第19章矩形、菱形、正方形导学案2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

初二年级SX-8B-19—01 矩形的性质 【学习目标】 1．理解平行四边形、矩形的概念，以及它们之间的关系；探索并证明矩形的四个角都是直角，对角线相等； 2.培养数学核心素养：几何直观、推理能力、数据观念、模型观念. 【重点难点】 重点：矩形的性质难点：矩形与平行四边形的关系 【学法指导】：能用类比的方法学习矩形的性质 【知识链接】 复习：平行四边形的性质：边： 角： 对角线： 平行四边形的判定：边： 角： 对角线： 【学习过程】 问题一：相关定义 1.矩形定义：有一个角是的平行四边形是矩形。 记作（矩形无特殊符号表示） 2.矩性的性质一：矩形的四个角都是 3.矩性的性质二：矩形的对角线 补充：1.对称性：它既是图形，又是图形．矩形的面积是 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 问题二：预习 1.矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形周长的和是86cm，矩形的对角线长是13cm，那么该矩形的周长是多少？ 2.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC，垂足为点E，试求BE的长. 3.在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD＝15cm，求AC，AB的长. 问题三：矩形的性质应用 1.如图矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC、BD相交于点O，且BE∶ED＝1∶3，AD＝6cm，求AE的长． 2.如图，矩形ABCD中，DF平分∠ADC，交AC于E，交BC于F，若∠BDF＝15°， 求∠DOC，∠COF的度数． 【拓展提高】 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求PE＋PF 初二年级SX-8B-19—01 矩形的判定 【学习目标】： 1.探索并证明三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；2.培养数学核心素养：几何直观、推理能力、数据观念、模型观念. 【重点难点】:重点：矩形的判定．难点：矩形的判定及性质的综合应用． 【学法指导】:结合学习平行四边形的判定的方法，去学习和理解矩形的判定。 【知识链接】： 1.矩形的性质：边： 角： 对角线： 【学习过程】： 请同学们认真阅读理解教材第102——105页的内容，完成以下问题。 问题一：矩形的判定方法 1.矩形的定义：有一个角是 的 是矩形。 2.判定一：有 个角是 的四边形是矩形。 3.判定二：对角线 的 是矩形。 4.作一个对角线相等的平行四边形ABCD,AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形. 5.点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点,E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形 问题二： 1.四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的,M、N分别为BC、AD的中点.求证:四边形BMDN是矩形. 2.在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AG是△ABC的外角∠FAC的平分线,DE∥AB,交AG于点E.求证:四边形ADCE是矩形. 初二年级SX-8B-19—02 菱形的性质 【学习目标】1．理解平行四边形、菱形的概念，以及它们之间的关系；探索并证明菱形的四条边相等，对角线互相垂直； 2.培养数学核心素养：几何直观、推理能力、数据观念、模型观念. 【重点难点】 重点：菱形的判定和性质难点：判定和性质的应用 【学法指导】：用比较的方法学习菱形的性质，比较与平行四边形、矩形性质的异同 【知识链接】 1．复习： 平行四边形的性质 矩形的性质 边 角 对角线 对称性 【学习过程】 请同学们认真阅读理解教材第110——113页的内容完成以下问题。 问题一： 1.菱形的定义：有 相等的平行四边形是菱形．记作： 2.．菱形的性质: (1)菱形的对角 ，邻角 。 (2)菱形的四边 ． (3)菱形的对角线互相 ，且每一条对角线 (4)菱形既是 图形，又是 图形 ⑸观察右边两个图形， 得出菱形的面积＝ ；＝ 问题二： 1.在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B.试求出∠B的大小,并说明△ABC是等边三角形. 2.已知菱形ABCD的边长为2cm,∠BAD=120°,对角线AC、BD相交于点O.试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长.(结果保留根号) 3.菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE垂直且平分CD,垂足为点E.求∠BCD的大小. 初二年级SX-8B-19—02 菱形的判定 【学习目标】 1．探索并证明四边相等的四边形是菱形 ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 2.培养数学核心素养：几何直观、推理能力、数据观念、模型观念. 【重点难点】：重点：菱形的判定方法难点：定理的证明方法及运用。 【学法指导】： 【知识链接】： 1.矩形的判定：①____________________②_ ③__________________________________. 2.①菱形的定义：_______________________________________________________。 ②菱形是一个___________图形，也是一个___________图形 ③菱形的性质：两条对角线________________,四个边都是_____________，每条对角线______________。 【学习过程】 请同学们认真阅读理解教材第113——117页的内容完成以下问题。 问题一：菱形的判定 菱形的判定定理1　四条边 的四边形是菱形. 1.在矩形ABCD 中,点E、F、G、H 分别是四条边的中点,试问四边形EFGH 是什么图形?并说明理由. 问题二：菱形的判定 菱形的判定定理2　对角线 的平行四边形 1.在▱ABCD 中,对角线AC、BD 互相垂直,只需证明有一组邻边相等,即可得到▱ABCD 是菱形. 2.已知矩形ABCD 的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC 分别交于点E、F. 求证:四边形AFCE 是菱形. 问题三：菱形判定的运用 1.在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点。求证：四边形ADEF是菱形。 2.平行四边形ABCD对角线交于点O，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，OH⊥DA于点H，且OE=OF=OG=OH,证明四边形ABCD是菱形。 初二年级SX-8B-19—03 正方形 【学习目标】 1.理解平行四边形、正方形的概念，以及它们之间的关系；正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系； 2.培养数学核心素养：几何直观、推理能力、数据观念、模型观念. 【重点难点】：重点：正方形的判定方法难点：正方形判定方法的应用． 【学习过程】： 请同学们认真阅读理解教材第119——120页的内容完成以下问题。 问题一：正方形的性质与判定 1、在下图箭头上写出各加什么条件可以得到下个图形，并猜想正方形的判定 2、正方形是一个_____图形，也是一个_______图形，具有如下的性质： （1）四条边都_____；（2）四个角都是_____．(3)对角线_______________. 3、（1）有一个角是 的菱形是正方形。（2）有一组邻边 的 是正方形。 问题二：应用 1、如图，正方形ABCD对角线交于O点，点O是正方形A´B´C´O的一个顶点，两个正方形的边长都为2，那么正方形A´B´C´O绕点O无论怎样转动时，图中两个正方形重叠部分的面积为_______________. 2、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF，给出五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC.其中正确结 论的番号是_____________. 3、如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一个动点，PE⊥MC,PF⊥BM,垂足分别为点E、F.(1)当四边形PEMF是矩形时，矩形ABCD的长和宽满足什么条件？（2）在（1）的条件下，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形？为什么？ 补充练习： 1、如图，分别在正方形ABCD的AB、BC边上取E、F两点，使EF=AE+FC，DG⊥EF于G.求证：DG=DA. 2、在△ABC中，∠BAC=45º，AD⊥BC，将△ABD沿AB所在的直线翻折，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线翻折，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M。判断四边形AEMF的形状，并给予证明。 3、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形。（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形。 4、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH. （1） 如图①，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图 （2） ②，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）； （3） 如图③，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α(0º＜α＜90º), ①试用含α的代数式表示∠HAE； ②求证HE=HG； ③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由 46 学科网（北京）股份有限公司 $$