备战2025年中考——反比函数+二次函数（综合压轴题分类专题）（4）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

备战2025中考——反比函数+二次函数（综合压轴题分类专题）（4） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】反比例函数 【考点1】反比例函数值及参数..................................................1 【考点2】反比例函数图象的对称性..............................................2 【考点3】反比例函数性质......................................................3 【考点4】反比例函数k值几何意义..............................................3 【考点5】反比例函数与一次函数综合（1）.......................................4 【考点6】反比例函数与一次函数综合（2）.......................................5 【考点7】反比例函数与几何综合................................................6 【知识点2】二次函数 【考点8】二次函数图象与系数关系..............................................7 【考点9】二次函数的对称性....................................................8 【考点10】二次函数的最值.....................................................8 【考点11】二次函数的解析式...................................................9 【考点12】二次函数的平移.....................................................9 【考点13】二次函数与实际应用................................................10 【考点14】一次函数与几何综合................................................11 篇二：压轴部分 【考点15】一次函数和反比例函数综合压轴题....................................12 【考点16】反比例函数几何综合压轴题..........................................13 【考点17】二次函数图象与性质压轴题..........................................14 【考点18】二次函数几何综合压轴题............................................15 篇一：综合部分 【知识点1】反比例函数 【考点1】反比例函数值及参数 1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2024·浙江台州·二模）如图，，两点分别位于反比例函数与）的图像上，且轴，交 轴于点，轴于点，连接交轴于点，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为 ． 【考点2】反比例函数图象的对称性 1．（2020·江苏淮安·中考真题）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则 ． 2．（2022·山东济南·二模）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，过点A作轴，交OB于点D，垂足为C．若D为OB的中点，则的面积为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．4 3．（2024·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 【考点3】反比例函数性质 1．（2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【考点4】反比例函数k值几何意义 1．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .    2．（2023·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，连接，将绕B点顺时针旋转得到，且，交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为 ． 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点5】反比例函数与一次函数综合（1） 1．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出满足的x取值范围． 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为 ． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【考点6】反比例函数与一次函数综合（2） 1．（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．    （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 2．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，已知双曲线把分成、两部分，且与分别交于点C、D． （1）连接，若则点D的坐标为 ； （2）若内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为，则k的取值范围是 ． 3．（2024·安徽蚌埠·二模）若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【考点7】反比例函数与几何综合 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 2．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象经过的中点，则的值为 ．    3．（2024·四川乐山·一模）如图，的直角边在轴负半轴上，斜边上的中线的反向延长线交轴正半轴于点，双曲线（）的图象经过点，若，则等于（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【知识点2】二次函数 【考点8】二次函数图象与系数关系 1．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 2．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①该抛物线与x轴的另一个交点在点和之间；②；③；④关于x的一元二次方程有实数根．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【考点9】二次函数的对称性 1．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 2．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个公共点．且过点，．则n的值为（   ） A．48 B．36 C．24 D．12 3．（2024·福建宁德·二模）已知点，，在抛物线（）上．若点A在对称轴左侧，则，，的大小关系是 ．（用“>”，“<”或“=”连接） 【考点10】二次函数的最值 1．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数． （1）当时，该二次函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，函数有最小值，则m的值为 ． 3．