精品解析：陕西省汉中市普通高中十校联盟2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

汉中市普通高中十校联盟2024年秋季学期高二期末考试 数 学 试 题 命题学校：宁强县天津高级中学 注意事项： 1.试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，共4页. 2.答第Ⅰ卷时考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 3.第Ⅱ卷答在答题卡的相应位置上，否则视为无效.答题前考生务必将自己的班级、姓名、学号、考号座位号填写清楚. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，再求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率， 令其倾斜角为，则，所以. 故选：D 2. 阅读课上，名同学分别从种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】阅读课上，名同学分别从种不同的书中选择一种进行阅读， 每名同学都有种选法，因此，不同的选法种数为种. 故选：C. 3. 设，向量 且 ，则 等于（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求出关于和的关系式，根据求出和，求出，求出. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，所以. 故选：C. 4. “”是“方程 表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】列出表示椭圆的关于m的不等式组求解，再结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 已知与是两条不同的直线，若，则m= （ ） A. B. 或2 C. 0或3 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一般式中两直线平行的条件得到方程，解得的值，再检验即可. 【详解】因为与是两条不同的直线，且， 所以，解得或； 经检验或时均满足. 故选：D 6. 已知双曲线 的离心率为 则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. y=±3x C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用离心率公式求出的值，即可求得该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可得，故，， 因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 7. 如图， 在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点，若 则表示向量正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的加减运算法则即可表示出向量. 【详解】在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点， 若 则 故选：A. 8. 椭圆E: 的左、右焦点分别为，若椭圆E上恰有4个不同的点P，使得为直角，则E的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，可得以线段为直径的圆与椭圆有4个交点，建立不等式求出离心率范围. 【详解】由椭圆E上恰有4个不同的点P，使得为直角，得以线段为直径的圆与椭圆有4个交点， 因此椭圆半焦距，即，则，解得，而， 所以E的离心率的取值范围为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是 （ ） A. 若直线l的方向向量为平面α的法向量为 则l∥α B. 对空间任意一点O和不共线三点 A，B，C，若 则P，A，B，C四点共面 C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D. 已知 若与的夹角为钝角，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的有关定义及其结论，可判断BCD项；根据已知得出，即可判断A项. 【详解】对于A：由已知可得，所以或，故A错误； 对于B：因为，所以四点共面，B正确； 对于C：根据空间向量基底的概念，空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，可知C正确； 对于D： 因为，因为与的夹角为钝角，则 ， 所以，当时，，不合题意，故D正确. 故选：BCD. 10. 某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ） A. 若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序 B. 若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序 C. 若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序 D. 从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全排列、捆绑法、插空法，结合分步与分类计数原理依次分析选项，即可判断. 【详解】A：从3个歌唱节目选1个作为开场，有种方法，后面的5个节目全排列， 所以符合题意的方法共有种，故A正确； B：将2个舞蹈节目捆绑在一起，有种方法，再与其余4个节目全排列， 所以符合题意的方法共有，故B错误； C：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有种，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目， 所以符合题意的方法有种，故C错误； D：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言， 所以不同的选法共种，故D正确. 故选：AD. 11. 如图所示，在棱长为4的正方体. 中，M，N分别为棱 的中点，则下列结论正确的是 （ ） A. 直线MN与AC所成的角为60° B. 三棱锥B-AMN 的体积为 C. 直线AM与BN是平行直线 D. 