第17章 函数及其图象 导学案 2024-2025学年华东师大版八年级下册数学

初二年级 SX-8B-17—01 《变量与函数（一）》导学案 【学习目标】1．能识别简单实际问题中的常量、变址及其意义，并能找出变量之间的数量关系及变化规律，形成初步的抽象能力；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例，初步形成模型观念；2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：函数概念的形成过程。难点：理解函数概念。 【学法指导】看书P28-30用笔将书中与黑体字将相关内容勾划下来，并利用前面的几个问题来体会变量，常量，自变量，因变量，函数。体会自变量在什么情况下才有意义。 【知识链接】 t/h 1 2 3 4 5 s/km 汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm，行驶的时间为th，先填写下面的表格，在试用含t的式子表示s. 【学习过程】 问题一：认识常量、变量 1.在某一变化过程中， 的量叫做变量;它的取值 我们称之为变量. 2.（1） 常量： 变量： （2）S=πr2 常量： 变量： 3.找一找，y=x的常量在哪里？ 问题二：函数及表示 1.一般地，如果在一变化过程中，有 个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有 的值与之对应，我们就说，x是 变量，y是 变量，此时也称 是 的函数. 表示函数关系有三种方法.分别是 、 、 。 2.填表 式子 是否函数 自变量 因变量 问题三：函数的标准形式 1、在公式中，若v不变，t是自变量，则v是 量，而路程s是 的函数；若t不变，v是自变量，则常量是 ，而路程s是 的函数。 2、把下列各式表示成y是x的函数： 3.函数的应用 （1）用自然数n表示正偶数y的关系式 . （2）仓库存煤100t,这些煤使用的天数y与每日用煤的函数关系式为 . （3）等腰三角形顶角、底角度数分别是y、，则y与的函数关系式 . （4）已知等腰三角形的周长为6cm,试写出腰y与底的函数关系式 . 2. 请你写出正多边形的每个内角度数α与边数的关系式；再想一想自变量在这个变化过程中有什么规定？并指出变量，常量和函数。 【拓展提高】 了解海战棋： 初二年级 SX-8B-17—01 《变量与函数（二）》导学案 【学习目标】1. 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义；能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值；2. 培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：列函数关系式、自变量的取值范围及函数值。 难点：自变量的取值范围。 【学法指导】阅读P31-32的内容。体会里面的函数变化及自变量取值范围。 【学习过程】 问题一：预习 1.等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围. 2.如图，等腰直角△ABC的直角边与正方形MNPQ的边长都为10cm,AC与MN在同一直线上，开始时点A与M重合，让△ABC向右运动，最后A与N重合， （1）试写出两图形重叠部分面积与长度MA（）之间的函数式. （2）当点A向右移动1cm时，重叠部分的面积是多少？ 问题二：练习 1.到银行存款每次100元，存折上的总数y元与次数n之间的关系. 2.等腰梯形周长为24cm，上底与腰长为，列出下底与的函数关系式. 3.如图，矩形ABCD中，，，AE=CG=xcm，AF=CH=3cm，□FEHG的面积为，写出与的函数关系式. 4.在直角△ABC中，∠C=90°AC=6，BC=8，设P为BC上任一点，P与BC不重合且CP=x，若△ABP面积为y，写出y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围. 5.某地的地面气温是，如果每升高1,气温下降，求气温t与离地面高度h的函数式；并求当高度为4时的气温. 6.从资阳向上海打电话，按时收费，3分钟内收费2.4元，以后每增加1分钟加收1元，电话费（元）与时间（分）的函数式及自变量的取值范围. 7.一根弹簧原长13cm，它能挂的重量不超过16kg，并且每挂重1kg弹簧就伸长0.5cm，求挂重后弹簧的长度ycm与挂重kg之间的函数关系式并求自变量的范围. 问题二： 1函数自变量的取值范围是 . 函数y=中，自变量x的取值范围是 ． 2.函数的定义域是 . 3.函数中，自变量x的取值范围是 ．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 初二年级 SX-8B-17—02 《平面直角坐标系（一）》导学案 【学习目标】1.知道平面直角坐标系，知道如何在直角坐标系中已知坐标的点；反之已知坐标系中点的位置能写出点的坐标。2. 