专题02 三角形的证明最值问题分类训练（5种类型50道）-2024-2025学年八年级数学下册易错点梳理备考提分专项训练（北师大版）

专题02 三角形的证明最值问题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 求线段的最值】 1 【题型2 求多个线段和的最值】 11 【题型3 利用最值求解】 21 【题型4 求面积的最值】 33 【题型5 求周长的最值】 47 【题型1 求线段的最值】 1．如图，在中，，为的角平分线，，，点P为边上一动点，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点， 为的角平分线，，， ， 由垂线段最短可知，当点在点处时，有最小值2， 故选：A． 2．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】首先证明，过点C作于点H，连接，然后根据三角不等关系得出，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值，进而可得当点与重合时，的值最小，最后问题可求解． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ，， ， ∴， ， 又， ， ， ， 过点C作于点H，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 由三角形不等关系可知：，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值， 作平分交于N，连接，如图； 要使取得最小值，就要使取得最小值，当点F与点N重合时，即为最小，如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角不等关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 3．如图，是等边的中线，是直线上一点，连接，以为边，向下方作等边，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由等边三角形的性质可得，，，进而可得，利用可证得，于是可得，，由三线合一可得，，于是推出点在以点为旋转点逆时针旋转的射线上运动，由垂线段最短可知，当时，有最小值，根据含度角的直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边的中线， ∴，， ∴点在以点为旋转点逆时针旋转的射线上运动， ∴当时，有最小值， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，垂线段最短，含度角的直角三角形的性质等知识点，推出点在以点为旋转点逆时针旋转的射线上运动是解题的关键． 4．如图，在中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查基本作图——作角平分线，角平分线的性质定理，垂线段最短．当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小．再根据角平分线的性质定理可得，即得． 【详解】解：当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小． 由作图知：平分， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴的最小值为5， 故选：D． 5．如图，已知等边的边长为8，点是边上的动点，以为边向右作等边，点是边的中点，连接， 则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】首先结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而可得点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上，当时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及勾股定理解得此时的值，即可获得答案． 【详解】解：∵与均为等边三角形，且等边的边长为8， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上， ∴当时，取最小值，如图， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，准确判断点的运动轨迹是解题关键． 6．如图，在中，，，，点为上一点，，为射线上一动点，四边形为平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点G，使作直线，作于点H，由 得则求得则 ，所以再证明四边形是平行四边形，则可证明则而则 所以的最小值为于是得到问题的答案． 此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长到点G， 使作直线，作于点H，如图： ∵ ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是平行四边形， ∴点F在经过点G且与平行的直线上运动， ， ， ∴的最小值为 故选：C． 7．如图，平分，在上取一点，作，已知的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵的面积为，， ∴， ∴， 过P点作于H，如图，   平分，， ， 点E是射线上的动点， 的最小值为， 故选：C． 8．如图，在中，平分交于点，点P是线段上的一动点，则的最小值是（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理，勾股定理是解题的关键．过点D作于点E，则的最小值是的长，根据角平分线的性质定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E，则的最小值是的长， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值是3． 故选：A． 9．如图， 点P在的平分线上， 于D，点M在上， 且若C是上的动点，则的最小值是（   ）    A．8 B．10 C．12 D．6 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，证明为等边三角形，得到根据角平分线的性质和垂线段最短，即可得出结果． 【详解】解：∵ P是角平分线上的一点，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点C是上一个动点， ∴的最小值为P到距离， ∵点P在的平分线上， ∴ 的最小值， 故选：D． 10．如图，在中，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】本题主要考查点到直线的最短距离，涉及含30度角的直角三角形的性质和折叠的性质，当，点P到边距离的值最小．由翻折的性质可知：．由含30度角的直角三角形的性质得，利用线段之间的关系即可． 【详解】解：如图所示：当，点P到边距离的值最小． 由翻折的性质可知：． