专题01 三角形的证明折叠问题分类训练（4种类型38道）-2024-2025学年八年级数学下册易错点梳理备考提分专项训练（北师大版）

专题01 三角形的证明折叠问题分类训练 （4种类型38道） 目录 【题型1 折叠问题求度数】 1 【题型2 折叠问题探究角的数量关系】 3 【题型3 折叠问题综合类】 6 【题型4 折叠问题求线段长】 9 【题型1 折叠问题求度数】 1．如图，将沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，将沿所在的直线折叠，使点落在边上的点处，且，那的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知中，，现将沿折叠，使点与点重合，则（  ） A．20° B． C． D． 7．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．如图，点为的边的中点，将沿经过点的直线折叠，使点刚好落在边上的点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠，使点B的对应点D落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点，点分别在上，点沿折叠后与点重合，则是（    ） A． B． C． D． 【题型2 折叠问题探究角的数量关系】 11．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 12．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，若点与点恰好重合，则度数为（    ） A． B． C． D． 13．如图1，中，，D为中点，把纸片沿对折得到，如图2，点E和点F分别为，上的动点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部，如图3所示．设，则下列等式成立的是（　　）    A． B． C． D．    14．如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在中，为边上一点，连接，，，将沿折叠至，连接，若平分，则的度数是（  ） A． B． C． D． 16．如图，中，，把沿线段折叠，使点B落在点F处，若，， 则的度数（结果用含的式子表示）为（    ） A． B． C． D． 17．如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED＝n°，则∠BEC的度数为（　　）度． A．90+ B．90﹣ C．30+ D．90﹣n 18．如图，四边形中，，将沿着折叠，点B恰好落在边上的点处．若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【题型3 折叠问题综合类】 19．如图，中，，，将折叠，便点B落在点A处，为折痕，在下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②垂直平分；③是等边三角形；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．如图，在中，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连接，，下列结论：①；②图中有4对全等三角形；③若将沿折叠，则点D一定落在上；④．其中正确的个数为有（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 21．如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 22．如图，点是边上一点，将沿折叠，使点落在上的点处，连接的平分线交于点，若，那么下列结论中：①平分；②是的垂直平分线；③；④．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 23．如图，将等腰三角形纸片（分别在腰、上取点、点）沿折叠，使顶点落在底边上的点处，且，下列结论：①是等腰三角形；②是的中点；③是等边三角形；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．如图，在中，，，的平分线交于点，交于，，连接、，交于点、下列结论：①若将沿折叠，则点一定落在上；②；③；④若，则．上述结论中正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个   25．如图，在中，，，折叠使得点C落在边上的E处，连接、，下列结论： 是等腰直角三角形； ；D是的中点； ，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 26．如图，△ABC纸片中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论：①DF＝DA；②∠ABE＝22.5°；③△BDF的周长为8；④CD＝2BE．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．如图，中，将沿折叠，使得点C落在上的点处，连接与的角平分线交于点E；如果；那么下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 28．如图，在 中，，， 是边 上的点，连接 ，，先将边 沿 折叠，使点 的对称点 落在边 上；再将边 沿 折叠，使点 的对称点 落在 的延长线上．若 ，，则下列结论：① ，② ，③ ，④ ．其中正确的个数有 （    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【题型4 折叠问题求线段长】 29．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，的对应线段与相交于点，连接交于点，若，则的长为 ． 30．如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为 ． 31．如图，在中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，得到，连接，平分，． （1）若，则的长为 ； （2）若，则的长为 ． 32．如图，在中，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为 ．    33．如图，在中，，点D是上一点，连接，将沿折叠至．连接，若，，平分交于点E，且，则的长为 ． 34．如图，是的中线，，，把沿直线折叠，点落在处，连接那么的长为 ； 35．如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长 ． 36．如图，在中，，，，以为边作一个等边三角形，将折叠，为折痕．若使点D与点C重合，则的长度为 ． 37．如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ． 38．如图，已知中，分别为边边上的点，将沿折叠，点的对应点恰好落在的中点处，则的长为 ． 