5.7二次函数的应用同步练习2024-2025学年 青岛版数学九年级下册

5.7二次函数的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是（　　） A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2 C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x） 2．如图为某菜农搭建的一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，某菜农身高1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚内左右活动的范围是(   ) A．米 B．米 C．1.6米 D．0.8米 3．已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣2a﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交负半轴于点C，△ABC的面积为15，则该抛物线的对称轴为（    ） A．直线x＝2 B．直线x＝﹣ C．直线x＝ D．直线x＝ 4．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（    ） A．5元 B．10元 C．15元 D．20元 5．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（元）（　　） A．3元 B．4元 C．5元 D．8元 6．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点离墙1米，离地面3米，则水流下落点离墙的距离是(   )    A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米 7．如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（   ） A． B． C． D． 8．在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=，由此可知该生此次实心球训练的成绩为(   ) A．6米 B．10米 C．12米 D．15米 9．某种商品的成本是元，试销阶段每件商品的售价（元）与产品的销售量（件）满足当时，，当时，，且是的一次函数，为了获得最大利润（元），每件产品的销售价应定为（ ） A．160元 B．180元 C．140元 D．200元 10．如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（  ） A． B． C． D． 11．抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为 （ ） A． B． C． D． 12．已知抛物线与直线有且只有一个交点，若c为整数，则c的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球.则第二个小球抛出 秒时，两个小球在空中的高度相同. 14．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为 ． 15．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间t（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了 ． 16．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元．当一个旅行团的人数是 人时，这个旅行社可以获得最大的营业额． 17．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长（单位：）与面积（单位：满足函数解析式，则矩形的面积的最大值为 ． 三、解答题 18．如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在x轴上，且，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度，现计划将此余料进行切割． (1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的面积； (2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长． 19．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标； （3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标． 20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）． （1）用含a的式子表示b； （2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）； （3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围． 21．某玩具厂计划生产一种玩具，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产只玩具的成本为（元），售价每只为（元），且、与的关系式分别为，． (1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元? (2)当日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少? 22．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？ 23．如图，抛物线（、、为常数，）经过点，，. （1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线下方的抛物线上是否存在点使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出为等腰三角形的点共有几个？并求以为底边时，点的坐标. 24．某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m＝140﹣2x． （1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式； （2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《5.7二次函数的应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A B B B B A A 题号 11 12 答案 C D 1．