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴点P到边距离的最小值是． 故选：A． 【题型2 求多个线段和的最值】 11．如图，在中，，，平分，E是上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理， 先判断是等边三角形 ，根据等边三角形的性质可知点B，C关于对称，可得，根据“两点之间线段最短”，连接，交于点E，此时最小，即，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵平分， ∴是的垂直平分线， ∴点B，C关于对称， ∴． 根据“两点之间线段最短”，连接，交于点E，此时最小，即， 在中，点F是的中点， ∴，． 根据勾股定理，得， 所以的最小值是6． 故选：B． 12．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为的中点．若，的面积是，则的最小值为（   ） A．5 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是确定当点三点共线时，的值最小，即的值最小是解题的关键． 如图所示，连接，当点三点共线时，的值最小，即的值最小，由三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为8， 故选：B ． 13．如图，两直线与相交于点，他们相交所形成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短、含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是牢记并灵活运用相关概念．先利用轴对称作出点关于直线的对称点，再利用垂线段最短得到它的最小值等于线段的长，最后利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，作直线， ∴，，， ∴ 过点作，垂足为点， 则当点、、，共线，与重合时，的值最小，等于， ∴， ∴的最小值为3 故选：A． 14．如图，在中，，是边上的中线，点E，F分别为和上的动点，连接，．若，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理的理解和掌握，能求出是解此题的关键．题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过C作于M，根据三线合一定理求出的长和，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出，即可得出答案． 【详解】解：过C作于M， ，，是的中线， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、F在上时，的最小， ∴的最小值为， 故选：B． 15．如图，在中，，，是的中点，过点作的垂线，垂足为点，点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．在的延长线上取点，使，连接交直线于点，此时的最小值为的长，利用勾股定理结合等腰直角三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】解：在的延长线上取点，使，连接交直线于点，此时的最小值为的长， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， 作于点， ∵，， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 16．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．2.4 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 17．已知，都是等边的中线，点为上一动点，，则的最小值是（    ）．    A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得出、关于对称，再根据两点之间线段最短进行求解． 【详解】解：，都是等边的中线， 、关于对称， ， 故选：D 18．如图，的面积是6，，，D，E分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点A关于的对称点，过点作，交于点D，则是线段的垂直平分线，根据角平分线的性质得，，从而可得的最小值是的值，证明，可得，利用面积公式求解即可． 【详解】解：作点A关于的对称点，过点作，交于点D， 则是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，即的最小值是的值， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 19．在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，由垂直平分，得，则，当点三点共线，且时，有最小值，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点三点共线，且时，有最小值， 如图， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴有最小值， 故选：． 20．如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点，，点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，将求的最小值转化为求的长是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． ∵是等腰三角形，点是边的中点， ， ∴，解得， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为的最小值， 的最小值为6． 故选：C． 【题型3 利用最值求解】 21．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，    ， ， 当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行求解，垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解题的关键． 22．如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含直角三角形的三边关系，垂线段最短等相关知识，延长到点，使，连接，证是等边三角形，可推出，过点作于点，则，从而，故当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，求出的值即可，构造含的直角三角形，将目标转化为求的最小值是解题关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ，即， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 过点作于点， ， ， 求的最小值即求的最小值，当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值， 此时，设，则， ， 即当取最小值时，的值为． 