精选考题 才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的证明折叠问题分类训练 （4种类型38道） 目录 【题型1 折叠问题求度数】 1 【题型2 折叠问题探究角的数量关系】 9 【题型3 折叠问题综合类】 19 【题型4 折叠问题求线段长】 34 【题型1 折叠问题求度数】 1．如图，将沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据三角形内角和求出，再根据，，得出，从而得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， 由折叠知：， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识． 2．如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质，直角三角形的性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等． 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，又折叠前后图形的形状和大小不变，，易求，从而求出的度数． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则， ∴是的外角， ∴． 故选：D． 3．如图，将沿所在的直线折叠，使点落在边上的点处，且，那的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键． 根据折叠的性质得，，再由得出，从而得到，然后由得出，即可由求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：C． 4．如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，先求出，进而求出，求出，由三角形内角和定理和即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ，为的平分线， ． 又， ． 是的垂直平分线， ， ， ． 为的平分线，， 直线垂直平分， ， ， 点C沿折叠后与点O重合， ，， ， 在中，， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关知识来分析、判断． 5．如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，连接、，设的垂直平分线交于点，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， 点在的垂直平分线上， ， ， 将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合， ， ， 在中，， 故选：C． 6．如图，已知中，，现将沿折叠，使点与点重合，则（  ） A．20° B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，根据直角三角形两锐角互余求出，由折叠得，即可求出的度数 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴ 故选：A 7．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质和平行线的性质，先由等边对等角和三角形内角和定理求出，再由平行线的性质得到，则可由折叠的性质得，再根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 8．如图，点为的边的中点，将沿经过点的直线折叠，使点刚好落在边上的点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．根据折叠的性质及中点知，是等腰三角形，从而由三角形内角和定理即可求得结果的度数． 【详解】解：根据折叠的性质得： ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴是等腰三角形，且 在中， 故选：． 9．如图，在中，，，E为线段的中点，点F在边上，连接，沿将折叠，使点B的对应点D落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出，由折叠的性质得到，，即可求解，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵E为线段的中点， ∴， ∵是沿折叠所得， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点，点分别在上，点沿折叠后与点重合，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设的平分线与交于点E，求出， ，根据垂直平分，得到，即，进一步可得，利用垂直平分，得到，由折叠的性质可知：，所以，进一步可得． 【详解】解：连接，设的平分线与交于点E，如图 ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，即， ∴， ∵，平分， 由三线合一的性质可得：垂直平分， ∴，即， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 故答案为： 【题型2 折叠问题探究角的数量关系】 11．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作于，于，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：连接，过点作于，于， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 12．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，若点与点恰好重合，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，证明，根据性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：连接，， ∵，的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点与点恰好重合， ∴，, ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 13．如图1，中，，D为中点，把纸片沿对折得到，如图2，点E和点F分别为，上的动点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部，如图3所示．设，则下列等式成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等腰三角形的性质得出，如图3，在四边形中，，可得出，则可得出答案． 【详解】解：如图1，    ∵，D为中点， ∴，， ∴， 如图3，与交于点M，    ∵把纸片沿折叠， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由图1可知， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，四边形内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 14．