（2024·江苏宿迁·二模）若实数x，y满足关系式，且，则t的取值范围为 ． 【考点11】二次函数的解析式 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    2．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 3．（2024·辽宁·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交点分别为点，点，与y轴交于点C，连接，连接，二次函数的对称轴为直线，直线交线段于点E，交x轴于点D．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【考点12】二次函数的平移 1．（2022·四川巴中·中考真题）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ① ；②；    ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 2．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点． （1）填空：____；____；_____． （2）将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值． （3）在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围． 【考点13】二次函数与实际应用 1．（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 2．（2024·河北石家庄·三模）如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O m以内． 【考点14】一次函数与几何综合 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，点P在抛物线对称轴上，且在点B下方，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，直线与抛物线交于点C，则点C的坐标为 ． 3．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点均在轴的正半轴上，顶点在轴上方，抛物线恰好经过点，点为抛物线的顶点，连接，若的面积为10，则正方形的边长为（    ） A．6 B．4或5 C．4 D．5 篇二：压轴部分 【考点15】一次函数和反比例函数综合压轴题 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． （1）已知点，在，，中，是点等和点的有_____； （2）若点的等和点在直线上，求的值； （3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 2．（2024·四川南充·模拟预测）如图，已知反比例函数的第一象限图象上的有两点和点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接、．已知与的面积满足． （1）求、、的值； （2）在线段上若有一点，当时，求出点的坐标． 【考点16】反比例函数几何综合压轴题 1．（2024·广东·中考真题）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 【考点17】二次函数图象与性质压轴题 1．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． （1）如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． （3）点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 2．（2024·福建福州·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）若，求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）已知该抛物线过点，且当时，函数有最大值． ①求该抛物线的解析式； ②若过点的直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点，直线与抛物线交于，两点，连接，，求当为何值时，的面积最小，并求出面积的最小值． 【考点18】二次函数几何综合压轴题 1．（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，的长为d． ①求d关于n的函数解析式； ②L与x轴围成的区域记为U，U与内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围． 2．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及； （3）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025中考——反比函数+二次函数（综合压轴题分类专题）（4） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】反比例函数 【考点1】反比例函数值及参数..................................................1 【考点2】反比例函数图象的对称性..............................................4 【考点3】反比例函数性质......................................................7 【考点4】反比例函数k值几何意义..............................................9 【考点5】反比例函数与一次函数综合（1）......................................13 【考点6】反比例函数与一次函数综合（2）......................................17 【考点7】反比例函数与几何综合...............................................21 【知识点2】二次函数 【考点8】二次函数图象与系数关系.............................................26 【考点9】二次函数的对称性...................................................29 【考点10】二次函数的最值....................................................31 【考点11】二次函数的解析式..................................................33 【考点12】二次函数的平移....................................................36 【考点13】二次函数与实际应用................................................40 【考点14】一次函数与几何综合................................................44 篇二：压轴部分 【考点15】一次函数和反比例函数综合压轴题....................................49 【考点16】反比例函数几何综合压轴题..........................................54 【考点17】二次函数图象与性质压轴题..........................................62 【考点18】二次函数几何综合压轴题............................................66 篇一：综合部分 【知识点1】反比例函数 【考点1】反比例函数值及参数 1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 解：当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 2．