故答案为：． 23．如图，若，为内一定点，动点在上，动点在上，当的周长取最小值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，最短距离，等腰三角形的判定和性质等知识点，分别作点关于、的对称点、,连接,交于,交于的周长,然后得到等腰中，,即可得出，熟练掌握其性质并能正确作出辅助线，得到等腰中是解决此题的关键． 【详解】解：如图，分别作点关于的对称点、,连接,交于,交于, ，，， 根据轴对称的性质，可得, 由两点之间线段最短可知，的周长的最小值, , 等腰中，, , 故答案为：． 24．如图，，点为内一定点，点为射线上一动点，点为射线上一动点，当的周长取最小值时， ．    【答案】 【分析】本题考查轴对称——最短路径问题，等边对等角，三角形的内角和定理，作点关于的对称点，连接，，，得，，作点关于的对称点，连接，，，得，，根据，则当共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度，掌握知识点的应用是解题的关键. 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，，    ∴，，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ， 又， ∴当共线时，周长最短， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴在中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：. 25．如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，当取最小值时，的周长为 ． 【答案】15 【分析】连接，根据等腰三角形的三线合一得到点F在的平分线上，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵为等边三角形，F是的中点， ∴，平分，即点F在的平分线上， ， 如图，当，点D在上时，最小，    在中，， 则， 由勾股定理得：， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴等边的周长为， 故答案为：15． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短，得出，点D在上时，最小是解题的关键． 26．如图，中，，，，D为上的一动点，把沿翻折得到，连，当取最小值时，的面积是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查的是轴对称的性质，角平分线的性质．如图，由，当A、P、C三点共线时取等号，此时最小，过D作于G，作于F，，，由对折可得：，，可得，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，∵，当A，P，C三点共线时取等号，此时最小， 过D作于G，作于F，，， 由对折可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 27．如图，在 中，，，点 是 上一个动点，当取最小值时， ． 【答案】60 【分析】本题考查了垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握相关的性质是解题关键．先根据垂线段最短可得当时，取最小值，则此时，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，取最小值，则此时， ∵， ， 故答案为：． 28．如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时， °． 【答案】30 【分析】根据等边三角形的对称性，等边三角形的性质，线段和最小原理计算即可． 本题考查了等边三角形的性质和对称轴，线段和最小，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形，，， ∴直线为的一条对称轴，，， 平分， ∴点B，点C关于直线对称， 连接，交于点，则点为取最小值时的位置点， ∵， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴点是等边三角形角平分线的交点， 连接 ∴平分， ∴， 故答案为：30． 29．如图，中，，，为射线上一动点，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形．为上一点，，连接．当取最小值时，则的度数为 ． 【答案】 【分析】过作交的延长线于，作交的于，作射线，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，由角平分线的判定定理得是的平分线，由可判定，由全等三角形的性质得， 由两点之间连线段最短得当、、三点共线时，最小，此时，即可求解． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，作交的于，作射线，连接， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 在和中 ()， ， 是的平分线， 在上运动， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， 当、、三点共线时，最小， 如图，此时， 此时，同理可证：， ， ； 故答案：； 【点睛】本题考查了直角三角形的特征，等腰三角形的性质，角平分线的判定定理，全等三角形的判定及性质，两点之间连线段最短；掌握判定方法及性质，构建全等三角形，将问题转化为“将军饮马”典型问题，从而找出线段和取得最小值的条件是解题的关键． 30．如图，在中，，于点D，于点C，．点E，点F分别在线段上，，连接．当取最小值时 ． 【答案】97 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及等边对等角．根据平行线的判定与性质及三角形内角和定理得出，再证明，推出，根据两点之间线段最短得出当和共线时，和最小，如下图，此时与交于点，利用等边对等角及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解： ， ∴， ∵于点D，于点C， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当和共线时，和最小，如下图，此时与交于点， ∵， ∴， ∴． 故答案为：97． 【题型4 求面积的最值】 31．如图，在中，，，，D为边上的动点，点关于，的对称点分别是点，，连接，，，面积的最小值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查求三角形面积最小值的问题，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质．