福建省2024年中考数学1教材梳理篇第五章三角形课后练本课件

第五章　三角形 第23课时　 全等三角形 教材梳理篇 Ⅱ基础题 1.【2023长春】如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'，BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是（　A　） A A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D.两点之间线段最短 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.【2023长春】如图，用直尺和圆规作∠MAN的平分线，下列结论不一定正确的是（　B　） A.AD＝AE B.AD＝DF C.DF＝EF D.AF⊥DE B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.【2023凉山州】如图，在△ABF和△DCE中，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，下列条件中，添加后仍无法证明△ABF≌△DCE的是（　D　） A.∠AFB＝∠DEC B.AB＝DC C.∠A＝∠D D.AF＝DE D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.【2023台州】如图，锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中，假命题是（　A　） A.若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B.若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE C.若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D.若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.【2023成都】如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC＝8，CE＝5，则CF的长为_____ ⁠. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.【2023台州】如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为________ . 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.【2023云南】如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC.求证：△ABC≌△EDC. 证明：∵C是BD的中点，∴BC＝DC. 在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（SSS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.【2023宜宾】如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC.求证：∠B＝∠E. 证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D. ∵AF＝DC，∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF. 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.【2023聊城节选】如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.求证：∠EAD＝∠EDA. 证明：∵∠B＝∠AED， ∴∠BEA＋∠BAE＝∠BEA＋∠CED， 即∠BAE＝∠CED. 在△BAE和△CED中， ∴△BAE≌△CED（AAS），∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ⅱ综合应用创新题 10.【2023济宁】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D，E均在小正方形的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　C　） A.180°－α B.180°－2α C.90°＋α D.90°＋2α C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.【中考趋势题】【学科素养·推理能力】 【综合与实践】 （1）发现问题：如图①，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系为_____________ ，∠BDC＝________°； BE＝CF 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）类比探究：如图②，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）BE＝CF，∠BDC＝60°.理由： ∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC， 即∠BAE＝∠CAF，又∵AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF，∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC. ∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°， ∴∠BDC＝∠BEF－∠EFD＝∠AEB＋30°－（∠AFC－30°）＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3）拓展延伸：如图③，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M，则BF，CF，AM之间的数量关系为____________________ . BF＝CF＋2AM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第五章　三角形 第19课时　 几何的初步认识、相交与平行 教材梳理篇 Ⅱ基础题 1.【2023兰州】如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（　B　） A.40° B.50° C.55° D.60° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.【2023河北】淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（　D　） A.南偏西70°方向 B.南偏东20°方向 C.北偏西20°方向 D.北偏东70°方向 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，则下列式子不正确的是（　D　） A.CD＝AC－DB B.CD＝AD－BC C.CD＝AB－BD D.CD＝AB D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.如图，斑马线的作用是为了引导行人安全通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　A　） A.垂线段最短 B.两点确定一条直线 C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.【跨学科·物理】【2023凉山州】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3＋∠4＝（　C　） A.165° B.155° C.105° D.90° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.【2023张家界】如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（　A　） A.70° B.50° C.40° D.140° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.【2023北京】如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（　C　） A.36° B.44° C.54° D.63° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.【2023绥化改编】将一副三角板按如图方式摆放在一组平行线内，∠1＝25°，则∠2的度数为（　C　） A.55° B.65° C.70° D.75° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.【考法新】【2023苏州】如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　B　） A.连接AB，则AB∥PQ B.连接BC，则BC∥PQ C.连接BD，则BD⊥PQ D.连接AD，则AD⊥PQ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.