（2024·浙江台州·二模）如图，，两点分别位于反比例函数与）的图像上，且轴，交 轴于点，轴于点，连接交轴于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，设点，则点的纵坐标为，，，证明，由相似三角形的性质得到，根据代入数据计算即可．掌握图像上点的坐标特征是解题的关键． 解：∵，两点分别位于反比例函数与）的图像上，且轴，轴，设点， ∴点的纵坐标为， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 3．（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了在反比例函数图象上的点坐标的特征，找规律，找出点坐标的规律是解题的关键．分别写出前三个回形的点坐标，找出规律，得到第个回形4个点的规律，分别是，，，，然后找出第2024个点在第几个回形的第几个点即可算出答案． 解：由题意可知，反比例函数图象上点坐标为，观察图象，可以发现： 第1个回形有2个点，， 第2个回形有4个点，分别是，，， 第3个回形有4个点，分别是，，， 第个回形有4个点，分别是，，， 那么第2024个点在第507个回形的第2个点，那么点坐标为 故答案为： 【考点2】反比例函数图象的对称性 1．（2020·江苏淮安·中考真题）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则 ． 【答案】1 【分析】由，，得到是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数的对称轴，直线CD的关系式是，根据A点的坐标是，代入反比例函数，得反比例函数关系式为，在根据直线CD与反比例函数（）的图象于点，求得点的坐标是（-2，-2），则，根据点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，得到，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数，得． 解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数（）图象上， ∵，， ∴是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线， ∴CD是反比例函数的对称轴，则直线CD的关系式是， ∵A点的坐标是，代入反比例函数，得 则反比例函数关系式为 又∵直线CD与反比例函数（）的图象于点， 则有，解之得：（D点在第三象限）， ∴D点的坐标是（-2，-2）， ∴， ∵点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上， ∴，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限）， 将P（1，1）代入反比例函数，得， 故答案为：1． 【点拨】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键． 2．（2022·山东济南·二模）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，过点A作轴，交OB于点D，垂足为C．若D为OB的中点，则的面积为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先设出点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点D，A的坐标，利用三角形面积公式，即可得． 解：设点B的坐标（a，）， ∵D是OB的中点， ∴D ∵AC⊥x轴， ∴点A的横坐标为： ， 又∵点A在反比例函数y=， ∴点A的纵坐标 ∴AD=， ∴的面积为 故答案为：A 【点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数图象上点的坐标特征解答． 3．（2024·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 解：∵一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴一次函数与反比例函数的图象是关于直线对称， ∵点C在直线上， ∴当点P在直线上时，线段最小， ∴点在反比例函数的图象上， ∴， ∵, ∴， ∴的最小值为 故答案为： 【点拨】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 【考点3】反比例函数性质 1．（2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见分析 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． （1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式； （2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小． 解：（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， ∴． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据，且，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：根据，且， ∴即， 解得， 故答案为：． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质. 先利用一元二次方程无实数根得到，解得，则，根据反比例的图象和性质即可判断反比例函数的图象所在的象限. 解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限， 故选：C 【考点4】反比例函数k值几何意义 1．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .    【答案】6 【分析】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值. 解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则， ∵， ∴，    ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积是， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 解得， 故答案为：6 【点拨】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键. 2．（2023·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，连接，将绕B点顺时针旋转得到，且，交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为 ． 【答案】18 【分析】本题以反比例函数为背景考查了反比例函数系数k的几何意义，过点B作轴于点M，作垂直y轴，交延长线于点N，根据，的面积为，求出的面积，进而求得和的面积之和．通过证得，得出两三角形面积之比，求出的面积值，根据反比例函数中k的几何意义求出k的值． 解：过点B作轴于点M，作垂直y轴，交延长线于点N，则四边形是矩形， ∵，的面积为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，， ， ∵点B在反比例函数上， ∴． 故答案为：18． 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 【考点5】反比例函数与一次函数综合（1） 1．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出满足的x取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 解：（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ． ∵，两点均在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的解析式为． 