根据轴对称的性质得，，，，等量代换得，，得是等腰直角三角形，再根据垂线段最短得当时，取最小值，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵点关于，的对称点分别是点，， ∴是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴当最小即取最小值时，的面积最小， ∴当，取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积的最小值， 故答案为：18． 32．如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，、在射线与射线上运动，且满足；则在运动过程中面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】先利用证明，于是可得，，再证明是等腰直角三角形，当时，最短，的面积最小，进而求得，于是得解． 【详解】解：∵，，点是的中点， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 当时，最短，的面积最小， 此时，， 则面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的内角和定理，三线合一，三角形的面积公式，垂线段最短等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 33．如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为 ，面积的最大值为 ． 【答案】 18 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．作于点，由，，，得，，由，，得，因为垂线段最短，所以的最小值为3，则的最小值为18；再证明，则，，所以，则，可知当时，面积的最大，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， ， 的最小值为3， 当时，， 的最小值为18； ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， 当时，， 故答案为：18，． 34．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是 ，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长、交于点，首先利用“ASA”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案． 【详解】解：在中，， ， 解得； 如下图，延长、交于点， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值， 即， ． 故答案为：；． 35．如图，和是等腰直角三角形，，连接、． 若，，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∵是定值，是定值， ∴当时，的面积取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为 ． 故答案为：50． 36．在等边中（其中），点P在边上运动，点Q在边上运动，且满足（点P，Q都不与B重合），以为底边在左侧作等腰三角形，使得．则四边形的面积的最大值是 ． 【答案】12 【分析】过点D作于点E，过点B作于点F．由等边三角形的性质得出，结合题意即可求出．再根据等腰三角形的性质即得出，结合所作辅助线可求出，进而可求出，再由三角形的面积公式可求出．由，可得出当最大时，最大．再由，可得出当最大时最大．由图形可知的最大值即为的长，此时B，，D三点共线．证，即得出，从而证明为等边三角形，求出等边的面积，即可求出四边形的面积的最大值． 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点B作于点F． ∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵为等腰三角形，且， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴当最大时，最大． ∵， ∴当最大时最大． ∵， ∴的最大值即为的长，此时B，E（F），D三点共线，如图， ． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴此时，即四边形的面积的最大值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质等知识．正确作出辅助线，并理解当最大时，最大，当最大时最大是解题关键． 37．如图，正三角形的边长为2，点E是边上的动点（不与端点A、B重合），在上方作正三角形．当点E由点B向点A运动过程中．求面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用． 根据，是等边三角形，得，，，根据等量代换，全等三角形的判定，得，得四边形的面积为：，根据的面积等于四边形面积，当最小时，的面积最大，即可． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， ∴的面积等于四边形面积， 当时，最小，最小，最大， ∵， ∴， 过点E作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：．    38．在四边形中，，，为内部的任一条射线，点关于的对称点为（不与A点重合），直线与交于点，连接、，当时，面积为 ；当在内部绕点转动时，面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】①连接，根据圆的定义可知、、在以点为圆心，为半径的圆上，再判断是等边三角形，当，是等边三角形，此时，继而可求面积； ②则当是圆的直径时，△面积的最大，此时，由此可求解． 【详解】①解：连接，由轴对称性可知，， ， 、、在以点为圆心，为半径的圆上， ， ， ， ， 是等边三角形， 当，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； ②解：是等边三角形， 要使面积的最大，只需最大即可， 当是圆的直径时，面积的最大， ， 面积的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质，圆的性质，能确定是圆的直径时，面积的最大是解题的关键． 39．如图，等腰，，，是动点，，分别在线段上．当周长最小时，则四边形面积最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形判定及性质，勾股定理，三角形面积公式．根据题意以点为圆心4为半径作弧交于两点，此时周长最小，，再过点作，利用等腰三角形判定得出为等腰直角三角形，求出的长，再利用三角形面积公式即可得出本题答案． 【详解】解：如图，以点为圆心4为半径作弧交于两点，过点作， ∴此时周长最小，， ∵等腰，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中应用勾股定理得：， ∴四边形面积最大值为：， 故答案为：． 40．如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】首先证明出，得到，进而得到，推理出要的面积最大，则的面积最小即可，然后得到当最小时，的面积最小，最后利用求解即可． 