B 【分析】月平均增长率为x，可求三月份销售量5000（1+x）2，该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是：y＝5000（1+x）2． 【详解】解：月平均增长率为x， 二月份销售量＝5000+5000x=5000(1+x), 三月份销售量5000(1+x)+ 5000(1+x)x=5000（1+x）2， 该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是：y＝5000（1+x）2． 故选择：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握增长率问题中增加量=平均增长率×原销售量，抓住公式列函数式是解题关键． 2．B 【详解】解：如图，设抛物线的解析式为y=a（x-2.5）2+2， 由待定系数法求出抛物线的解析式y=- （x-2.5）2+2， 将y=1.6时代入解析式得- （x-2.5）2+2=1.6， 解得，， 他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是：x1-x2=． 故选B. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，由解析式根据函数值求自变量的值的运用，解答时正确理解方程与函数关系求函数解析式是关键． 3．A 【分析】先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，根据a的取值范围求出AB，OC，根据三角形的面积求出a的值，再求出对称轴即可． 【详解】解∶令y=0，则x2﹣2ax﹣2a﹣1=0，即， 解得， ∴A（-1，0）B（2a+1，0） 令x=0，y=-2a-1， ∴C（0，-2a-1） ∵点C与y轴交于负半轴， ∴-2a-1＜0 ∴a＞， ∴AB=2a+1-(-1)=2a+2， OC=2a+1， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴对称轴为， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，三角形的面积，关键是求出抛物线与坐标轴的交点坐标． 4．A 【分析】设应降价x元，表示出利润的关系式为（20+x）（100-x-70）=-x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可． 【详解】解：设应降价x元， 则(20+x)(100﹣x﹣70)＝﹣x2+10x+600＝﹣(x﹣5)2+625， ∵﹣1＜0 ∴当x＝5元时，二次函数有最大值． ∴为了获得最大利润，则应降价5元． 故选A． 【点睛】应识记有关利润的公式：利润=销售价-成本价．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 5．B 【分析】设每件降价元，每天获得的利润为元，根据销售问题的数量关系表示出与之间的关系式，转化为顶点式即可． 【详解】解：设每件降价元，每天获得的利润为元， 则 ． ， 时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了利润问题的数量关系的运用，二次函数的运用，二次函数的性质的运用，解题的关键是求出二次函数的解析式． 6．B 【分析】由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值． 【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3， 把A（0，2.25）代入，得 2.25=a+3， a=-0.75． ∴抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3． 当y=0时， 0=-0.75（x-1）2+3， 解得：x1=-1（舍去），x2=3． OB=3米． 故选：B． 【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式． 7．B 【分析】根据题意，得出，，在中，根据面积公式得到的面积与点P的运动时间之间的函数关系，利用顶点式得出当时，有最大值为，从而求出运动时间是，求出，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设运动时间，，则，， 在中，，，，则， 当时，有最大值为， 解得，即， 根据的面积与点P的运动时间之间的函数关系可知， 抛物线与轴交于和两点，即运动时间是， ， 在中，，， 根据勾股定理可得， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题，涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点，看懂题意，将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键． 8．B 【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题理解为当y=0时，求x的值即可； 【详解】铅球落地时高度为0，即当y=0时， =0， 解得x1=10，x2=-2（舍去）， 所以该生此次实心球训练的成绩为10米， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中，函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 9．A 【分析】把x=130时，y=70，当x=150时，y=50，代入一函数解析式y=kx+b，进而得出y与x的关系式；利用利润=销量×每件利润，进而利用配方法求出函数最值． 【详解】设y=kx+b,将(130,70),(150,50)代入得： 即， 解得：， ∴y与x之间的一次函数关系式为：y=−x+200； 销售利润为S，由题意得： S=(x−120)y=−+320x−24000=−+1600， ∴售价为160元/件时，获最大利润1600元. 故选A. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，利用配方法求出函数最值是解题关键. 10．A 【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得 【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=, B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为 y=(4－x)··=, 两个三角形重合时面积正好为. 由二次函数图象的性质可判断答案为A, 故选A. 【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 11．C 【分析】根据二次函数表达式可得对称轴为直线，由及二次函数的对称性可得，进而可得的等量关系式，然后根据得出的值，所以得出C的坐标，最后根据求解即可． 