培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：平面直角坐标系的概念及已知点求坐标和已知坐标求描点。难点：特殊点的坐标。 【学法指导】看书P34-35用笔将书中与黑体字相关内容勾下来将符号特征及对称特征用对称的性质来验证得坐标及符号。 【学习过程】 问题一：预习 1.在平面上，画两条 、互相 且具有 的数轴，就建立了平面直角坐标系.通常把 叫做x轴或横轴，取 方向为正方向.把 叫做y轴或纵轴，取 方向为正方向. 2.如图从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别点M和点N,这时点M在x轴上的数字是3，称为点P的 ，点N在y轴上对应数为2，称为点P的 .这样得到一对有序实数（3，2），称为点P的 . 3.在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为 .（注：象限只能用罗马数字或汉字表示。） 4.原点表示为（ ， ），x轴上的点表示为（ ， ），y轴上的点表示为（ ， ） 问题二： 1.写出下图中A、B、C、D、E、F各点的坐标： A B C D E F 2.观察上图，总结各象限的符号 第一象限（ ， ）第二象限（ ， ）第三象限（ ， ） 第四象限（ ， ）x轴正半轴（ ， ） x轴负半轴（ ， ） y轴正半轴（ ， ） y 轴负半轴（ ， ） 3.不描出下列各点，指出它们所在的象限 A（，3） B（，） C（0，－2） D（，）且 E（，）且 问题三：点到坐标轴的距离 1.点到x轴的距离是 ；点到y轴的距离是 ； 2.点位于x轴下方,y轴左侧,距离x轴4个单位长度,距离y轴2个单位长度,那么点的坐标是 。 3.点P(a,b)在y轴右侧,若P到x轴的距离是5,到y轴的距离是2,则点P的坐标为( ) A.( -2,5) B.( -5,2) C.(2,5)或(2，-5) D.(5,2)或(5，-2) 4.已知点Q的坐标为(-2+a ,2a-7),且点Q到两坐标轴的距离相等,则点Q的坐标是( ) A. (3,3) B.(3,-3) C. (3,3)或(1,-1) D.(1,-1)或(3,-3) 【拓展提高】 1.观察上图再填写点的坐标的特点及各象限角平分线上的点的特征： ①x轴上方的点纵坐标为 ；下方的点纵坐标为 ；②y轴右侧的点横坐标为 ；左侧的点横坐标为 ；③x轴上的点纵坐标为 ；y轴上的点横坐标为 ； ④第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标 ；⑤第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标 . 2.已知平面内点P（，）若、满足下列条件，请指出点P所在的象限 ⑴， ⑵， 。 ⑶， . ⑷， ⑸， ⑹， 。 ⑺， ⑻ 。⑼ .⑽ ⑾ ⑿ 。 ⒀若点P（，）,>0,<0,则点在第 象限； ⒁若,则点在 ；若,则点在 。 3.若点P(m +4,2m +4)在x轴上,则点P的坐标是 . 初二年级 SX-8B-17—02 《平面直角坐标系（二）》导学案 【学习目标】1知道点在坐标系内的对称点的几种情况并以此来了解这些坐标之间的关系。2. 培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：横纵坐标符号与象限有的关系及应用及坐标系内对称点的坐标求法。 难点：横纵坐标符号与象限有的关系及应用及坐标系内对称点的坐标求法。 【学法指导】看书P35页思考，用笔将书中与黑体字相关内容勾下来将符号特征及对称特征用对称的性质来验证得坐标及符号。 【知识链接】 1．特殊点的坐标：原点的坐标 ；x轴上的点纵坐标为 ；y轴上的点横坐标为 ；第一、三象限角平分线上点的坐标为 ；第二、四象限角平分线上点的坐标为 。 2．点到x轴的距离 ，点到y轴的距离 。 3.符号：第一象限（ ， ）第二象限（ ， ） 第三象限（ ， ）第四象限（ ， ） 【学习过程】 问题一： 1、请在平面直角坐标系中作出下列各点。 A（－2，3） B（2，3） C（2，-3）D（-2，-3） E（3，2） F（－3，2） G（-3，-2）H（3，-2） 2、其中与A点和G点关于x轴对称的点是哪两个？它们的符号和数字有什么特征？ 结论： 3、其中与C点和H点关于y轴对称的点是哪两个？它们的符号和数字有什么特征？ 结论： 4、其中与B点和F点关于原点成中心对称的点是哪两个？它们的符号和数字有什么特征？ 结论： 问题二： 1、请你在坐标每内作出A（1，1）和B（-1，1）观察这两点的对称性，再填写 ①点P（，）关于x轴对称：②点P（，）关于y轴对称：③点P（，）关于原点轴对称： 2.点(a,5)关于y轴对称的点的坐标是( -2,b -4),则ba的值为 ( ) A.1 B.9 C.81 D.29 3.在平面直角坐标系x0y 中,点A的坐标是( -2,-1),点B与点A关于原点О对称,则点B的坐标是( )A.( -2,1) B.(2,-1) C.(2,1) D.( -1,-2) 4.点P(7,-5)关于x轴对称的点的坐标为 . 5.已知点A(m,-3)与B(6,1-n)关于原点对称,则m+n = . 问题三： 1.已知两点A（－3，），B（，4）若AB∥轴，且A、B关于坐标轴对称，求、的值。 2.如图，OA＝OB＝2，∠α＝45°，求B的坐标. 【拓展提高】 1.其中与D点和H点关于一、三象限的角平分线对称的点是哪两个？它们的符号和数字有什么特征？ 结论： 2.其中与D点和F点关于二、四象限的角平分线对称的点是哪两个？它们的符号和数字有什么特征？ 结论： 3.想一想若某点P（-2，3）关于一、三象限的角平分线对称，则对称点的坐标；若关于二、四象限的角平分线又怎样？ 4.若点（，）在第一、三象限角平分线上，求的值。 初二年级 SX-8B-17—03 《函数的图象（一）》导学案 【学习目标】1.能画出函数的图象，能判断已知点是否在函数图象上 2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点:图象法表示函数 难点：判断已知点是否在图象上.由图象看出本质 【学法指导】看书P36-38用笔将书中与黑体字相关内容勾下来并用前面的几个问题来体会变量，常量，自变量，因变量，函数。 【学习过程】 问题一：预习 1.请将37页例1画图过程总结成三个步骤： 2.画出y=的图象 解： 3.判断（4，8）点是否在函数图象上？ 问题二： 1.在坐标系内画出函数的图象。 解： 问题三：1.画出已知函数解答下列问题 解： 2.写出图象与坐标轴的交点坐标: 3.判定点P（，0）、Q（，）是否在这个函数图象上，若在将它标出来. 问题四： 1.弹簧原长10cm，当挂物不足10kg时，每挂1kg重物弹簧伸长0.5cm；写出解析式； 解： 2.画出图象 3.思考：图象与自变量的范围有什么关系？ 初二年级 SX-8B-17—03 《函数的图象(二)》导学案 【学习目标】1.能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息，发现变量间的变化规律；能结合函数图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，结合对函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测。 2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点:数据与图象的关系 难点：由图象看出本质 【学法指导】看书P38-39能用平面直角坐标系的知识，来分析和了解图象在现实生活中的意义，特别是交点的意义。 【知识链接】 1. 函数的表示方法有 。 2.画函数图象的步骤是： 、 、 。 3、函数的图象上存在点，使得点到轴的距离等于3，则点的坐标 . 【学习过程】 问题一：预习 (见书上P34）完成书上的问题。思考：1、如图中有一个直角坐标系，它的横轴（ x轴） 和纵轴（y 轴）各表示什么？ 2、如图，线段上有一点P，则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？ 3、小强让爷爷先上多少米？ 4、山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？ 5、我们能否从图象中看出其它信息呢？ 问题二： 小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报 后，继续散步了一段时间，然后回家．右图描述了小明在散 步过程中离家的距离 （米）与散步所用时间 （分）之间的函 数关系．请你由图具体说明小明散步的情况． 1、图中x轴和y轴分别表示什么？ 2、图中AB表示什么？小明离家最远距离是多少米？ 3、小明回家的平均速度和散步的平均速度是多少？ 问题三：王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式击球，球正好进洞．其中，是球的飞行高度，是球飞出的水平距离． 1、试画出高尔夫球飞行的路线； 解 (1)列表： （2）在直角坐标系中，用描点法作出这个函数的大致图象： 2、从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？球的起点与洞之间的距离是多少？ 初二年级 SX-8B-17—03 《一次函数》导学案 【学习目标】 1. 能根据简单实际问题中的巳知条件确定一次函数的表达式； 2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：一次函数、正比例函数的概念。难点：解析式的求法。 【学法指导】认真预习并阅读书上关于一次函数及正比例函数的内容，通过定义找出它们的特征。 【学习过程】 问题一：预习 1.书上43、44页问题一：s=570-95t和问题二：y=0.3x+6,都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为 .一次函数通常可以表示为 ，(其中k、b是常数，k≠0).我们称这个式子叫做一次函数的表达式. 2.当一次函数中b=0时，一次函数 (常数k≠0)叫做正比例函数，这个式子叫做正比例函数的表达式. 3.判断下列函数中是否是一次函数 ①②③④⑤ 4.若函数是一次函数，求的值为。 问题二： 1.已知函数，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的取值． 解: 2.已知与成正比例，当时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)y与之间是什么函数关系； (3)求时，的值． 3.若是正比例函数，求. 问题三： 1.下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？ (1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)； (2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)； (3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨； (4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）． 2.某油库有一储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨．随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完．假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变．写出这段时间内油罐的储油量（吨）与进出油时间（分）的函数式及相应的取值范围． 3.按照我国税法规定：个人月收入不超过3500元（扣除三金后），免交个人所得税．超过0元不超过1500元部分需缴纳3%的个人所得税；超过1500元到4500元部分交10%的个人所得税；试写出月收入（扣除三金后）在3500元到5000元之间的人应缴纳的税金（元）和月收入（元）之间的函数关系式. 初二年级 SX-8B-17—03 《一次函数与正比例函数图象性质》导学案 【学习目标】 1. 会画出一次函数的图象； 2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：正比例函数作图及性质.难点：正比例函数图象的性质. 【学法指导】通过作图比较在不同情况下正比例函数图象有什么变化，再进行归纳总结得出结论。 【学习过程】 问题一： 1.前面我们学习了用描点法画函数的图象的方法，下面请同学们根据画图象的步骤：列表、描点、连线，在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象． ；　 ； … －2 －1 0 1 2 … … … … … … … … … 2.它们的图象形状都是 (图形).这种形状可由 个点来固定. 3.这些图象都经过了点( , ) ( , ),所以我们作图时最简单的作法是找点( , ) ( , ) 问题二：增减性 1、找出的两个函数图象，它们经过 象限.图象从左到右在逐渐 上升还是下降.所以它是 （增函数、减函数） 2、找出的两个函数图象，它们经过 象限.图象从左到右在逐渐 上升还是下降。所以它是 （增函数、减函数） 问题三： 1.若是正比例函数，且过一、三象限，则的值 ； 若它过二、四象限，则的值 ； 2.若是正比例函数，且随的增大而增大，则的值 ； 一次函数y=kx-1(k≠0)，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过 . 问题四： 1.若与成正比例，问是的什么函数？ 2.若与成正比例，当时，；当为何值时？ 3.若,且与成正比，与成正比，当时，，当，，求与的函数解析式. 吨.百元 甲 乙 丙 每车装（吨） 2 1 1.5 每吨获利（百元） 5 7 4 4.右表是装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，某汽车公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜只装一种并装满，⑴若8辆装乙丙共11吨，问各需几辆？⑵20辆装甲、乙、丙36吨，每种不少于一车，如何安排装运可使公司获最大利润？最大利润是多少？ 初二年级 SX-8B-17—03 《一次函数的图象(平移)》导学案 【学习目标】1.能用两个交点作出一次函数的图象. 2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：一次函数作图及性质.难点：一次函数图象的性质. 【学法指导】通过作图比较在不同情况下一次函数图象有什么变化，再进行归纳总结得出结论，为方便看图可适当选用彩色笔。 【知识链接】 1．正比例函数的图象是 ，一般过 ， 作出函数的图象 2．正比例函数的增减性是 ，当 0时，过一、三象限；当 0时，过二、四象限. 3.看书一次函数的图象的形状： 【学习过程】 问题一：1.同一坐标系内作出、、 …… …… …… 0 …… …… 0 …… …… 0 …… 列表： 2.观察上图，当x有相同值时，、、的大小关系？、、的k值是多少？它们的位置关系？ 3.观察的图象，并利用图象回答：当 取何值时，，；当-1≤≤1时，y的取值范围；-2≤≤2时，的取值范围。 问题二：1.可由怎样上下平移得到？这时＞0，图象经过哪几个象限？ 2.可由怎样上下平移得到？ 这时＜0，图象经过哪几个象限？ 3.也可由怎样左右平移得到？也可由怎样左右平移得到？ 4.＝2x、＝2(x )、=2(x ) 归纳：函数图形的平移是上 下 左 右 。 … 0 … … 0 \ \ \ … … \ 0 \ \ … … \ \ 0 \ … … \ \ \ 0 … 问题三： 1.作出直线与、与再观察 2.可看作是由向 （上下）平移 个单位；也可向 （左右）平移 个单位. 3.可看作是由向 （上下）平移 个单位；也可向 （左右）平移 个单位. 初二年级 SX-8B-17—03 《一次函数的图象》导学案 【学习目标】1.能用两个交点作出一次函数的图象.能总结得出k或b的取值相同时对图象位置的关系. 2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：一次函数作图及性质.难点：一次函数图象的性质. 【学法指导】通过作图比较在不同情况下一次函数图象有什么变化，再进行归纳总结得出结论，为方便看图可适当选用彩色笔。 【学习过程】 问题一： 完成下列图表 、的值 经过的象限 增减性 示意图象 ＞0，＝0 一、二、三 ＞0，＜0 二、四 一、二、四 ＜0，＜0 问题二： 1.一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 问题三： 1.若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 2.请写出一个过点(1,1)且y的值随x值增大而减小的函数的解析式 ． 3.请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 初二年级 SX-8B-17—03 《一次函数的图象(k、b对图象的影响)》导学案 【学习目标】1.能用两个交点作出一次函数的图象.能总结得出k或b的取值相同时对图象位置的关系. 2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：一次函数作图及性质.难点：一次函数图象的性质. 【学法指导】通过作图比较在不同情况下一次函数图象有什么变化，再进行归纳总结得出结论，为方便看图可适当选用彩色笔。 【学习过程】 问题一： 1.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 3.对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 问题二： 1.一次函数与x轴交点 ，y轴的交点坐标是 . 练习：(1)y=x-4与x轴交点 ，y轴的交点坐标是 . (2)y=-2x-8与x轴交点 ，y轴的交点坐标是 . (3)y=+1与x轴交点 ，y轴的交点坐标是 . 问题三： 1.在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象． （1）y=2x y=2x+3 （2）y=-2x+1 y=x+1 2.观察（1）组的两个函数图象，k相同，两函数图象 . 3.观察（2）组的两个函数图象，b相同，两函数图象 . （注：b又叫做截距） 4.观察(1)（2）组的前两个函数图象，k互为相反数，但它们与x轴的夹角 . （注：|k|又叫做斜率） 结论：y=k1x+b1与y=k2x+b2，（1）当两直线平行时， ；（2）当两直线互相垂直时， ；（3）当两直线交于同一点时， ；（4）当两直线关于x轴对称时， ；（5）当两直线关于y轴对称时， ；（6）当两直线关于原点对称时， . 练习：(1)y=x-4与y=kx-6互相平行，则k= . (2)y=-2x-8与y=kx+3互相垂直，则k= . (3)y=-2x+5与x轴交点 ，y轴的交点坐标是 . 初二年级 SX-8B-17—03 《求函数解析式》导学案 【学习目标】 1. 会在不同问题清境中运用待定系数法确定一次函数的表达式； 2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：己知两点求函数解析式。难点：已知图象求解析式。 【学法指导】先写出一次函数解析式，再通过求解二元一次方程组求出一次函数中的各字母。 【学习过程】 问题一： 1.（直线平行）若直线与直线平行，且与轴交点的纵坐标为-2；求直线的表达式. 2.（己知两点）已知直线经过（9，10）和（24，20），求解析式并作出图象。 问题二：（己知图象）1.已知函数的图象如图所示，求出这个函数的解析式。 2.已知函数的图象如图所示，求出这个函数的解析。 