【详解】如图，连接，    ∵在中，，，点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴要的面积最大，则的面积最小即可， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则当最小时，的面积最小， 当时，最小，此时， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【题型5 求周长的最值】 41．如图，在中，，，的面积是10，的垂直平分线分别交，边于，两点，若为边的中点，在线段上存在一点，使P，B，F三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ． 【答案】7 【详解】解：连接、，如图． 因为是线段的垂直平分线， 所以点A与点关于对称． 所以， 所以周长， 当A，，三点共线时，周长最小， 因为为边的中点，， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以的周长， 所以周长的最小值为7， 故答案为：7． 42．在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题．作出轴对称图形，熟练掌握轴对称性质，等边三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于M、N，得到，其周长的最小值等于长，由轴对称性质证明， ，得到是等边三角形，即得． 【详解】如图，作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于点M、N， 则，， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为6.5． 故答案为：6.5． 43．如图，等腰的底边长为6，面积为12，边的垂直平分线分别交、于点、，若点为的中点，点为线段上一动点，则的周长最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到，说明，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴， ∴当三点共线时，， ∵点D为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为： ． 故答案为：7． 44．如图，，点，分别是射线，上的动点，且，的周长最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了最短路径问题和等边三角形的性质与判定，作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接与．证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接与射线的交点即为M点、N点，连接，此时的周长最小， ∵C点、P点关于射线对称， ∴射线垂直平分， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长最小值， 故答案为：6． 45．如图，等腰三角形的面积为24，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长存在最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，得出 ，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短为：， 故答案为：11． 46．如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握运用轴对称求最值是解题的关键． 作A关于和的对称点，连接，交BC于，交CD于，过作于G,则即为周长的最小值，求出的长即可． 【详解】解：如图：作A关于和的对称点，连接，交BC于，交CD于，过作于G, ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴． 故答案为． 47．如图，中，，，，，垂直平分，点为直线上一动点，则的周长最小值为 ．    【答案】7 【详解】解：连接，    ∵垂直平分，点为直线上一动点， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当三点共线时，的值最小为的值， ∴的周长的最小值为； 故答案为：7． 48．如图，在等边中，，于点，以为边向左侧作等边，为线段上一动点，连接，，则的周长最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，，， ∴，，，， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 延长到，使， ∴点与关于对称， 连接交于， 则的值最小， 即此时的周长最小， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过作交的延长线于， ∴， ， ∴，， ∴， ∴的周长最小值为：， 故答案为：． 49．如图，等腰的底边的长为12，周长为32，腰的垂直平分线分别交边于E、F点，若点D为边的中点，点M为线段上的一个动点，则的周长的最小值为 .    【答案】 【分析】本题主要考查的是最短路线问题，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 等腰的底边的长为12，周长为32， ， 点D为边的中点， ， ， ， 腰的垂直平分线分别交边于E、F点， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：． 50．如图，已知是等边三角形，，在直线BC的上方有一点，且满足，，在直线上取一点，连接，则周长最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点A关于的对称点，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴的最小值为， 过点D作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长最小值， 故答案为：． 精选考题 才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形的证明最值问题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 求线段的最值】 1 【题型2 求多个线段和的最值】 3 【题型3 利用最值求解】 6 【题型4 求面积的最值】 9 【题型5 求周长的最值】 11 【题型1 求线段的最值】 1．如图，在中，，为的角平分线，，，点P为边上一动点，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 2．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 3．