【2023临沂改编】在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是（　C　） A.相交 B.垂直 C.平行 D.不能确定 方法指导：根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.命题“若a2＞b2，则a＞b”的逆命题是_____（填“真”或“假”）命题. 假 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.命题：“三角形中最多有两个角大于60度”，用反证法证明时第一步需要假设____________________________. 三角形的三个内角都大于60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.【2023烟台】一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为________ . 78° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.如图，已知AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°. （1）求证：AB∥CD； （1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥FG，∴∠2＝∠A. ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A，∴AB∥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）求∠C的度数. （2）解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠3， ∵∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°，∠C＋∠D＋∠CBD＝180°， ∴∠C＋∠C＋60°＋70°＝180°，∴∠C＝25°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.如图，已知AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°. Ⅱ综合应用创新题 15.如图，结合图形作出了如下判断或推理： ①如图甲，如果CD⊥AB，D为垂足，那么点C到AB的距离等于CD的长度；②如图乙，如果AB∥CD，那么∠B＝∠D；③如图丙，如果∠ACD＝∠CAB，AD＝BC，那么∠B＝∠D；④如图丁，如果∠1＝∠2，∠D＝120°，那么∠BCD＝60°.其中正确的有（　B　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.如图，若AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（　D　） A.∠α＋∠β＋∠γ＝180° B.∠α＋∠β－∠γ＝360° C.∠α－∠β＋∠γ＝180° D.∠α＋∠β－∠γ＝180° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 点拨：如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴EF∥CD. ∵EF∥AB，∴∠α＋∠AEF＝180°. ∵EF∥CD，∴∠γ＝∠DEF， ∴∠AEF＝∠β－∠DEF＝∠β－∠γ， ∴∠α＋∠β－∠γ＝180°.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.【学科素养·几何直观】已知，如图，AB∥CD，直线a分别交AB，CD于点E，F，点M在线段EF上，P是直线CD上的一点. （1）当点P在射线FC上移动时，∠FMP，∠FPM和∠AEF之间的数量关系是___________________________ ； （2）当点P在射线FD上移动时，∠FMP，∠FPM和∠AEF之间的数量关系是_________________________________ . ∠FMP＋∠FPM＝∠AEF ∠FMP＋∠FPM＋∠AEF＝180° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $$第五章　三角形 第25课时　 锐角三角函数与解直角三角形 教材梳理篇 Ⅱ基础题 1.【2023天津】 sin 45°＋的值等于（　B　） A.1 B. C. D.2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.【2022玉林】如图，从热气球A处看一栋楼底部C的俯角是（　D　） A.∠BAD B.∠ACB C.∠BAC D.∠DAC D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.【2023漳州月考】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（　D　） A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.【2022陕西】如图，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为（　D　） A.3 B.3 C.3 D.6 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.【跨学科·物理】爬坡时坡角为α，每爬1 m耗能（1.025－cos α）J，若某人爬了1 000 m，该坡角为30°（如图），则他耗能约（参考数据：≈1.732，≈1.414）（　B　） A.448 J B.159 J C.318 J D.525 J B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝____ . ⁠​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知某斜坡AB的坡度i＝∶1，则斜坡AB的坡角α的大小为_________. 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.【考法新】【2023荆州】如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝2，P为∠AOB内一点.根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为_____⁠. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.【2023广西】如图，焊接一个钢架，它包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约_____ m（结果取整数，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.【2023广东】 如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°. （1）实践与操作：用尺规作图法，过点D作AB边上的高DE（保留作图痕迹，不要求写作法）； 解：（1）如图，DE即为所求作的高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长. 解：（2）∵DE是AB边上的高， ∴cos∠DAB＝，即＝cos 30°＝，∴AE＝2.∵AB＝6，∴BE＝AB－AE＝6－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.【2023广东】 如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°. 11.【2023通辽】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处.B处距离灯塔P有多远？（结果取整数，参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 40°≈0.64） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：过点P作PC⊥AB于点C， 根据题意，得∠A＝72°，∠B＝40°，AP＝100 n mile. 在Rt△APC中，sin A＝， ∴PC＝AP·sin 72°≈100×0.95＝95（n mile）. 在Rt△BPC中，sin B＝， ∴PB＝≈≈148（n mile）. 答：B处距离灯塔P大约148 n mile远. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Ⅱ综合应用创新题 12.【2022湖北】由4个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O＝60°，则tan∠ABC＝（　C　） A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.【2022随州】如图，已知点B，D，C在同一水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，若CD＝a，则建筑物AB的高度为（　D　） A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 点拨：设AB＝x.在Rt△ABD中，tan β＝＝， ∴BD＝，∴BC＝CD＋BD＝a＋.