第二章 二次函数 单元试卷 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

第二章 二次函数 单元试卷 一、选择题 若关于 的函数 是二次函数，则 的取值范围是 A． B． C． D． 在同一坐标系中，作 ，， 的图象，则它们 A．都是关于 轴对称 B．顶点都在原点 C．都是抛物线开口向上 D．以上都不对 二次函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后，所得图象相应的函数表达式是 A． B． C． D． 在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象大致为 A． B． C． D． 抛物线 经过点 ，，且与 轴交于点 ，则当 时， 的值为 A． B． C． D． 如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式 的解集是 A． 或 B． 或 C． D． 如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母 为抛物线支架的最高点，灯罩 距离地面 ，最高点 距灯柱的水平距离为 ，灯柱 ，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离 为 A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 关于二次函数 有三个结论：①对任意实数 ，都有 与 对应的数值相等；②若 ，对应的 的整数值有 个，则 或 ；③若抛物线与 轴交于不同的两点 ，，且 ，则 或 ．其中正确的结论是 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 将二次函数 化成 的形式为 ． 已知二次函数的图象经过 ，，，则二次函数的解析式为 ． 若点 ， 是抛物线 上的两个点，则此抛物线的对称轴是 ． 如果抛物线 的顶点是它的最低点，那么 的取值范围是 ． 飞机着陆后滑行的距离 （单位：）关于滑行时间 （单位：）的函数解析式是 ．在飞机着陆滑行中，最后 滑行的距离是 ． 将抛物线 向上平移 个单位长度后，经过点 ，则 的值是 ． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ， 为抛物线的顶点，若直线 交直线 于点 ，且 为线段 的中点，则 的值为 ． 如图，抛物线 的对称轴是 ，且过点 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ （其中 为实数）；⑤ ．其中所有正确的结论是 （填写正确结论的序号）． 三、解答题 抛物线 与 轴的一个交点为 ，对称轴是直线 ． (1) 抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ； ， ． (2) 画出此二次函数的图象； (3) 利用图象回答：当 取何值时，？ 如图是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ． (1) 建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2) 如果水面上升 ，则水面宽度减少多少米？ 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 的左侧）． (1) 当 时，求 ， 两点的坐标． (2) 过点 作垂直于 轴的直线 ，交抛物线于点 ． ① 当 时，求 的值． ② 若点 在直线 左侧，且 ，结合函数的图象，直接写出 的取值范围． “疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每份臭豆腐的售价为 元时，每天能卖出 份；当每份臭豆腐的售价每增加 元时，每天就会少卖出 份，设每份臭豆腐的售价增加 元时，一天的营业额为 元． (1) 求 与 的函数关系式（不要求写出 的取值范围）； (2) 考虑到顾客可接受价格 元/份的范围是 ，且 为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大？最大营业额是多少元？ 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点， 轴交于 点，且 ． (1) 求抛物线的解析式及顶点 的坐标． (2) 判断 的形状，证明你的结论． (3) 点 是对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标及 的周长． 在平面直角坐标系 中，对于点 和 ，给出如下定义：若 ，则称点 为点 的“可控变点”． 例如：点 的“可控变点”为点 ，点 的“可控变点”为点 ． (1) 点 的“可控变点”坐标为 ． (2) 若点 在函数 的图象上，其“可控变点” 的纵坐标 是 ，求“可控变点” 的横坐标． (3) 若点 在函数 的图象上，其“可控变点” 的纵坐标 的取值范围是 ，直接写出实数 的值． 答案 一、选择题 1. B 2. A 3. A 4. B 5. A 6. D 7. A 8. D 二、填空题 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. ①②④ 三、解答题 17. (1) ；； (2) ， 顶点为 , (3) 由图象可知：当 或 时 ． 18. (1) 由题意知：抛物线的顶点坐标为 ， 设抛物线的解析式为 ， 点 在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为 ． (2) 当 时，， ，， 米， 即水面宽度减少 米． 19. (1) 当 时，有 ， 令 ，得 ， 解得 ，， 在 的左侧， ，． (2) ①当 时，有 ， 令 ，得 ， 解得 ，， 点 在点 的左侧， ，， ， 令 ，则 ， 点纵坐标为 ， ， ． ② 或 ． 20. (1) 由题意得：． (2) ，即 ， ， 函数的对称轴为：， ，函数有最大值， 当 时，函数随 的增大而增大，而 ， 故 时， 最大，此时， 最大值为：， 即每份 元时，营业额最大，最大营业额是 元． 21. (1) 点 在抛物线 上， ，解得 ， 抛物线的解析式为 ， 顶点 的坐标为 ． (2) 是直角三角形， 当 时，， ，则 ， 当 时， ，，则 ， ，， ， ， ， ， ， 是直角三角形． (3) 由题意 ， 两点关于对称轴对称， 故直线 与对称轴的交点即为点 ， 由 ，， 设直线 ，，， 直线 ， 当 时，， ， 最小周长是：． 22. (1) (2) 由题意，得 的图象上的点 的“可控变点”必在函数 图象上， “可控变点” 的纵坐标 是 ， 当 时，解得 ， 当 时，解得 ， (3) 学科网（北京）股份有限公司 $$