【详解】 如图所示：抛物线，对称轴为直线 抛物线与轴的交点为和 ，OA=5 当y=0时，-5与2是方程的两个根 根据韦达定理可得：即 即 ， 解得 ． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识、相似三角形的性质及求角的三角函数值，关键是根据二次函数解析式得到对称轴，得到A、B的坐标，进而得到参数的等量关系式，最后根据射影定理得到线段的等量关系求解参数，然后根据求角的三角函数值求解即可． 12．D 【分析】由函数解析式作出抛物线与直线的图象，根据图象关系计算求值即可； 【详解】解：∵， 对称轴为：，∴x=0时，y=c；x=-3时，y=c， 如图为抛物线与直线关系图， 由图象可知：①当直线过抛物线左端点时c=-5，当直线过抛物线右端点时c=-2， ∴当-5≤c＜-2时，直线与抛物线只有一个交点， ∴c为整数时可取-5，-4，-3， ②令，则，时，解得 c=-1，此时方程有两个相等的实数根，抛物线与直线只有一个交点， ∴c的值为：-5，-4，-3，-1， 故选： D． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题，利用图象法确定交点个数是解题关键． 13．2.5 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相同． 【详解】解：∵h=30t-5t2=-5（t-3）2+45， ∴该函数的对称轴是直线t=3， ∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同， ∴第二个小球抛出3-0.5=2.5秒时，两个小球在空中的高度相同， 故答案为2.5． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 14．2 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大， 故答案为：2． 15． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法求二次函数的最值即可． 【详解】解：根据二次函数解析式 当时，取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进的距离是 故答案为：． 16．55 【分析】直接根据题意表示出营业额，进而利用配方法求出答案． 【详解】设一个旅行团的人数是x人，设营业额为y元， 根据题意可得：y＝x[800−10（x−30）]＝−10x2＋1100x＝−10（x2−110x）＝−10（x−55）2＋30250， 故当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额． 故答案为55． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 17．121 【分析】本题主要考查了图形和二次函数的问题，根据二次函数的性质解题即可． 【详解】解：由函数关系可知， ∵二次函数的二次项系数即， ∴当时，y最大值． 故答案为：121． 18．(1) (2)20 【分析】（1）先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据计算点H的横坐标，再求出此时正方形的面积即可． （2）由（1）知所设的点H的坐标，表示矩形的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：如图1，由题意，得，，， 设抛物线的解析式为． 把代入，得， ∴， ∴抛物线的解析式为． ∵四边形是正方形， ∴． 设， ∴， 解得，（舍去）． ∴此正方形的面积为． （2）解：如图2，由（1）知， ∴矩形的周长为． ∵， ∴当时，矩形的周长最大，且最大值是． 故此矩形的周长为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、二次函数的最值问题，根据题意求出二次函数的解析式是解决问题的关键． 19．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D（0，﹣1）；（3）P点坐标（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）． 【分析】(1)将A，B两点坐标代入解析式，求出b,c值，即可得到抛物线解析式； (2)先根据解析式求出C点坐标，及顶点E的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理表示出DC，DE的长．再建立相等关系式求出m值，进而求出D点坐标； (3)先根据边角边证明△COD≌△DFE，得出∠CDE=90°，即CD⊥DE，然后当以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似时，根据对应边不同进行分类讨论： ①当OC与CD是对应边时，有比例式，能求出DP的值，又因为DE=DC，所以过点P作PG⊥y轴于点G，利用平行线分线段成比例定理即可求出DG，PG的长度，根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标； ②当OC与DP是对应边时，有比例式，易求出DP，仍过点P作PG⊥y轴于点G，利用比例式求出DG，PG的长度，然后根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；这样，直线DE上根据对应边不同，点P所在位置不同，就得到了符合条件的4个P点坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）， ∴，解得， 故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3； （2）令x2﹣2x﹣3=0， 解得x1=﹣1，x2=3， 则点C的坐标为（3，0）， ∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴点E坐标为（1，﹣4）， 设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F（如下图）， ∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12， ∵DC=DE， ∴m2+9=m2+8m+16+1，解得m=﹣1， ∴点D的坐标为（0，﹣1）；（3） ∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4）， ∴CO=DF=3，DO=EF=1， 根据勾股定理，CD==， 在△COD和△DFE中， ∵， ∴△COD≌△DFE（SAS）， ∴∠EDF=∠DCO， 又∵∠DCO+∠CDO=90°， ∴∠EDF+∠CDO=90°， ∴∠CDE=180°﹣90°=90°， ∴CD⊥DE，①当OC与CD是对应边时， ∵△DOC∽△PDC， ∴，即=， 解得DP=， 过点P作PG⊥y轴于点G， 则，即， 解得DG=1，PG=， 当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0， 所以点P（﹣，0）， 当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2， 所以，点P（，﹣2）； ②当OC与DP是对应边时， ∵△DOC∽△CDP， ∴，即=， 解得DP=3， 过点P作PG⊥y轴于点G， 则，即， 解得DG=9，PG=3， 当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8， 所以，点P的坐标是（﹣3，8）， 当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10， 所以，点P的坐标是（3，﹣10）， 综上所述，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）． 