综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴当时，x的取值范围为或． 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键． 反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解． 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 设， ∵， 解得：或， ∴的坐标为或， 故答案为：或． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及根与系数的关系，解直角三角形，解答此题的关键根据题意作出辅助线，根据锐角三角函数的定义沟通各线段之间的关系． 设直线与轴交于点，作轴于，轴于．先求出直线与轴和轴的两交点与的坐标，根据与的长度求出比值即可得到角的正切值，利用特殊角的三角函数值求出角的度数，联立直线与双曲线方程，消去后得到关于的一元二次方程，利用韦达定理表示出与的积，然后在直角三角形中利用表示出与的关系，同理在直角三角形中，利用表示出与的关系，根据列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值． 解：设直线与轴交于点，作轴于，轴于． ， 当时，，即点的坐标为， 当时，，即点坐标为， ，． 在中，， ． 直线与双曲线在第一象限交于点、两点， ， 整理得，， 由韦达定理得：，即， ， ， 同理可得：， ， 解得：． 故选：C． 【考点6】反比例函数与一次函数综合（2） 1．（2024·四川广安·中考真题）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．    （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）或 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，然后的面积大于12，再建立不等式即可求解． 解：（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图，    对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积大于12， ∴，即， 当时，则, 解得：， 当时，则， 解得：； ∴或． 【点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 2．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，已知双曲线把分成、两部分，且与分别交于点C、D． （1）连接，若则点D的坐标为 ； （2）若内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数解析式、反比例函数与几何综合以及图象中的整点问题．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质以及数形结合的思想． （1）由，可求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入求得的值，然后可得反比例函数解析式，设直线的解析式为，将点坐标代入求得的值，然后可得直线的解析式，联立反比例函数与直线的解析式，求得合适的的值，然后代入反比例函数解析式求解可得点坐标； （2）由题意知，中共有7个不含边界的整点，分别为，根据题意确定和内的点坐标，然后确定的取值范围即可． 解：（1）根据题意可得， ∴， 解得：， ∴， ， 将代入得， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立两个解析式得， 解得：， ， ， 将代入得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：由题意知，中共有7个不含边界的整点，分别为， ∵内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与内（不含边界）的整点个数比为， ∴内点坐标为内点坐标为， 由第二象限的反比例函数图象越靠近原点越大可得， 故答案为：． 3．（2024·安徽蚌埠·二模）若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键． 解：、是方程即的两根， ，， ∴异号， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 选项A、C不符合题意； B．由图象得：，，符合题意； D ．由图象得：，， ，结论错误，不符合题意； 故选：B． 【考点7】反比例函数与几何综合 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）点的坐标为；（3）或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 解：（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 2．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象经过的中点，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定．过点B作轴，根据题意得出，，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可． 解：如图，过点B作轴，   ，，， ，， ，， ，， ，， 与关于直线对称， ，， ， ，B，三点共线， ， ， ， ， 将其代入，得：， 故答案为：． 3．（2024·四川乐山·一模）如图，的直角边在轴负半轴上，斜边上的中线的反向延长线交轴正半轴于点，双曲线（）的图象经过点，若，则等于（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】设，则，过作轴于，根据为中位线，得，易证，设为，由知，，所以，故可求出值． 解：设，则，过作轴于， 由题意得 ∵轴， ∴ ∴ ∴ ∵为中点， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 设为，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点拨】本题主要考查反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线性质，解题的关键是正确作出辅助线，再根据三角形相似解决问题． 【知识点2】二次函数 【考点8】二次函数图象与系数关系 1．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 2．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 3．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①该抛物线与x轴的另一个交点在点和之间；②；③；④关于x的一元二次方程有实数根．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程，二次函数的对称性，掌握二次函数的图象及性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．根据二次函数的对称性可判断①，根据该抛物线与x轴的另一个交点在点和，并结合图像可知，当时，，可判断②，根据抛物线的顶点坐标为，可得抛物线与直线有唯一一个交点，进而可得方程有两个相等的实数根，由可判断③，由抛物线顶点坐标得到，即可得到直线与抛物线没交点，即一元二次方程没实数根，进而可得判断④． 解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与x轴的一个交点在点和之间， 该抛物线与x轴的另一个交点在点和，故①不符合题意； 该抛物线与x轴的另一个交点在点和， 当时，，故②符合题意； 抛物线的顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 方程有两个相等的实数根， ， ，故③符合题意； 抛物线的开口向下，顶点坐标为， ， 直线与抛物线没有交点， 一元二次方程没有实数根，故④不符合题意； 综上所述，正确的结论是②③， 故选：． 