精品解析：上海市同济大学第一附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

同济大学第一附属中学2024 学年第一学期期末考试高一年级数学试卷 （本试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟） 一、填空题 （共 12 题，每题 3 分，满分 36 分） 1. 函数 的定义域为_____. 2. 写出与终边相同的角的集合是________. 3. 已知扇形的弧所对的圆心角大小为，且半径为 2，则扇形的面积为_____. 4. 已知幂函数的图像经过点，则_____________． 5. 已知，且都第二象限角，则 _____. 6. 函数在区间上值域为__________． 7. 函数的单调递减区间是________. 8. 设为常数且，若函数在R上严格增函数，则实数的取值范围为______. 9. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则=______． 10. 若函数的图像是连续不断的，有如下的对应值表： 1 2 3 4 5 6 则函数在上的零点至少有______个. 11. 已知函数 的最小值为，则 _____ 12. 甲、乙、丙三位同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围” 提出各自的解题思路: 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”; 乙说: “把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”; 丙说: “把不等式两边看成关于 函数，作出函数图像”; 参考上述解题思路，借助你认为合适的思路进行分析，求 的取值范围_____ 二、选择题 （共 4 题，每题 3 分，满分 12 分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 16. 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如:. 现有关于“取整函数”的两个命题: ① 集合是单元素集: ②对于任意成立，则以下说法正确的是（ ） A. ①②都是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①②都是真命题 三. 解答题 （共 5 题，满分 52 分） 17. 已知． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 18. 在平面直角坐标系：中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． （1）若，求及的值； （2）若，求点的坐标． 19. 已知常数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若函数为单调函数，求实数的取值范围. 20. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． （1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 21. 若函数区间上有最大值4和最小值1，设 （1）求的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）关于方程有且仅有二个不同的实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同济大学第一附属中学2024 学年第一学期期末考试高一年级数学试卷 （本试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟） 一、填空题 （共 12 题，每题 3 分，满分 36 分） 1. 函数 定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定的函数的意义，列出不等式组求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 2. 写出与终边相同的角的集合是________. 【答案】； 【解析】 【分析】根据终边相同角的表示方法即可得解． 【详解】终边相同角相差的整数倍， 因此与终边相同的角的集合是． 故答案为：. 3. 已知扇形的弧所对的圆心角大小为，且半径为 2，则扇形的面积为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用扇形面积公式计算得解. 【详解】依题意，扇形面积为. 故答案为： 4. 已知幂函数的图像经过点，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出函数值作答. 【详解】依题意，设函数，且为常数，则有，解得，即， 所以. 故答案为： 5. 已知，且都是第二象限角，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算得解. 【详解】由，都是第二象限角， 得， 所以. 故答案为： 6. 函数在区间上值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上是减函数，所以，故值域为. 故答案为：. 7. 函数的单调递减区间是________. 【答案】 【解析】 【分析】 由，分段讨论出函数的单调区间，从而得出答案. 【详解】由 当时，开口向上，对称轴方程为，所以在上单调递增. 当时，开口向下，对称轴方程为 所以此时在上单调递增，在上单调递减. 故答案为： 8. 设为常数且，若函数在R上严格增函数，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数单调性法则以及指数、对数函数的单调性求得结果. 【详解】因为函数在R上严格增函数， 所以，又， 所以,即. 故答案为：. 9. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用求出，再利用奇函数定义求出作答. 【详解】R上的奇函数，当时，，则，解得， 所以. 故答案为： 10. 若函数的图像是连续不断的，有如下的对应值表： 1 2 3 4 5 6 则函数在上的零点至少有______个. 【答案】2 【解析】 【分析】由题得函数在（1,2）内至少有一个零点，在（4,5）内至少有一个零点，即得解. 【详解】由表得， 因为函数图像是连续不断的， 所以函数在（1,2）内至少有一个零点，在（4,5）内至少有一个零点， 所以函数在上的零点至少有两个. 故答案为2 【点睛】本题主要考查函数的零点定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11. 已知函数 的最小值为，则 _____ 【答案】或3 【解析】 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 12. 甲、乙、丙三位同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围” 提出各自的解题思路: 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”; 乙说: “把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”; 丙说: “把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”; 参考上述解题思路，借助你认为合适的思路进行分析，求 的取值范围_____ 【答案】 【解析】 【分析】通过对不等式进行变形，将问题转化为求函数的最小值，再根据函数单调性求出最小值，进而确定参数的取值范围. 【详解】首先，由， 因为，两边同时除以（）得到. 然后，设 对于，令， 在上增大时减小，减小，单调递增，根据复合函数同增异减，在上单调递减； 在上增大时增大，增大，单调递增，所以在上单调递增. 对于，时，单调递减；时，单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增. 接着，求的最小值，. 