3. 求如图直线AB对应的函数解析。 问题三：入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准如图。 （1）列出函数解析式。 （2）根据列出的式子，说明自来水公司的收费标准。 初二年级 SX-8B-17—03 《函数的图象与面积》导学案 【学习目标】1.会依据直线与坐标轴围成的图形求多边形面积； 2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：己知解析式求面积。难点：已知面积求解析式 【学法指导】能用平面直角坐标系的知识，来分析和了解图象在现实生活中的意义，特别是交点的意义。 【知识链接】 1.三角形的面积公式 ，梯形的面积公式 ，矩形的面积公式 ，菱形的面积公式 。 2. 直线与轴的交点坐标为 ，直线与轴的交战坐标为 .轴上两点间的距离为 ；轴上两点的距离为 ；平行于轴的直线上两点间的距离为 ；平行于轴的直线上两点间的距离为 。 【学习过程】 问题一：1、求函数与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积. 问题二：已知直线；求①若直线过A（1，2）和（3，0）求、和； ②若直线过一、二、三象限，求、的取值； ③若直线与平行，且与直线交于轴上一点，求解析式。 问题三：1、一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求 1、 已知一次函数的图象过点M（0，－3）且与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求解析式. 问题四：1、已知与都过（2，3）点，①求、的解析式；②求、、轴围成的三角形的面积. 2、在直角坐标系中，轴上的动点M（，0）到定点P（5,5）Q(2,1)的距离分别为MP和MQ，当点M的横坐标的值是多少时，MP＋MQ的值最小？ 初二年级 SX-8B-17—03 《函数的图象的交点》导学案 【学习目标】1. ；会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：能求出两直线的交点坐标 难点：求出两直线与坐标轴围成的多边形的面积 【学法指导】能用平面直角坐标系的知识，来分析和了解图象在现实生活中的意义，特别是交点的意义。 【知识链接】 1.一慢车和一快车沿相同路线从A到B地，所行的路程与时间的函数图象如图，试根据图象，回答下列问题：（1）慢车比快车早出发 小时； （2） 快车追上慢车时行驶了 千米； （3） 追上时两车所走的路程 ； （4） 快车比慢车早到 。 2. 两条直线相交时交点坐标满足 ； 则直线的交点坐标即为 。 【学习过程】 问题一： 1.无论取何值，直线与的交点不可能在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2.求直线与的交点坐标，并求两直线与轴围成的三角形的面积. 3、在直角坐标系中，直线与交于点A，求（1）点A的坐标； （2）这两条直线与轴围成的三角形的面积. 问题二：已知一次函数的图象交轴于A（－6，0），交正比例函数的图象于点B，且B点在第二象限，它的横坐标为—4，且，求两个解析式. 问题三：若直线与x轴交于点A；与y轴交于点B，它们的交点为C求S△ACB. 【拓展提高】 1.已知与交于轴上同一点，并且与平行，则解析式为 ，与两坐标轴围成的三角形的面积 . 2.若直线与直线关于轴对称，则直线的解析式为（ ） A B C D 初二年级 SX-8B-17—03 《函数的图象(九)》导学案 【学习目标】1.能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题.2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：列解析式 难点：自变量的取值范围 【学法指导】能用平面直角坐标系的知识，来分析和了解图象在现实生活中的意义，特别是交点的意义。 【知识链接】 1.如何判断一次函数的增减性？ 2.在一个函数中当取定一个范围时如何确定的范围？ 【学习过程】 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … 问题一：某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 问题二：为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 问题三：某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． (1)求的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 【拓展提高】 1. 一次函数的图象经过一定点，则这个定点坐标应是 。 2.求证：不论取何值，一次函数的图象恒过一定点，并求定点的坐标. 初二年级 SX-8B-17—03 《反比例函数》导学案 【学习目标】1. 