在Rt△ABC中，tan α＝＝，∴x＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.【情境新】【立德树人·热爱传统文化】如图，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处.已知杠杆AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当∠AOM＝45°时，点B到水平地面EF的距离为多少米？（结果保留根号） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：如图，过点B作BD⊥EF于点D，过点A作AC⊥BD交BD于点C，交OM于点N，∴易得四边形MDCN为矩形， （第14题） ∴MN＝CD，MN∥CD，∴∠ABC＝∠AOM＝45°. ∵AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，∴AO＝AB＝4米. 在Rt△ANO中，AO＝4米，∠AON＝45°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴ON＝OA·cos 45°＝4×＝2（米）， ∴CD＝MN＝OM－ON＝（3－2）米. 在Rt△ACB中，AB＝6米，∠ABC＝45°， ∴BC＝AB·cos 45°＝6×＝3（米）， ∴BD＝BC＋CD＝3＋3－2＝3＋（米）. 答：点B到水平地面EF的距离为（3＋）米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第五章　三角形 第24课时　 相　似 教材梳理篇 Ⅱ基础题 1.下列四组线段中，是成比例线段的是（　C　） A.1，2，3，4 B.3，4，5，6 C.，，2， D.1.1，2.2，3.3，4.4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.若＝≠0，则的值为（　C　） A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.【2023重庆A卷】若两个相似三角形周长的比为1∶4，则这两个三角形对应边的比是（　B　） A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.【2023南充】如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为（　B　） A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.【2023嘉兴】如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作△ABC的位似图形△A'B'C'，位似比为1∶2，则顶点C'的坐标是（　C　） A.（2，4） B.（4，2） C.（6，4） D.（5，4） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.【2023泉州期末】如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C'，则以下说法中错误的是（　C　） A.AB∥A'B' B.△ABC∽△A'B'C' C.AO∶AA'＝1∶2 D.点C，O，C'在同一直线上 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.【2023北京】如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为_______ ⁠. ⁠​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE，交于点F.若＝，则＝_______ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.【2023湘潭】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高. （1）求证：△ABD∽△CBA； （1）证明：∵AD是斜边BC上的高， ∴∠ADB＝90°，∴∠BAC＝∠ADB. 又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长. （2）解：∵△ABD∽△CBA，∴＝. 又∵AB＝6，BC＝10，∴＝，∴BD＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.【2023湘潭】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高. 10.【2023眉山】如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F. （1）求证：AF＝AB； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠EAF＝∠D. ∵E是AD的中点，∴AE＝DE. ∵∠AEF＝∠CED，∴△AEF≌△DEC， ∴AF＝CD，∴AF＝AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.【2023眉山】如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F. （2）解：由（1）得DC＝AF＝FG＋GA＝8，DC∥FA， ∴∠DCF＝∠F，∠DCG＝∠CGB.∵∠FCG＝∠FCD，∴∠F＝∠FCG， ∴GC＝GF＝6.∵DC∥FA，∴△AGH∽△DCH，∴＝. 设HG＝x，则CH＝CG－GH＝6－x， ∴＝，解得x＝，即GH的长为. Ⅱ综合应用创新题 11.【2023徐州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点.若点E在边AC上，且＝，则AE的长为（　D　） A.1 B.2 C.1或 D.1或2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 思路点睛：本题需分情况进行讨论：①DE与BC平行；②DE与BC不平行. 12.【2023常德】如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图②的位置，则图②中的值为_______ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.【2023广东】把边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则阴影部分的面积为_____ . 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.【学科素养·应用意识】【2022孝感改编】 问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并说明了关于三角形角平分线的一个结论.如图①，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝.小慧的证明思路是：如图②，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝. 尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：＝； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （1）证明：∵CE∥AB，∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB， ∴△CED∽△BAD，∴＝. ∵AD平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAD， ∴∠E＝∠CAD，∴CE＝CA，∴＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 应用拓展： （2）如图③，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点.连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处. ①若AC＝1，AB＝2，求DE的长； ②若BC＝m，∠AED＝α，则DE的长为________ ⁠（用含m，α的式子表示）. ⁠​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）解：①由折叠可得∠CAD＝∠BAD，CD＝DE. ∴＝，∴＝，∴BD＝2CD. ∵∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝， ∴BD＋CD＝，∴3CD＝，∴CD＝，∴DE＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第五章　三角形 第20课时　 三角形、多边形 教材梳理篇 Ⅱ基础题 1.下列图形具有稳定性的是（　A　） A B C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有（　B　） A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　D　） A.6 B.7 C.8 D.9 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（　D　） A.AM＞AN B.AM≥AN C.AM＜AN D.AM≤AN D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.