最后，因为，即，变形为，根据指数函数单调性可得，解得. 故答案为：. 二、选择题 （共 4 题，每题 3 分，满分 12 分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】当时，，充分性成立， 反过来，当时，或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 14. 已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的性质判断即可. 【详解】因为,是定义在上的偶函数， 所以当实数满足时，,不一定成立，故不符合题意； 因为是定义在上单调递增的奇函数， 所以当实数满足时，则，故符合题意； 因为在上单调递减， 所以当实数满足时，不一定成立，不符合题意. 故选：. 【点睛】判断不等式恒成立问题，方法有以下几种：1、可借助函数的单调性判断；2、可带特殊值说明不等式不成立；3、根据不等式关性质判断；4、作差比较大小；5、作商比较大小.对于选择题我们一般采用排除法. 15. 已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可. 【详解】由题意得，， 作出函数图象如图所示， 令，解得或， 则当，时，取得最大值， 此时. 故选：B 16. 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如:. 现有关于“取整函数”的两个命题: ① 集合是单元素集: ②对于任意成立，则以下说法正确的是（ ） A. ①②都是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①②都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】分段解方程求出集合中元素判断①；利用不等式性质结合取整数的意义推理判断②. 【详解】对于①，当时，，方程化为，则； 当时，，方程化为，则； 当时，，方程化为，无解， 因此，①是假命题； 对于②，令，则，， 当时，，， 则，； 当时，，， 则，， 因此对任意，，②是真命题， 故选：B 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： ①可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； ②可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； ③发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； ④如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三. 解答题 （共 5 题，满分 52 分） 17. 已知． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由恒成立，即恒成立，即得，从而可求解. （2）由即，然后对分情况讨论，从而可求解. 【小问1详解】 ∵ 恒成立， ∴ 对恒成立， 故，化简得，解得， 故实数的取值范围. 【小问2详解】 ，即； 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为. 18. 在平面直角坐标系：中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． （1）若，求及的值； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出值，再利用三角函数定义求出，利用诱导公式化简，借助齐次式法求值即得. （2）利用同角公式求出，再结合三角函数定义求出点的坐标. 【小问1详解】 角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，由，得， 所以，可得． 【小问2详解】 依题意，，，又， 两边平方，得，即， 因此， 联立，解得，，所以点的坐标为. 19. 已知为常数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若函数为单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义求出参数值 . （2）化函数为分段函数，按分类求出的单调区间，再结合已知求出参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为R，由是偶函数，得， 则，即，整理得，而不恒为0， 所以. 【小问2详解】 ， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调，则或，因此或； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调，则或，因此； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 显然，函数在上单调递增，因此， 所以实数的取值范围是或. 20. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． （1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 【答案】（1）（）；（2）当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元；当时，促销费用投入万元,厂家的利润最大，为万元. 【解析】 【分析】（1）根据产品的利润销售额产品的成本建立函数关系； （2）利用导数可求出该函数的最值． 【详解】（1）由题意知，， 将代入化简得：（）； （2）， （ⅰ）当时， ①当时，，所以函数在上单调递增， ②当时，，所以函数在上单调递减， 从而促销费用投入万元时，厂家的利润最大； （ⅱ）当时，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增，故当时，函数有最大值， 即促销费用投入万元时，厂家的利润最大. 综上，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为万元； 当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大，为万元. 【点睛】本题考查函数模型的选择与应用以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于综合题. 21. 若函数在区间上有最大值4和最小值1，设 （1）求的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）关于的方程有且仅有二个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质得最大值和最小值，从而求得； （2）化简不等式得，令，则，求得，求得在上的最大值即得； （3）方程变形为，令，得，由函数的性质得出方程的解的情况，然后由二次方程根的分布知识得结论． 【小问1详解】 ，对称轴，，在上单调递增， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知，化为， 即， 令，则，因为，所以， 问题化为， 记，因为，所以， 所以； 小问3详解】 原方程化为，, 令，时，是减函数，且，时，是增函数且，，则， 所以时，有两个实数解，时，无实数解． 原问题转化为（*）在上只有1个实根， 令，或， 时，方程（*）的解为，满足题意； 时，方程（*）的解为，满足题意， ，即或时，方程（*）有两个不等的实根，，不妨设， 则，， 当，即时，方程（*）的解为，，满足题意． 当即时，，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：本题考查二次函数的性质，考查不等式有解，方程根的分布问题，解题方法是换元法，利用换元法把指数不等式转化为二次不等式，再转化为求二次函数的最值，把指数型方程转化为二次方程，利用二次方程根的分布知识求解，本题属于难题，对学生的运算求解能力，逻辑思维能力要求较高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$