【考点9】二次函数的对称性 1．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解． 解：∵抛物线的对称轴为直线 ∵抛物线经过两点 ∴， 即， ∴， ∵抛物线与轴有交点， ∴， 即， 即，即， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个公共点．且过点，．则n的值为（   ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法等，解题的关键是由题意，得，又抛物线过点，，可知、关于直线对称，所以，，，，把点坐标代入，化简整理即可解决问题． 解：由题意， ， 又抛物线过点，， 、关于直线对称， ，，，， 把点坐标代入， ， ， ． 故选：B． 3．（2024·福建宁德·二模）已知点，，在抛物线（）上．若点A在对称轴左侧，则，，的大小关系是 ．（用“>”，“<”或“=”连接） 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像的对称性，根据二次函数的性质和二次函数图像上点的坐标特征即可得到答案． 解：抛物线，其中 抛物线的开口向下，对称轴为：直线，当时，随的增大而增大，当时， 随的增大而减小， 点、、都在抛物线（）上， 关于抛物线对称轴的对称点为， ， 故答案为：． 【考点10】二次函数的最值 1．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 2．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数． （1）当时，该二次函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，函数有最小值，则m的值为 ． 【答案】 0或2 【分析】（1）运用配方法得到二次函数的顶点式，写出顶点坐标； （2）由于开口向下，根据对称轴位置分三种情况确定最小值的情况，分别代入计算即可解题． 本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的配方法求顶点坐标和函数的最值求法是解题的关键． 解：（1）当时，，顶点坐标为． （2）抛物线对称轴为直线， ①当时，且在时有最小值， 根据二次函数对称性，当或时，函数有最小值，不妨当时，最小值为，即可得到：，解得：或，不符合题意，舍去； ②当时，且在时有最小值，则时，最小值为， 即可得到：，解得：或，所以； ③当时，且在时有最小值，则时，最小值为， 即可得到：，解得：或6，所以； 综上所述：m的值为0或2． 3．（2024·江苏宿迁·二模）若实数x，y满足关系式，且，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据题意得到是解题的关键． 由实数，满足关系式，且，得出，由，求得，利用二次函数的性质即可得出． 解：实数，满足关系式，且， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点11】二次函数的解析式 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·辽宁·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交点分别为点，点，与y轴交于点C，连接，连接，二次函数的对称轴为直线，直线交线段于点E，交x轴于点D．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查是二次函数综合题，利用待定系数法代入两点即可得到二次函数解析式以及对称轴，分别求出点坐标，求出直线的解析式，利用勾股定理结合方程结合，逐一分析，即可选出答案． 解：把点，点代入，得，解得， ∴二次函数的解析式为：， ∴对称轴为直线，故A正确； 令，则， ∴点， ∴， ∵点， ∴， ∴，设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为，当时，， ∴， ∴点， ∴，故B正确； ∵， ∴故C正确； ∵， ∴， ∴，故D结论错误． 故选：D． 【考点12】二次函数的平移 1．（2022·四川巴中·中考真题）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ① ；②；    ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确． 解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3， ∴对称轴为，即， ∴整理得：，故①正确； ∵与y轴的交点坐标为（0，3）， 可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成， ∴c＝-3，故②错误； ∵中a＞0，， ∴b＜0， 又∵c＝-3＜0， ∴，故③正确； 设抛物线的解析式为， 代入（0，3）得：， 解得：a＝－1， ∴， ∴顶点坐标为（1，4）， ∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5）， ∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点． （1）填空：____；____；_____． （2）将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值． （3）在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】（1）将点坐标代入直线中求出，根据二次函数的对称轴和经过点得到方程组，解方程即可求出、； （2）将抛物线化为顶点式，平移后得到平移后的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线求解； （3）先求出平移后的解析式，设抛物线对称轴与轴交于点，根据题意易得到外接圆的圆心必在边的中垂线上，设该中垂线交抛物线于点，，进而求出点，的坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，得到这两点的横坐标，进而求出和的横坐标，即可求出的取值范围． 解：（1）解：点坐标为，直线经过点， ， ． 二次函数图象的对称轴是直线，是二次函数图象是的点， ，， 联立组成方程组为， 解得． 故答案为：；；． （2）解：由题意知：抛物线解析式为，即． 将的图象向右平移个单位后得到， 其顶点坐标为． ∵顶点恰好落在直线上， ， ． （3）解：由题意知：平移后的抛物线解析式为，顶点． 设抛物线对称轴与轴交于点． ， 为等腰直角三角形． 点在轴上， 则外接圆的圆心必在边的中垂线上． 设该中垂线交抛物线于点，． 由可知线段的中点坐标为， ，故可求得该中垂线解析式为． ∴解方程组 解得：． 即，两点的横坐标分别为． 过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，， 则，两点的横坐标分别为． ． ． 从而点的横坐标为． 同理． ． 从而点的横坐标为． 的取值范围是． 【点晴】本题主要考查了二次函数的综合，二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，二次函数平移规律，二次函数与一次函数的交点，理解相关知识是解答关键． 【考点13】二次函数与实际应用 1．（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 【答案】（1）；（2）销售产品所获利润是万元；（3）当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元； 【分析】（1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可； （2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案； （3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可； 解：（1）解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：∵， ∴当时，成本最小值为， ∴， ∴销售产品所获利润是（万元）； （3）解：设销售利润为万元， ∴ ， 当时，获得最大利润， 最大利润为：（万元）； 【点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键． 