结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：反比例函数的性质及求函数解析式 难点：反比例函数的性质 【学法指导】认真阅读书P54-56，仔细思考总结方法，利用图形识记规律。 【知识链接】 1．(1)当路程一定，时间与速度成反比例，即 (2)当矩形面积一定时，长和宽成反比例，即 （3）电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时。 请你用含R的代数式表示I，则 ；完成下表： 电阻（欧姆） 20 40 60 80 100 电流（安培） 回答下列问题：当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？ 【学习过程】 问题一： 1.一般地，形如y= （ ）的函数叫做反比例函数.自变量x的取值范围是 . 2.反比例函数除了可以表示为y=的形式外，也可表示为 ，同时k=xy也可表示反比例函数。 问题二：1.下列关系式中y是x的反比例函数的是： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2.写出下列函数关系式，并指出它们是什么函数？ (1)已知平行四边形的面积是，它的一边是，这边上的高是，则与的函数关系； (2)正方形的周长P和它的边长之间的函数式； (3)压强一定时，压力与受力面积的关系； ⑷功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系； ⑸某乡粮食总产量为吨，那么该乡每人平均拥有粮食(吨)与该乡人口数的函数关系式． 问题三：1：⑴已知函数当为 时该函数是正比例函数；当为 . 时该函数是反比例函数. ⑵若函数，当它是正比例函数时= 、= ；当它是反比例函数时= 、= . ⑶已知与成反比例，且时，解析式y= . ⑷是的反比例函数，当时，解析式y= . 【拓展提高】 将下列各题中y与x的函数关系写出来． (1)，z与x成正比例； (2)y与z成反比例，z与3x成反比例； (3)y与2z成反比例，z与成正比例； 初二年级 SX-8B-17—03 《反比例函数的图象》导学案 【学习目标】1. 会用描点法画出反比例函数的图象； 2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：反比例函数的性质及求函数解析式 难点：反比例函数的性质 【学法指导】认真阅读书P54-56，仔细思考总结方法，利用图形识记规律。 问题一： 1.作出y=的函数图象. x …… …… …… y= …… …… …… 反比例函数图象是 ，要画出图形至少需要 个点，它们是关于 成中心对称. 它们是关于 成轴对称.函数中的k 0,图象在 象限.图象与x轴y轴 （有或没有）交点. 2.作出y=-的函数图象. x …… …… …… y=- …… …… …… 反比例函数图象是 ，要画出图形至少需要 个点，它们是关于 成中心对称. 它们是关于 成轴对称.函数中的k 0,图象在 象限.图象与x轴y轴 （有或没有）交点. 3.作出y=-的函数图象 x …… …… …… y=- …… …… …… 反比例函数图象是 ，要画出图形至少需要 个点，它们是关于 成中心对称. 它们是关于 成轴对称.函数中的k 0,图象在 象限.图象与x轴y轴 （有或没有）交点. y=-与y=-的两个图象中，|-6|＞|-4|，y=-的图象离坐标轴 . y=-的图象离坐标轴 . 小结： 在反比例y=的函数图象中，当|k|越大，图象是离坐标轴越 . 问题二： 1.面积为2的矩形，一边长为，另一边长为，则与的函数关系的大致图象为（ ） 2.函数的图象经过点P（2，－3），Q（－6，），求的值. 初二年级 SX-8B-17—03 《反比例函数的增减性》导学案 【学习目标】1. 知道当k>O和k<O时反比例函数图象的整体特征.2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：反比例函数的性质 难点：利用反比例函数的性质求解析式 【学法指导】认真阅读书P56-58，仔细思考总结方法，利用图形识记规律。 【学习过程】 问题一：1.在反比例函数的图象上有两点A（，），B（，），当＜0＜时，有＜，则的取值范围是（ ）A ＜0 B ＞0 C D 2.若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数（k＜0）图象上，则a、b、c的大小关系 . 3.函数的图象在第二象限，随的增大而 。 4.已知二次三项式是一个完全平方式，且反比例函数在图象的每一个分支上的值随的增大而增大，则此反比例函数的关系式为 。 问题二：1.若反比例函数的图象在第二、四象限，求的值． 2.已知反比例函数()，当＞0时，随的增大而增大，求一次函数的图象经过的象限． 3.已知反比例函数的图象过点(1,－2)．(1)求这个函数的解析式，并画出图象；(2)若点A(－5,)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？ 