如图，是等边的中线，是直线上一点，连接，以为边，向下方作等边，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，已知等边的边长为8，点是边上的动点，以为边向右作等边，点是边的中点，连接， 则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．不能确定 6．如图，在中，，，，点为上一点，，为射线上一动点，四边形为平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，平分，在上取一点，作，已知的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 8．如图，在中，平分交于点，点P是线段上的一动点，则的最小值是（   ） A．3 B． C．2 D． 9．如图， 点P在的平分线上， 于D，点M在上， 且若C是上的动点，则的最小值是（   ）    A．8 B．10 C．12 D．6 10．如图，在中，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．2.5 【题型2 求多个线段和的最值】 11．如图，在中，，，平分，E是上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 12．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为的中点．若，的面积是，则的最小值为（   ） A．5 B．8 C．12 D．24 13．如图，两直线与相交于点，他们相交所形成的锐角等于，若点是直线上一定点，，点、分别是直线、上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 14．如图，在中，，是边上的中线，点E，F分别为和上的动点，连接，．若，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D．6 15．如图，在中，，，是的中点，过点作的垂线，垂足为点，点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．2.4 C．4 D．7 17．已知，都是等边的中线，点为上一动点，，则的最小值是（    ）．    A． B． C． D．6 18．如图，的面积是6，，，D，E分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 19．在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （　　） A． B． C． D． 20．如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点，，点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 【题型3 利用最值求解】 21．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    22．如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 23．如图，若，为内一定点，动点在上，动点在上，当的周长取最小值时，的度数为 ． 24．如图，，点为内一定点，点为射线上一动点，点为射线上一动点，当的周长取最小值时， ．    25．如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，当取最小值时，的周长为 ．   26．如图，中，，，，D为上的一动点，把沿翻折得到，连，当取最小值时，的面积是 ．    27．如图，在 中，，，点 是 上一个动点，当取最小值时， ． 28．如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时， °． 29．如图，中，，，为射线上一动点，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形．为上一点，，连接．当取最小值时，则的度数为 ． 30．如图，在中，，于点D，于点C，．点E，点F分别在线段上，，连接．当取最小值时 ． 【题型4 求面积的最值】 31．如图，在中，，，，D为边上的动点，点关于，的对称点分别是点，，连接，，，面积的最小值为 ． 32．如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，、在射线与射线上运动，且满足；则在运动过程中面积的最小值为 ． 33．如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为 ，面积的最大值为 ． 34．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是 ，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ． 35．如图，和是等腰直角三角形，，连接、． 若，，则四边形面积的最大值为 ． 36．在等边中（其中），点P在边上运动，点Q在边上运动，且满足（点P，Q都不与B重合），以为底边在左侧作等腰三角形，使得．则四边形的面积的最大值是 ． 37．如图，正三角形的边长为2，点E是边上的动点（不与端点A、B重合），在上方作正三角形．当点E由点B向点A运动过程中．求面积的最大值为 ．    38．在四边形中，，，为内部的任一条射线，点关于的对称点为（不与A点重合），直线与交于点，连接、，当时，面积为 ；当在内部绕点转动时，面积的最大值是 ． 39．如图，等腰，，，是动点，，分别在线段上．当周长最小时，则四边形面积最大值为 ． 40．如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．    【题型5 求周长的最值】 41．如图，在中，，，的面积是10，的垂直平分线分别交，边于，两点，若为边的中点，在线段上存在一点，使P，B，F三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ． 42．在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 43．如图，等腰的底边长为6，面积为12，边的垂直平分线分别交、于点、，若点为的中点，点为线段上一动点，则的周长最小值是 ． 44．如图，，点，分别是射线，上的动点，且，的周长最小值为 ． 45．如图，等腰三角形的面积为24，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长存在最小值为 ． 46．如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 ． 47．如图，中，，，，，垂直平分，点为直线上一动点，则的周长最小值为 ．    48．如图，在等边中，，于点，以为边向左侧作等边，为线段上一动点，连接，，则的周长最小值为 ． 49．如图，等腰的底边的长为12，周长为32，腰的垂直平分线分别交边于E、F点，若点D为边的中点，点M为线段上的一个动点，则的周长的最小值为 .    50．如图，已知是等边三角形，，在直线BC的上方有一点，且满足，，在直线上取一点，连接，则周长最小值为 ． 精选考题 才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 $$