平面BMN 截正方体所得的截面面积为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量可求异面直线所成角，利用点面距可得体积，利用向量可判断两直线是否平行，作出截面，根据截面形状可得截面面积. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，，; 对于A，,,因为， 所以直线MN与AC所成的角为60°，A正确； 对于B，,,设平面的一个法向量为， 则，令，则，即； ,设点到平面的距离为，则， ,所以的面积为, 所以体积为，B正确； 对于C，,,显然不平行，C不正确； 对于D，连接,因为为中点，所以， 由正方体的性质可得，所以，即共面， 连接，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形. 因为,所以等腰梯形的高为， 其面积为，D正确. 故选：ABD 第11卷 （非选择题，92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 抛物线的焦点F到准线l的距离是 __________. 【答案】1 【解析】 【分析】化抛物线方程为标准形式，再直接求出答案. 【详解】抛物线方程为， 所以其焦点F到准线l的距离是1. 故答案为：1 13. 的展开式中的常数项为__________. 【答案】220 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】展开式的通项公式为， 令，所的展开式中的常数项为， 故答案为： 14. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段（包括端点）上一点，则的面积的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件知在中，边上的高线随点移动发生变化，而的长度保持不变，故只需求出边上的高线的取值范围，即把问题转化为求线段上一点与异面线段上一点间距离的取值范围，过点作，垂足为，则线段的长度即所求距离，由几何关系可判断出线段的长度的取值范围是，进而得到的面积的取值范围． 【详解】如图，连接，过作，垂足为. 再过作于点，连接. 由及得，又，，平面，平面， 所以平面，又平面， 故. 又，所以，而，故四边形是平行四边形，所以. 由于，，故，从而的取值范围是. 而平面，平面，故. 而，故. 因为，，故，从而的取值范围是. 将，代入，知的取值范围是. 最后，由知，故的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：立体几何中的面积最值问题往往和截面有关，这类问题的求解思路如下：①将已知的线段、角及其关系转化到截面上；②利用勾股定理，正、余弦定理，求得在截面上的相关线段的长、角的大小；③根据平面几何图形的面积公式求得几何图形面积的表达式；④利用函数的性质、基本不等式等求得最值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C过点. （1）求圆C的标准方程； （2）已知直线l过原点，倾斜角为60°，求直线l被圆C截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求圆的一般方程，再化为标准方程； （2）利用几何法求圆的弦长. 【小问1详解】 设圆C的方程为， 则，解得， 所以圆C的方程为， 化为标准方程为； 【小问2详解】 由题意可知：直线为，即， 圆的圆心坐标，半径， 设圆心C到直线的距离为，则， 故直线被圆截得的弦长==. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面， ， E是棱的中点. （1）求证: 平面； （2）求直线BP与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又因E是棱PA的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线于M，N两点，点A到C的准线的距离为3. （1）求抛物线C的方程； （2）若的面积为，求直线l的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由抛物线的性质即可求解. (2)联立直线方程和抛物线方程，再根据韦达定理和弦长公式，得到MN的长度，再由点到直线距离公式，求出三角形的高，即可求解. 【详解】解：（1）由抛物线，得其准线方程为， 因为点到准线的距离为3.所以，解得， 所以抛物线方程为. （2）由（1）得， 设直线l的方程为， 联立消去y得， 设， 由韦达定理知， 所以， 因为，所以F到直线l的距离， 所以的面积， 所以，解得， 所以直线l的方程为. 18. 图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. （1）证明：平面平面； （2）棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取的中点为，连接、，作图如下： 因为四边形是边长为正方形，所以，， 在中，，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 易知是以为斜边的等腰直角三角形，且为的中点，则， 又因为平面， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则、、、， 设，则，设，， 可得，解得，所以， 则，， 设平面的法向量，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 由图易知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 化简可得，解得或（舍去）， 所以存在满足题设条件的点，点为线段靠近的三等分点. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接、，证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，DP⊥y轴，垂足为D点，点M在DP的延长线上，且 当点P在圆. 上运动时，点M的轨迹为C. （1）求点M的轨迹C的方程； （2）当 时，点M的轨迹方程记为C₁. （i）若动点N为轨迹C₁外一点，过点N作轨迹C₁的切线，两条切线互相垂直，记点N的轨迹方程为C₂，试判断C₂与圆. 是否存在交点?