若实数m，n满足等式｜m－2｜＋＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　B　） A.12 B.10 C.8 D.6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.【2023泉州模拟4分】两个三角板如图放置，则∠AOD的度数为（　C　） A.75° B.100° C.105° D.120° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.【2023深圳改编】如图①是商场某品牌椅子，其侧面示意图如图②，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝（　A　） A.70° B.65° C.60° D.50° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°.DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（　C　） A.50° B.55° C.60° D.65° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9.在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝______ . 100° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10.如图，在△ABC中，∠C＝40°，CA＝CB，则△ABC的外角∠ABD＝______ ⁠°. 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11.一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________⁠. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝_________. 72° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.如图，点D，E，F，G均在△ABC边上，连接BD，DE，FG，∠3＝∠CBA，FG∥BD. （1）求证：∠1＋∠2＝180°； 解：（1）∵∠3＝∠CBA，∴DE∥AB，∴∠2＝∠DBA. ∵FG∥BD，∴∠DBA＋∠1＝180°，∴∠1＋∠2＝180°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）若BD平分∠CBA，DE平分∠BDC，∠A＝35°，求∠C的度数. 解：（2）∵DE∥AB，∠A＝35°，∴∠EDC＝∠A＝35°. ∵DE平分∠BDC，∴∠2＝∠EDC＝35°. ∵∠2＝∠DBA，∴∠DBA＝35°. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBA＝70°. ∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，∴∠C＝180°－∠A－∠ABC＝75°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.如图，点D，E，F，G均在△ABC边上，连接BD，DE，FG，∠3＝∠CBA，FG∥BD. Ⅱ综合应用创新题 14.【考法新】如图是一个三棱柱和它的侧面展开图，若AD＝16，HD＝4，则AE的长度可能是（　C　） A.2 B.4 C.6 D.9 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.如图，在△ABC中，D是BC的中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB＝3，AC＝5，则DE＝______ ⁠. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°. 在△AEB和△AEF中， ∴△AEB≌△AEF（ASA），∴AF＝AB＝3，BE＝EF， ∴FC＝AC－AF＝5－3＝2. ∵D是BC的中点，BE＝EF，∴DE＝FC＝1. 点拨：延长BE交AC于F， ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16.【学科素养·推理能力】假如一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 　180°或360°或540°⁠. 思路点睛：本题分3种情况讨论，如图. （第16题） 180°或360°或540° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17.【考法新】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点.请仅用无刻度的直尺分别按下列规定画图（仅保留画图痕迹）. （1）在图①中，画出△ABD的BD边上的中线； 解：（1）如图①，线段AF即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）在图②中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高. 解：（2）如图②，线段BG即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17.【考法新】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点.请仅用无刻度的直尺分别按下列规定画图（仅保留画图痕迹）. 18.【2022遂宁改编】如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上.若正方形BMGH的边长为6，求正六边形ABCDEF的边长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝AF，∠BAF＝＝120°， ∴∠HAF＝180°－∠BAF＝180°－120°＝60°. ∵四边形BMGH是正方形，∴∠H＝90°， ∴∠AFH＝180°－∠H－∠HAF＝180°－90°－60°＝30°， ∴AH＝AF.设AB＝AF＝x， ∵正方形BMGH的边长为6，∴AH＝6－x， ∴6－x＝x，解得x＝4. 故正六边形ABCDEF的边长为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $$第五章　三角形 第21课时　 等腰三角形 教材梳理篇 Ⅱ基础题 1.等腰三角形的对称轴是（　D　） A.顶角的平分线 B.底边上的高 C.底边上的中线 D.底边上的高所在的直线 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.等腰三角形的两条边长分别为4 cm和9 cm，则该三角形的周长是（　B　） A.17 cm B.22 cm C.17 cm或22 cm D.18 cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（　C　） A.8 B.6 C.5 D.4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（　A　） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　C　） A.50° B. 80° C. 50°或 80° D.50°或 65° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB＝OC；②∠EBO＝∠DCO；③∠BEO＝∠CDO；④BE＝CD.选择其中两个作为已知条件，可以判定△ABC是等腰三角形的组合有（　C　） A.2种 B.3种 C.4种 D.6种 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.【2023重庆B卷】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为_____⁠. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F，则∠BFD的度数为______ . 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.【2023苏州改编】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数. 解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，AB＝AC， ∴∠EAD＝40°，AD⊥BC.由题意可得AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED＝（180°－∠EAD）＝70°. ∴∠BDE＝90°－70°＝20°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.【2023武汉改编】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.若∠E＝60°，CE平分∠BCD，试探究△BCE的形状，并证明. 解：△BCE是等边三角形.证明： ∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B.∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D， ∴BE∥CD，∴∠ECD＝∠E＝60°. ∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD＝60°， ∴△BCE是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Ⅱ综合应用创新题 11.【2023三明模拟4分】如图，点B为线段AQ上的动点，AQ＝8，以AB为边作等边三角形ABC，以BC为底边作等腰三角形PCB，则PQ的最小值为（　B　） A.3 B.4 C.5 D.6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 思路点睛：连接AP，先证明△ABP≌△ACP（SSS），从而得出∠CAP＝∠BAP＝30°，从而知道点P在∠CAB的平分线上运动，再利用垂线段最短即可解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，有下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD＋CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF. 其中一定正确的有（　A　） A.①②③ B.①②③④ C.①② D.① A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.【学科素养·推理能力】等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为65°，则这个等腰三角形的顶角的度数为___________ . 思路点睛：分情况讨论：①等腰三角形为锐角三角形；②等腰三角形为钝角三角形. 25°或155° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.【考法新】请你将如图所示的三角形剪一刀变成两个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：如图，分别沿AB，CD，EF，GH，MN剪开即可. 点拨：①③④剪法不唯一. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.在平面直角坐标系中，已知A（2，－2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，求点P的坐标. 解：由题意得OA＝2. 若点A为顶角的顶点，则易得点P的坐标为（0，－4）； 若点O为顶角的顶点，则OP＝OA＝2， ∴点P的坐标为（0，2）或（0，－2）； 若点P为顶角的顶点，则易得点P的坐标为（0，－2）. 综上，点P的坐标为（0，－4），（0，2）， （0，－2）或（0，－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第五章　三角形 第22课时　 直角三角形 教材梳理篇 Ⅱ基础题 1.【2023孝感】如图，直角三角形ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（　C　） A.55° B.45° C.35° D.25° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　D　） A.1 cm，3 cm，3 cm B.2 cm，3 cm，4 cm C.4 cm，6 cm，8 cm D.5 cm，12 cm，13 cm D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.【情境新】【2023贵州】5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是（　B　） A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.【2023株洲】一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则CD＝（　B　） A.3.5 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　D　） A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.若直角三角形的两条直角边长分别为3 cm，4 cm，则斜边上的高为（　D　） A. cm B. cm C.5 cm D. cm D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　C　） A.90° B.60° C.45° D.30° 思路点睛：连接AC，得等腰直角三角形ABC，从而得解. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.【2023北京】如图，点A，B，C在同一直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE，设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论： ①a＋b＜c；②a＋b＞； ③（a＋b）＞c. 其中所有正确结论的序号是（　D　） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.如图，Rt△ABC中，两直角边AC＝5，BC＝12，D是BC上一点，AD是∠BAC的平分线，则CD的长为（　A　） A. B. C. D.3 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.【立德树人·热爱传统文化】【2023扬州】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为______ . 96 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.如图，在△ABC 中，已知AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17. （1）求DC的长； 解：（1）∵AB＝10，BD＝6，AD＝8，∴AB2＝BD2＋AD2， ∴△ADB是直角三角形，且∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝90°，∴DC＝＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）判断△ABC是否是直角三角形. 解：（2）∵BD＝6，DC＝15，∴BC＝21. ∵AB2＋AC2＝100＋289＝389，BC2＝441， ∴AB2＋AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.如图，在△ABC 中，已知AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17. Ⅱ综合应用创新题 12.某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上移植某种草皮来美化环境，已知这种草皮每平方米的售价为a元，则购买这种草皮至少需要（　C　） A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.如图所示的圆柱体的底面圆半径是，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是______（结果保留根号）. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是________ . 1＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法指导：取AB的中点D，连接OD，CD，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出CD＝，再根据直角三角形的性质得到OD＝AB＝1，然后由OC≤OD＋CD可得当O，C，D三点共线时，OC取最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.【学科素养·推理能力】一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任意一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，求CD的长. 解：①如图①，当∠DEB＝90°时，由题意得△ACD≌△AED，∴AE＝AC＝6，CD＝DE，∴BE＝10－6＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （第15题） ∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，∴BC＝＝8. 设CD＝DE＝x，则BD＝8－x. 在Rt△BDE中，DE2＋BE2＝BD2， ∴x2＋42＝（8－x）2，解得x＝3，∴CD＝3； ②如图②，当∠BDE＝90°时，易得四边形CDEF是正方形， ∴EF∥CD，∴∠AFE＝∠ACB＝90°＝∠EDB，∠AEF＝∠B， ∴△AEF∽△EBD，∴＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设CD＝y，则EF＝CF＝DE＝y，BD＝8－y， ∴AF＝6－y，∴＝，解得y＝，∴CD＝. 综上所述，CD的长为3或. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$