问题三：1.已知函数为反比例函数．(1)求的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，随的增大如何变化？(3)当－3≤≤时，求此函数的最大值和最小值． 2.已知反比例函数经过点A(2，)和B(，)，求： (1)和的值；(2)若图象上有两点（，）和（，）且＜0＜ ，试比较和 的大小． 初二年级 SX-8B-17—03 《反比例函数与面积》导学案 【学习目标】1．反比例函数的综合运用：求面积、交点 2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】重点：利用反比例函数的图象和性质解决一些综合问题。 难点：利用图象分析、解决问题。 【学法指导】认真阅读学案，总结规律方法，在学案上作出勾画。 【知识链接】 1.若的图象有半支在第四象限，则的取值 2.若的图象在第二、四象限，则过 象限 【学习过程】 问题一：1.过上两点A、B分别作轴、轴的垂线，垂足为C、D、E、F，试探究四边形OCAD和四边OEBF的面积 。 2.如图，过反比例函数（＞0）的图象上任意两点A、B分别作轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是、，比较它们的大小，可得（ ） A ＞ B ＝ C ＜ D 大小关系不能确定 问题二： 1. 若函数与的图象无交点，求的取值范围是 。 2.已知反比例函数与一次函数的图象有交点，求的取值范围 。 3.正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是A，且点A的横坐标是2，求反比例函数的解析式. 问题三：1.如图，一次函数的图象与反比例的图象交于A（－2，1）B（1，）两点，（1）试确定反比例函数和一次函数的解析式；（2）求的面积. 2.一次函数与反比例函数的交点A（，）在第一象限内，且AB⊥轴于B，已知△ABO的面积为3，试求一次函数和反比例函数的解析式. 初二年级 SX-8B-17—03 《实践与探索（一）》导学案 【学习目标】1. 通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集 2. 培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 3. 【重点难点】重点：如何用函数图象解一元一次不等式，一元一次方程。 难点：根据函数图象观察方程（组）的解及不等式的解集。 【学法指导】找函数图象与方程不等式的关系，关键是它们的交点坐标，再根据上大下小，左小右大，来综合考虑。 【知识链接】 1.求两直线的交点坐标是求方程组 的解，反之在坐标系内方程组的解是求 的交点坐标. 【学习过程】 问题一：画出函数的图象，根据图像回答： 1、 ，0； ，； ，。 2、方程的解是函数y＝的图象中 点 3、不等式的解集是函数y＝的图象 位置 问题二：1、如图是一次函数的图象，当时， 的取值范围是（ ）A B C D 2、反比例函数，当x＝－2时，y＝ ；当x＜－2时；y的取值范围是 ；当x＞－2时；y的取值范围是 。 3、函数与的图象如图，这两个函数的交点在轴上，那么、都大于零的取值范围是 。 4、已知函数和的图象交点为， 则不等式的解集为 。 问题三： 1.利用图象求方程组的解 2.画出函数的图象, 并利用图象回答问题. (1)当时, 的取范围 。 (2)当时, 的取值范围 。 3.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，⑴根据图象分别写出A、B的坐标；⑵求出两个函数解析；⑶根据图象回答：当为何值时，一次函数大于反比例函数值. 初二年级 SX-8B-17—03 《实践与探索（二）》导学案 【学习目标】1.对直线、双曲线的交点、面积的综合运用及灵活运用 2.培养数学核心素养：数据观念、模型观念、应用意识. 会用函数思想解决问题. 【重点难点】知识的灵活运用 【学法指导】要综合运用函数和知识，往往交点就是题目的关键。 【知识链接】 两线的交点坐标是 ，求面积的方法是 。 【学习过程】 问题一：已知一次函数的图象经过反比例函数的图象上的M、N两点，若点M的纵坐标为-1，点N的横坐标为2，求一次函数的解析式. 问题二： .已知一次函数与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P（，3），(1)求的值及这两个函数的解析式. 问题三：如图，函数的图象在第一象限的一支上一点C（1，5），过点C的直线与轴交于点A（，0）⑴求点A的横坐标与之间的函数关系式，⑵当该直线与双曲线在第一象限的另一个交点D的横坐标是9时，求△COA的面积. 问题四：一次函数的图象过（-1，0），另一个一次函数的图象过点（2，-1）且两直线在第三象限内相交，⑴求两个解析式；⑵求两直线的交点坐标；⑶顺次边两直线与坐标轴的四个交点所得四边形的面积. 34 学科网（北京）股份有限公司 $$