2．（2024·河北石家庄·三模）如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故选：C． 3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O m以内． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意可得第一象限内抛物线的最高点为，且经过，用待定系数法可求出，当时，即可求解；能从实际意义中找出顶点坐标，会用待定系数法求出解析式，理解不被淋湿的条件是解题的关键． 解：由题意得 第一象限内抛物线的最高点为，且经过， 可设， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：，（舍去）， 当时， ， 第二象限的抛物线同理可求， 不被淋湿， 他站立时必须在离水池中心O以内； 故答案：． 【考点14】一次函数与几何综合 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）；（2）存在，最大值是，；（3）或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）两点式直接求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，根据三角函数得到，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 解：（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴； （2）存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，点P在抛物线对称轴上，且在点B下方，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，直线与抛物线交于点C，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，图形的旋转问题，全等三角形的判定和性质．过作轴于，过作于．则，证明，可得，，设，则， 可得，再求出直线的解析式，然后联立两函数解析式，即可求解． 解：如图，过作轴于，过作于．则， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴． ，， ， ，抛物线的对称轴为直线， ∴， 令，， ∴， 设，则， ， 设直线的解析式为， ，解得： ∴直线的解析式为． 令， ， ，， ． 故答案为： 3．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点均在轴的正半轴上，顶点在轴上方，抛物线恰好经过点，点为抛物线的顶点，连接，若的面积为10，则正方形的边长为（    ） A．6 B．4或5 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，确定该抛物线的顶点坐标是解题关键．设正方形的边长为，将抛物线解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，过点作于点，易知，然后结合三角形面积公式建立关于的一元二次方程并求解，即可获得答案． 解：设正方形的边长为， 即， ∵抛物线， ∴该抛物线顶点， 过点作于点，如下图， 则， ∵的面积为10， ∴， 整理可得 ， 解得，， ∴正方形的边长为4或5． 故选：B． 篇二：压轴部分 【考点15】一次函数和反比例函数综合压轴题 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． （1）已知点，在，，中，是点等和点的有_____； （2）若点的等和点在直线上，求的值； （3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 【答案】（1）和；（2）；（3）或． 【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解； （）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解； （）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解； 本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键． 解：（1）解：由，得，， ∴点是点的等和点； 由，得，，， ∵， ∴不是点的等和点； 由，得，， ∴是点的等和点； 故答案为：和； （2）解：设点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴； （3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴点的坐标为或．    2．（2024·四川南充·模拟预测）如图，已知反比例函数的第一象限图象上的有两点和点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接、．已知与的面积满足． （1）求、、的值； （2）在线段上若有一点，当时，求出点的坐标． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）先求出点坐标，然后利用三角形的面积公式可求出，根据即可求出，设，于是可得，根据点在反比例函数上即可求出的值，利用点在反比例函数上即可求出的值，利用一次函数的图象经过点即可求出的值； （2）连接，首先求出直线与轴的交点的坐标，然后可证得，于是可得，设，则有，解该分式方程，即可求得点的坐标． 解：（1）解：， 当时，， ， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， 又点在反比例函数上， ， ， 点在反比例函数上， ， ， 又一次函数的图象经过点， ， 解得：， 、、的值分别为，，； （2）解：如图，连接， 由（1）可知：直线的表达式为， 当时，， ， ， 轴， ， 轴轴， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得：或， 经检验，或是原分式方程的解， 点在第一象限， 将舍去， ， ， 点的坐标为． 【点拨】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，解一元一次方程，垂线的定义，相似三角形的判定与性质，解分式方程等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 【考点16】反比例函数几何综合压轴题 1．（2024·广东·中考真题）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3） 【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解； （2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解； （3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围． 解：（1）设，则， ∵轴， ∴D点的纵坐标为， ∴将代入中得：得， ∴， ∴， ∴， ∴将代入中得出， ∴函数的图象必经过点C； （2）∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴， ∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴； （3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形，， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作，， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H， ∵, ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴当与的边有交点时，k的取值范围为． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 【答案】（1）是矩形的“友好函数”；（2）①；②；③ 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可； 分四种情况讨论，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，根据矩形面积公式，求出，即可求出的值． 解：（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； （2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即  ，， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，， ③当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，不符合题意， 当，且时， 解得，则， ， ， ． 【点拨】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键； 【考点17】二次函数图象与性质压轴题 1．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． （1）如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． （3）点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2），；（3）或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案； 解：（1）解：该抛物线经过点 解得 顶点坐标为 （2）解： 对称轴为，函数图象开口向上 ， 当时，取最大值4 解得， （3）解： 当， 当时， 当交点在线段之间时，当时， 解得； 当时， 解得； 综上，或． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．（2024·福建福州·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）若，求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）已知该抛物线过点，且当时，函数有最大值． ①求该抛物线的解析式； ②若过点的直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点，直线与抛物线交于，两点，连接，，求当为何值时，的面积最小，并求出面积的最小值． 【答案】（1）；（2）①；②， 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数与一元二次方程的关系等，解题的关键是用含的代数式表示； （1）当时，，故抛物线的顶点坐标为； （2）①由当 时，函数有最大值，知抛物线的对称轴为直线，且，故，即，得，而该抛物线过点，有，得，从而抛物线解析式为； ②求出，，设直线的解析式为，由直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个 交点，可得，故，即可解得点坐标为，与点重合，由直线，值直线恒过点，，联立，得，可得，故，从而得当时， 有最小值，最小值为． 解：（1）解：当时，抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：①当 时，函数有最大值， 抛物线的对称轴为直线，且， ，即， 该抛物线的解析式为， 该抛物线过点， ， 解得， ， 抛物线解析式为； ②如图， 在中，令得， 解得，， ，， 设直线的解析式为， 联立得， 直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个 交点， ， 解得 （舍去），， ， 解得， 点坐标为，与点重合， 直线， 直线恒过点， ， 联立，得， ， ，， ， ， 当时，有最小值，最小值为． 【考点18】二次函数几何综合压轴题 1．（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，的长为d． ①求d关于n的函数解析式； ②L与x轴围成的区域记为U，U与内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）；（2）点M的横坐标为；（3）①；②或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，作轴于点，构造直角三角形，利用锐角三角函数或者相似建立关于的方程求解即可； （3）①由二次函数平移可得出图象的解析式为，从而得到，再分类讨论去绝对值即可； ②根据题干条件得出整数点，，，再分别两两进行分类讨论，建立二次函数不等式即可解决． 解：（1）解：二次函数与轴交于， ， 解得：； （2）， 二次函数表达式为：， 令，解得或，令得， ，，， 设， 作轴于点，如图， ， ，即， 解得或（舍去）， 的横坐标为； （3）①将二次函数沿水平方向平移， 纵坐标不变为4， 图象的解析式为， ， ， ； ②由①得，画出大致图象如下， 随着增加而增加， 或， 中含，，三个整点（不含边界）， 当内恰有2个整数点，时， 当时，，当时，， ， ，或， ， 或， ； 当内恰有2个整数点，时， 当时，，当时，， ， 或，， ， 或， ； 当内恰有2个整数点，时，此种情况不存在，舍去． 综上所述，的取值范围为或． 【点拨】本题主要考查了二次函数综合，包括用待定系数法求二次函数表达式及二次函数与线段交点的问题，也考查了二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及数形结合法是解题关键． 2．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及； （3）点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为：；（2）；；（3）存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况点为直角顶点；点为直角顶点；点为直角顶点分别讨论求解即可． 解：（1）解：点，， ，， ， ，                                       把和代入二次函数中得： ， 解得：，                                   二次函数的解析式为：； （2）解：如图1， 直线经过点和， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为：，                    二次函数， 设点，则， ，       当时，的最大值为， 点的坐标为， ； （3）解：存在， ， 对称轴为直线，       设，分三种情况： 点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ；                  点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ；                            点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：或， 或， 综上，点的坐标为或或或． 【点拨】本题考查的是二次函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、勾股定理、解二元一次方程、解一元二次方程等知识，熟练掌握待定系数法和分类讨论的思想是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$