20．（1）b＝﹣3a+1；（2）B（﹣4a，4）；（3）a＝﹣1或a＜﹣ 【分析】（1）将点(3，3)代入解析式即可求解； （2）把y=4代入y=x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求出B点坐标； （3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况进行讨论，即可得到结论． 【详解】解：（1）将点(3，3)代入y＝ax2+bx，得：9a+3b＝3, ∴b＝-3a+1； （2）令x+4a+4＝4，得x＝-4a， ∴B(-4a，4)， （3）∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∵A(1，4)，B(-4a，4)， ∴点A、B所在的直线为y＝4， 由（1）得b＝1-3a， 则抛物线可化为：y＝ax2+（1-3a）x， 当抛物线与线段AB恰有一个公共点时，分两种情况讨论： ①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点且抛物线的顶点在点A、B之间时， 则或， 方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0， 即（1﹣3a）2+16a＝0， 解得a1＝，a2＝， 当a1＝时，（不符合题意）， 当a2＝﹣1时，，则1≤≤-4a成立， ②当抛物线经过点A时， 即当x＝1，y＝4时，a+1-3a＝4， 解得a＝； ∴a＜时，抛物线与线段AB恰有一个公共点， 综上所述，当a＝-1或a＜-时，抛物线与线段AB恰有一个公共点． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数和一次函数图象上的点的坐标特征，解决本题的关键是理解抛物线与线段AB恰有一个公共点的含义． 21．(1)25只 (2)35只；1950元 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或解析式； （1）根据“总利润=售价×数量-成本”得出一元二次方程，然后解出答案，根据日最高产量为40只进行验根； （2）设每天所获利润为W，然后列出函数解析式，最后进行配方得出最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：（大于每日最高产量为40只，故舍去） 答：当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元． （2）解：设每天所获利润为W． 由题意得， ∴当时，W有最大值1950元． 答：当日产量为35只时，可获得最大利润，最大利润为1950元． 22． 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为(a≠0). ∵图象经过点（2，-2）， ∴-2=4a， 解得：. ∴. 当y=-3时，. 答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般． 23．（1）；（2）存在，；（3）点的坐标为：或或或或. 【分析】（1）抛物线经过点，，，可利用两点式法设抛物线的解析式为，代入即可求得函数的解析式； （2）作辅助线，将四边形分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设，四边形的面积为，用字母表示出四边形的面积，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点的坐标. （3）分三种情况画图：①以为圆心，为半径画弧，交对称轴于和，有两个符合条件的和；②以为圆心，以为半径画弧，也有两个符合条件的和；③作的垂直平分线交对称轴于一点，有一个符合条件的；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出坐标. 【详解】解：（1）设， 把代入：， ， ∴； （2）存在， 如图1，分别过、向轴作垂线和，垂足分别为、， 设，四边形的面积为， 则，，，，， ∴， ， ， ， 当时，有最大值为48，这时， ∴， （3）这样的点一共有5个， ①以为圆心，以为半径画弧，交抛物线的对称轴于、，则， 设对称轴交轴于， ； ∴抛物线的对称轴是：， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ②以为圆心，以为半径画弧，交抛物线的对称轴于、， ∴， 过作于，则， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ③连接、， 因为在对称轴上，所以设， ∵是等腰三角形，且， 由勾股定理得：， ， ∴. 综上所述，点的坐标为：或或或或. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求解析式，还考查了多边形的面积，要注意将多边形分解成几个图形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数.同时还结合了抛物线图形考查了等腰三角形的一些性质，注意由一个动点与两个定点组成的等腰三角形三种情况的讨论. 24．（1）y=－2x2+180x－2800；（2）每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元 【分析】（1）由销售利润=（销售价-进价）×销售量可列出函数关系式； （2）应用二次函数的性质，求最大值． 【详解】（1）依题意，y=m（x-20），代入m=140-2x 化简得y=-2x2+180x-2800． （2）y=-2x2+180x-2800 =-2（x2-90x）-2800 =-2（x-45）2+1250． 当x=45时，y最大=1250． ∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大为1250元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$