若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）轨迹C₁的左右顶点分别记为A，B，圆 上有一动点E， E在x轴上方，F（2，0）， 直线EA交轨迹C₁于点G， 连接EB， GF， 设直线EB， GF的斜率存在且分别为， 若 求t的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）与圆没有交点，理由： 与圆没有交点，理由如下： 由题意可知：圆在椭圆内（有且仅有两个交点）， 但动点为轨迹外一点，所以与圆没有交点； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设，可得，代入圆即可得结果； （2）根据题意可得的方程为.（i）可知圆在椭圆内，即可得结果；（ⅱ）设，联立方程求得，可得，即可得结果. 【小问1详解】 设，因为，则， 又因为点在圆上，则， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 若，则的方程为，即， （i）略 （ⅱ）由题意可知：，    设，则直线， 联立方程， 消去y可得， 则，可得，则， 令，解得， 由题意可知， 因为，则， 又因为，可得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法，一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中市普通高中十校联盟2024年秋季学期高二期末考试 数 学 试 题 命题学校：宁强县天津高级中学 注意事项： 1.试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，共4页. 2.答第Ⅰ卷时考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 3.第Ⅱ卷答在答题卡的相应位置上，否则视为无效.答题前考生务必将自己的班级、姓名、学号、考号座位号填写清楚. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为 （ ） A. B. C. D. 2. 阅读课上，名同学分别从种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（ ） A. B. C. D. 3. 设，向量 且 ，则 等于（ ） A. 9 B. 3 C. D. 4. “”是“方程 表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知与是两条不同的直线，若，则m= （ ） A. B. 或2 C. 0或3 D. 或3 6. 已知双曲线 的离心率为 则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. y=±3x C. D. 7. 如图， 在平行六面体中， M为与的交点， N是的中点，若 则表示向量正确的是 （ ） A. B. C. D. 8. 椭圆E: 的左、右焦点分别为，若椭圆E上恰有4个不同的点P，使得为直角，则E的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是 （ ） A. 若直线l的方向向量为平面α的法向量为 则l∥α B. 对空间任意一点O和不共线三点 A，B，C，若 则P，A，B，C四点共面 C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D. 已知 若与的夹角为钝角，则 10. 某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ） A. 若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序 B. 若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序 C. 若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序 D. 从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法 11. 如图所示，在棱长为4的正方体. 中，M，N分别为棱 的中点，则下列结论正确的是 （ ） A. 直线MN与AC所成的角为60° B. 三棱锥B-AMN 的体积为 C. 直线AM与BN是平行直线 D. 平面BMN 截正方体所得的截面面积为18 第11卷 （非选择题，92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 抛物线的焦点F到准线l的距离是 __________. 13. 的展开式中的常数项为__________. 14. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段（包括端点）上一点，则的面积的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C过点. （1）求圆C的标准方程； （2）已知直线l过原点，倾斜角为60°，求直线l被圆C截得的弦长. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面， ， E是棱的中点. （1）求证: 平面； （2）求直线BP与平面所成角的正弦值. 17. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线于M，N两点，点A到C的准线的距离为3. （1）求抛物线C的方程； （2）若的面积为，求直线l的方程. 18. 图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. （1）证明：平面平面； （2）棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 如图，DP⊥y轴，垂足为D点，点M在DP的延长线上，且 当点P在圆. 上运动时，点M的轨迹为C. （1）求点M的轨迹C的方程； （2）当 时，点M的轨迹方程记为C₁. （i）若动点N为轨迹C₁外一点，过点N作轨迹C₁的切线，两条切线互相垂直，记点N的轨迹方程为C₂，试判断C₂与圆. 是否存在交点?若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）轨迹C₁的左右顶点分别记为A，B，圆 上有一动点E， E在x轴上方，F（2，0）， 直线EA交轨迹C₁于点G， 连接EB， GF， 设直线EB， GF的斜率存在且分别为， 若 求t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $