精品解析：湖北省随州市部分高中2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题

湖北省随州市部分高中2025年元月期末联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点到平面的距离是，由，可得，即可得出． 【详解】如图所示，是边长为的等边三角形， ， 设点到平面的距离是， 由，可得， ， 解得． 故选：． 【点睛】本题考查了正方体的性质、等边三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式、“等积变换”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2. 如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间距离的向量求法，建立坐标系写出向量代入公式计算可得结果. 【详解】如图，以为坐标原点，射线分别为x轴、y轴、z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系， 则， 故， 故点到直线的距离为. 故选：A. 3. 如图，在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，，F是MC的中点，则异面直线MB与AF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过几何法找到异面直线所成角的平面角，结合余弦定理可以求出. 【详解】设E为BC的中点，连接FE，AE，如图， 因为平面，平面， 所以，， 所以， ， 因为E是BC的中点，F是MC的中点， 所以，，， 则异面直线MB与AF所成角为或其补角， 而在正三角形中，， 所以在中，由余弦定理可知. 所以异面直线BE与AF所成角的余弦值为. 故选：D. 4. 在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量求法求出的值，再求异面直线所成角即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，解得， 所以直线与侧面所成的角的正弦值， 解得， 所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成的角的正弦值为. 故选：D 5. 已知过点的直线与轴、轴分别交于两点.若为线段的中点，则这条直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设所求直线方程为，分别求出与轴、轴的交点，，利用中点坐标公式求出直线的斜率，进而可得直线的方程． 【详解】设所求直线的方程为．令，得， 所以点坐标为， 又因为为线段的中点，点纵坐标为0， 所以根据中点坐标公式得，解得， 所求直线的方程为． 故选：C 6. 等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】等轴双曲线满足，利用与求出，结合双曲线焦点在y轴上，从而得到答案. 【详解】等轴双曲线焦点为的一个焦点是，故焦点在轴上，且，根据得：，故双曲线标准方程为 故选：C 7. 已知直线过双曲线的左焦点，且与交于，两点，当时，这样的直线有（ ）条． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对直线与轴是否垂直、与双曲线左右支的交点情况分类讨论，即可判断出结论． 【详解】由双曲线，可得左焦点，顶点， 若轴，则，不符合题意，舍去； 若与轴不垂直，与的左支交于，两点，则，存在两条直线； 若与轴不垂直，与的左、右支各交于一个点，则只有，为顶点时满足，存在一条直线． 综上可得：满足条件的直线有3条， 故选：C． 8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（ ） A. 9 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由定义法求抛物线的焦点弦长即可得解. 【详解】由题意抛物线的准线为， 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果， 所以. 故答案为：D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 【详解】由图像可知， 则， 故选：AD. 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 11. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求圆与坐标轴的交点坐标，再分情况，求椭圆的离心率的取值. 【详解】，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点为， 而椭圆的焦点在轴， 当焦点是，右顶点，此时，离心率， 当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率， 当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 若三点共线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由三点共线转换为向量共线来做，根据向量共线定理列出方程即可得解. 【详解】，且三点共线， 存在实数，使得． 即， 解得 故答案为：. 13. 已知圆C的半径为，其圆心C在直线上，圆C上的动点P到直线的距离的最大值为4，则圆C的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】易得直线过定点，将圆C上的动点P到直线的距离的最大值，转化为圆心C到直线的距离的最大值，进而转化为圆心C到点A的距离求解. 【详解】解：可化为， 所以直线过定点 因为圆C上的动点P到直线的距离的最大值为4， 所以圆心C到直线的距离的最大值为. 又圆心C在直线上，所以可设. 如图： 易知直线CA与直线垂直时， 圆心C到直线的距离最大， 最大值为圆心到点A的距离， 即，解得， 故圆心，故圆C的标准方程. 故答案为： 14. 已知方程表示双曲线，则m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义即可得到结果. 【详解】因为该方程表示双曲线，所以，即或，即m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共75分 15. 如图，在长方体中，，为的中点. （1）求证：. （2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，证明即可； （2）设，求出平面的一个法向量，满足即可求出，即可得出. 【详解】（1）证明：以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）. 设，则，，，，， 故，，，. 因为，所以. （2）假设在棱上存在一点，使得平面，此时. 又设平面的法向量， 所以，得，取，得平面的一个法向量. 要使平面，只要，有，解得. 又平面，所以存在点，满足平面，此时. 【点睛】利用向量解决位置关系的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 16. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值. 【小问1详解】 连接， 因为底面是边长为2的正方形，所以， 又因为，， 所以，所以， 点为线段中点，所以， 在中，，， 所以， 则， 又，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示， 则， 则， ， 设面的法向量为，面的法向量为， 则，取，则 取，则. 设二面角大小为， 则， 所以二面角的正弦值为. 【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设得，，，， ，， ，，． 设是平面的法向量， 则，即，可取． 设是平面的法向量， 则，即，可取． 所以． 因此二面角正弦值为． 17. 已知直线，点.求: （1）点A关于直线l的对称点的坐标; （2）直线关于直线l的对称直线m'的方程; （3）直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】（1）. （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【小问1详解】 设，由已知条件得，解得所以. 【小问2详解】 在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. 【小问3详解】 设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 18. 已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． 【答案】(1) ；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. 椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即. 再结合韦达定理即可得的值. 试题解析：（1）由已知得：，，所以 又由，解得，所以椭圆的标准方程为：. （2）椭圆方程化为. 设T点的坐标为，则直线TF的斜率. 当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是 当时，直线PQ的方程是，也符合的形式. 将代入椭圆方程得：. 其判别式. 设， 则. 因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即. 所以，解得. 此时四边形OPTQ的面积 . 【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积. 19. 已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程； （Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) ，； (Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； (Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：， 故抛物线方程为：，其准线方程为：. (Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为， 设直线方程为，与抛物线方程联立可得：. 故： 设，则， 直线的方程为，与联立可得：，同理可得， 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：， 且：，， 则圆的方程为：， 令整理可得：，解得：， 即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省随州市部分高中2025年元月期末联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4 3. 如图，在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，，F是MC的中点，则异面直线MB与AF所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 4. 在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知过点的直线与轴、轴分别交于两点.若为线段的中点，则这条直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 等轴双曲线一个焦点是，则其标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线过双曲线的左焦点，且与交于，两点，当时，这样的直线有（ ）条． A 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则（ ） A 9 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 11. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 若三点共线，则______． 13. 已知圆C的半径为，其圆心C在直线上，圆C上的动点P到直线的距离的最大值为4，则圆C的标准方程为______. 14. 已知方程表示双曲线，则m的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共75分 15. 如图，在长方体中，，为的中点. （1）求证： （2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 16. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 已知直线，点.求: （1）点A关于直线l的对称点的坐标; （2）直线关于直线l的对称直线m'的方程; （3）直线l关于点对称的直线l'的方程. 18. 已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． 19. 已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程； （Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$