如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题和三角形外角的性质，据此得到角之间的关系，即可得到结果，解题的关键是根据三角形外角的性质得到角度之间的关系． 【详解】解：连接，如图所示： ∵沿折叠后，点的对应点为， ∴，，， 在中，， 在中，， ∴， 即， 故选：B． 15．如图，在中，为边上一点，连接，，，将沿折叠至，连接，若平分，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点作于，于，连接，过点作于，于，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于，于， 则， 由折叠可知，，， ， 是等边三角形， ，， 平分，， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 16．如图，中，，把沿线段折叠，使点B落在点F处，若，， 则的度数（结果用含的式子表示）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质“等边对等角”，平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，折叠的性质“折叠前后对应角相等”；根据“等边对等角”得出，再根据平行线的性质得出，最后根据折叠的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵由沿线段折叠所得， ∴， ∴， 故选：A． 17．如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED＝n°，则∠BEC的度数为（　　）度． A．90+ B．90﹣ C．30+ D．90﹣n 【答案】B 【分析】根据∠A=∠A′=90°，∠ABE＝30°，得出∠1=∠AEB=60°，根据平角定义可得∠DED′=180°-∠1-（∠AEB-∠DEA）=60°+n°，可得∠2=∠DED′=（n+30）°，根据平角定义可得∠BCE=180°-∠1-∠2=（90-）°即可． 【详解】解：如图， ∵∠A=∠A′=90°，∠ABE＝30°， ∴∠1=∠AEB=90°-∠ABE=60°， ∴∠DED′=180°-∠1-（∠AEB-∠DEA）=180°-60°-60°+n°=60°+n°， ∴∠2=∠DED′=（n+30）°， ∴∠BCE=180°-∠1-∠2=180°-60°-（）°=（90-）°． 故选B． 【点睛】此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及直角三角形的性质；平角定义，注意数形结合思想的应用． 18．如图，四边形中，，将沿着折叠，点B恰好落在边上的点处．若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；由折叠得，，由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得 ，即可求解；掌握折叠的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【题型3 折叠问题综合类】 19．如图，中，，，将折叠，便点B落在点A处，为折痕，在下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②垂直平分；③是等边三角形；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据折叠的性质即可判断①；根据①中全等三角形的性质可得，，结合，证明是等边三角形，即可判断③；证明是的平分线，进一步即可判断②；④易得，，，进而可判断④，于是可得答案． 【详解】解：①∵由翻折而成， ∴，故结论①正确； ③∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，故结论③正确； ②∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． ∵， ∴垂直平分，故结论②正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论④错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多，但难度不大，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 20．如图，在中，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连接，，下列结论：①；②图中有4对全等三角形；③若将沿折叠，则点D一定落在上；④．其中正确的个数为有（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，利用全等三角形的性质依次判断可求解． 【详解】解：，，， ，， 把折叠，使落在上，点与上的点重合， ， ，，， ， ， ， ，即，故①错误； 在和中， ， ∴， ， ，， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 图中共有4对全等三角形，故②正确； ∵， ， ， ， 将沿折叠，则点一定落在上，故③正确； ，， ， ，故④正确； 综上所述：结论正确的是②③④，共3个； 故选D． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 21．如图，在中，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合，①；②点E到AC的距离为8；③；④，以上结论正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质可判断①；根据角平分线的性质可判断②；由折叠的性质及和角关系、三角形内角和可判断③；由，得，即可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴； 故①正确； 如图，过点E作，垂足分别为F，H， ∵平分， ∴； ∵，， ∴平分， ∴, 即点E到AC的距离为8； 故②正确； 由折叠知，； ∵， 同理，， ∴ ； 故③正确； ∵， 即， ∴， ∴； 故④正确； 综上，正确的有4个； 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，折叠的性质，三角形内角和，高相等的两个三角形面积的比等于底边的比，掌握以上知识是解题的关键． 22．如图，点是边上一点，将沿折叠，使点落在上的点处，连接的平分线交于点，若，那么下列结论中：①平分；②是的垂直平分线；③；④．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题重点考查轴对称的性质、等腰三角形的“三线合一”、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识．由折叠得，点与点关于直线对称，则平分，是的垂直平分线，可判断①正确，②正确；由，得，，所以，而，所以，，即可证明，则，所以，可判断③正确；由，得，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：由折叠得，点与点关于直线对称， 平分，是的垂直平分线， 故①正确，②正确； ∵， ，， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 故③正确； ，， ， ， 故④错误， 故选：B． 23．如图，将等腰三角形纸片（分别在腰、上取点、点）沿折叠，使顶点落在底边上的点处，且，下列结论：①是等腰三角形；②是的中点；③是等边三角形；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，折叠的性质．连接，根据等腰三角形的性质与平行线的性质，得出，即可判断①，根据三线合一可得，即可判断②，根据不一定为，则折叠后不一定为，即可判断③，根据三角形的内角和定理与折叠的性质，即可判断④． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 依题意，， ∵， ∴ ∵是等腰三角形， ∴，故②正确； ∵不一定为，则折叠后不一定为， ∴不一定是等边三角形，故③不正确； ∵折叠， ∴ ∴ 故④正确 故选：C． 24．如图，在中，，，的平分线交于点，交于，，连接、，交于点、下列结论：①若将沿折叠，则点一定落在上；②；③；④若，则．上述结论中正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由，得，由，得，先证明，得，则垂直平分，再证明，得，若将沿折叠，则点E一定落在上，可判断①②正确； 连接，则，得，可推导出，再证明，则，可判断③正确； 作于点L，则，由，得，则，再证明，则，于是求得，则，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A、点E都在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴若将沿折叠，则点E一定落在上，故①②正确； 连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于点L，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的有3个， 故选：C． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的判定与性质、根据转化思想求多边形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且证明有关的三角形全等是解题的关键． 25．如图，在中，，，折叠使得点C落在边上的E处，连接、，下列结论： 是等腰直角三角形； ；D是的中点； ，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由折叠的性质可知：，，，即可得，则有，可判断①；可判断②；由，，可得，即可判断③和④． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故①正确， ∴，故②正确， ∵，， ∴， ∴，故③和④不正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定等知识，掌握折叠的性质是解答本题的关键． 26．如图，△ABC纸片中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论：①DF＝DA；②∠ABE＝22.5°；③△BDF的周长为8；④CD＝2BE．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得AC=CF，AD=DF，∠ACD=∠DCB=22.5°，由余角的性质可得∠EBC=67.5°，可求∠EBA=∠EBC-∠ABC=22.5°，由线段的和差关系可求△BDF的周长为8，延长CA，BE交于点H，证明△BCE≌△HCE和△ACD≌△ABH，可证CD=2BE． 【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处， ∴△ACD≌△FCD， ∴AC=CF，AD=DF，∠ACD=∠DCB==22.5°，故①正确； ∵BE⊥CD， ∴∠EBC=90°-∠ECB=67.5°， ∴∠EBA=∠EBC-∠ABC=22.5°，故②正确； ∵C△BDF=BD+DF+BF=BD+AD+BF=AC+BF=CF+BF=BC=8， ∴△BDF的周长为8，故③正确， 如图，延长CA，BE交于点H， ∵∠ACD=∠BCD，CE=CE，∠BEC=∠CEH=90°， ∴△BCE≌△HCE（ASA） ∴BE=EH， ∴BH=2BE， ∵∠EBA=∠ACD=22.5°，∠BAH=∠CAD=90°，AC=AB， ∴△ACD≌△ABH（ASA） ∴CD=BH， ∴CD=2BE，故④正确， 综上分析可知，正确的个数为4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形，是本题的关键． 27．如图，中，将沿折叠，使得点C落在上的点处，连接与的角平分线交于点E；如果；那么下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用三角形全等的性质、等腰三角形的三线合一、角之间的关系、平行线的判定定理逐个分析各个结论的正误即可． 【详解】解：依题意有 ∴，故结论①正确； ∵ ∴为等腰三角形，又 ∴AD垂直平分，故结论②正确； ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，故结论③错误； ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴∥，故结论④正确； 综上，正确的结论有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、线段的垂直平分、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，为三角形的综合题，解题的关键是熟练掌握三角形相关的知识定理． 28．如图，在 中，，， 是边 上的点，连接 ，，先将边 沿 折叠，使点 的对称点 落在边 上；再将边 沿 折叠，使点 的对称点 落在 的延长线上．若 ，，则下列结论：① ，② ，③ ，④ ．其中正确的个数有 （    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据勾股定理可以求出AB的长，由面积法可求出CD的长，然后利用等腰三角形的性质和折叠的性质计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 由折叠可知：，，，， ， ，故②正确， ， ， ，故③正确， ， ， ， ，故①正确， ， ，故④错误． 故选：B． 【题型4 折叠问题求线段长】 29．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，的对应线段与相交于点，连接交于点，若，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：， ， 长方形纸片中，，， ， ， ， 由折叠可得：，， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 故答案为：3． 30．如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；过作于，连接，由，设，，由折可得，，，，得到，推出，在再证明，得到，得到，，即可证，，设，，由中点得到，，最后在中利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：过作于，连接， ∵， ∴设，则， ∵在长方形中， ∴，，， ∵将沿折叠，使得点C落在上， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则，， ∵点F是的中点， ∴， ∴，， 在中， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 31．如图，在中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，得到，连接，平分，． （1）若，则的长为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 14或15 【分析】首先求出，，然后由折叠的性质得到，，求出，得到，然后利用勾股定理求解即可；如图所示，延长，交于点H，过点F作于点N，证明出是等边三角形，得到，，然后设，表示出，，，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴ ∵将沿折叠，得到， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，延长，交于点H，过点F作于点N ∵∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∵ ∴ 设，则 ∴，， ∵将沿折叠，得到， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴或15 ∴的长为14或15． 故答案为：，14或15． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，解一元二次方程，折叠的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 32．如图，在中，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为 ．    【答案】或 【分析】根据折叠的性质，分类讨论：如图所示，，是直角三角形，过点作与点，运用三线合一，直角三角形的性质，三角形外角的性质可得，，，，可得；如图所示，，是直角三角形，由等腰三角形的性质可得，，，，设，则，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，，是直角三角形，过点作与点，    ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，，是直角三角形，    由上述证明可得，，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴的长为； 综上所述，的长为或， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，掌握折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的计算是解题的关键． 33．如图，在中，，点D是上一点，连接，将沿折叠至．连接，若，，平分交于点E，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造等腰三角形和直角三角形是解题关键．过点作于点，先证出，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴在中，；在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 34．如图，是的中线，，，把沿直线折叠，点落在处，连接那么的长为 ； 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的知识，等边三角形的性质和判定．根据中点的性质得，再根据对称的性质得，判定三角形为等边三角形即可求． 【详解】解： ，为的中点， ， 根据轴对称的性质可得：，， ， 为等边三角形， ， 故答案为：． 35．如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长 ． 【答案】/ 【分析】设于G,交于H，由等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，根据垂直的定义得到，根据勾股定理得到，设，根据等边三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：设于G，交于H， ∵是等边三角形， ∴， ∵将沿折叠，点与点对应， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 设, ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 36．如图，在中，，，，以为边作一个等边三角形，将折叠，为折痕．若使点D与点C重合，则的长度为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，证明，，，设，可得，，由轴对称的性质可得：，可得，再解方程即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵，等边三角形，， ∴，， ∴，， 设， ∴，， 由轴对称的性质可得： ， ∵， ， 解得：， 整理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 37．如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，分情况讨论：①当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，根据勾股定理可求出，然后结合线段的和差求解即可；②当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，然后结合线段的和差求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴ ①当时， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②当时 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 38．如图，已知中，分别为边边上的点，将沿折叠，点的对应点恰好落在的中点处，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换，涉及等腰直角三角形性质，根据等腰直角三角形的性质求出，由翻折可得，过点作于点，得，所以，然后利用勾股定理求出，进而即可解决问题，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 由翻折可知：， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即，解得， ∴， 故答案为：． 精选考题 才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 $$