解】依题意，由，得，解得，由，得， 解得，即，， 所以. 故答案为：3 13. 设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出． 【详解】由等差数列的性质可得：． 对于任意的都有， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14. 已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由离心率得出，可得双曲线方程为，然后由求得，再根据双曲线定义求得三角形周长． 【详解】由题意，即，化简和是，， 因此双曲线方程为，右焦点为，渐近线方程为， 不妨设直线方程为，设， 由得， ，，， 所以，解得，从而， 由双曲线的定义可得， 所以， 从而的周长为， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：在双曲线中弦过焦点，则焦点的周长是（其中）． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离，满足抛物线的定义，根据定义即可求解； （2）利用点差法求出直线的斜率即可. 【小问1详解】 由题意知根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. 【小问2详解】 设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即经检验满足题意. 16. 四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，E是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，先根据中位线定理证明，再利用线面平行的判定定理证明平面； （2）建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，利用面面角的空间向量坐标公式计算即可. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为是矩形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以， 因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面，平面，平面， 所以，，又，所以两两垂直； 因此以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面DEB的一个法向量， 则，设，则，则， 因为，，，平面， 所以平面，因此，平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知公比小于1的等比数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式基本量运算求解； （2）求出通项，利用裂项相消法求和得解. 【小问1详解】 设数列的公比为，则由已知得， 整理可得，分解因式可得， 解得或，又，， . 【小问2详解】 ，，， ， . 18. 已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值； （3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件可知当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，由此可计算椭圆标准方程. （2）设，表示，利用点在椭圆上可求结果. （3）设l的方程为，与椭圆方程联立，利用可计算出的值，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意得，. 当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，此时面积为， ∴，∴椭圆C的方程为． 【小问2详解】 设，则，即， ∴． 【小问3详解】 由题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为，，． 由得， ， ∴，， ∴，， ∵，∴，即， ∴， 解得或（舍）． 当时，满足，此时MN的方程为，故直线MN过定点． 19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. （1）证明：平面平面； （2）求到平面的距离； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为；若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，的值为或. 【解析】 【分析】（1）由，，可证得平面，由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）向量法求到平面的距离； （3）证明出，求出平面的法向量，设，则，，设平面的法向量为，根解两平面夹角列出方程，求得或，设，进而根据，求出答案. 【小问1详解】 因为，， ，平面，则平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 取的中点，连接，因为是等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 平面，，， 取的中点，连接，则，由，得， 所以两两垂直， 以为原点，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，由勾股定理得， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，得，，则， 到平面的距离. 【小问3详解】 连接，因平面，平面平面，所以， 不妨设，则，， 设，则， 即，，，故， 同理可得， 则有， 设平面的法向量为， 则， 解得，设，则，故， 所以 化简得，解得或， 设，则，设， 则，解得，，， 故， 当，，因为， 所以，化简得， 解得，满足要求， 当，，因为， 所以，化简得， 解得，满足要求. 故存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为或. 【点睛】立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期福建省部分优质高中高二年级入学质量检测 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A B. C. D. 3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ） A. B. C. D. 5. 记等差数列前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 80 C. 140 D. 160 6. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足：，，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分， 9. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为（ ） A. 直线与所成角余弦值为 B. 平面 C. D. 直线与平面所成角的正弦值为 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A B. C. D. 11. 已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分， 12. 设，且，则_______． 13. 设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为_________. 14. 已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线与相交于两点，若线段中点坐标为，求直线的方程. 16. 四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，E是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知公比小于1的等比数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值； （3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点． 19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. （1）证明：平面平面； （2）求到平面的距离； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为；若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $