2025年安徽省中考数学一轮复习精练提升课件 第五章　四边形

2025年安徽省中考数学一轮复习 精练提升 第五章　四边形 第二节　矩形、菱形、 正方形 1 基　础　达　标 2 能　力　提　升 目录 1 基　础　达　标 第一课时　矩形 1.在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（　　） A.AB＝AC B.AC⊥BD C.AB＝AD D.AC＝BD 2.如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（　　） A.27° B.53° C.57° D.63° D D 点击回到目录 3.如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为　 　. 4.（2024·常州）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB，CD于点E，F.若AD＝8，BE＝10，则tan∠ABD＝　 . 28° 第3题图 第4题图 点击回到目录 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF.若AC＝10，则EF＝　 　. 点击回到目录 6.（2023·大庆）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°. （1）求证：四边形ACFD是矩形； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE， ∵E为线段CD的中点，∴DE＝CE， ∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE＝FE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵∠ACF＝90°，∴四边形ACFD是矩形； 点击回到目录 （2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积. 【解答】（2）∵CD＝13，CF＝5， ∴BC＝AD＝CF＝5， ∵四边形ACFD是矩形， ∴∠CAD＝90°，AF＝CD， ∴AC＝＝12， ∴△ADE的面积＝△ACD的面积＝×5×12＝15， 平行四边形ABCD的面积＝BC·AC＝5×12＝60， ∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积－△ADE的面积＝60－15＝45. 点击回到目录 第二课时　菱形 1.（2023·湘潭）如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A.20° B.60° C.70° D.80° C 点击回到目录 2.（2024·绥化）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A A. B.6 C. D.12 点击回到目录 3.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝（　　） C A.4 B.2 C.2 D. 点击回到目录 4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　） A.4 B.4 C.8 D.8 C 点击回到目录 5.（2024·南通）若菱形的周长为20 cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 　 cm. 6.如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°.在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上.若AE＝3BE，则MN的长为　 . 点击回到目录 7.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N. 求证：（1）△ADE≌△CDF； 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB. ∵BE＝BF，∴AE＝CF. 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； 点击回到目录 （2）ME＝NF. 【解答】（2）由（1）知△ADE≌△CDF， ∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF. ∵AD＝CD，∴∠DAM＝∠DCN， ∴∠DMN＝∠DNM，∴DM＝DN， ∴DE－DM＝DF－DN，∴ME＝NF. 点击回到目录 8.（2024·德州）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD. （1）求证：▱ABCD是菱形； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD. ∴∠BAC＝∠ACD. ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠DAC＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴四边形ABCD是菱形； 点击回到目录 （2）若AC＝8，∠DCB＝74°，求菱形ABCD的边长. （参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 【解答】（2）如图，连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，∠DCB＝74°， ∴∠COB＝90°，OA＝OC＝AC＝4，∠ACB＝∠DCB＝37°， ∴BC＝＝5， 即菱形ABCD的边长为5. 点击回到目录 第三课时　正方形 1.（2024·亳州三模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，AD∥BC，则下列说法错误的是（　　） A.若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B.若BD平分∠ABC，则四边形ABCD是菱形 C.若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 D.若AB＝BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 D 点击回到目录 2.如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若AB＝2，则OE的长度为（　　） A. B. C.2 D.2 B 点击回到目录 3.（2024·连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80 cm，则图中阴影图形的周长是（　　） A.440 cm B.320 cm C.280 cm D.160 cm A 点击回到目录 4.（2023·广西）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为　 . 点击回到目录 5.（2023·绍兴）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足.连接EF，AG，并延长AG交EF于点H. （1）求证：∠DAG＝∠EGH； 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD， ∴∠ADE＝∠GEC＝90°，∴AD∥GE， ∴∠DAG＝∠EGH； 点击回到目录 （2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由. 【解答】（2）AH⊥EF，理由如下： 如图，连接GC交EF于点O， ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADG＝∠CDG＝45°， 又∵DG＝DG，AD＝CD， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG＝∠DCG. 点击回到目录 在正方形ABCD中，∠ECF＝90°， 又∵GE⊥CD，GF⊥BC， ∴四边形FCEG为矩形，∴OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DAG＝∠OEC， 由（1）得∠DAG＝∠EGH， ∴∠EGH＝∠OEC， ∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°， ∴∠GHE＝90°，∴AH⊥EF. 点击回到目录 2 能　力　提　升 1.（2024·上海）四边形ABCD为矩形，过A，C作对角线BD的垂线，过B，D作对角线AC的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（　　） A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 2.（2024·资阳）第14届国际数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF∶AH＝1∶3，则sin∠ABE＝（　　） A C A. B. C. D. 点击回到目录 3.（2023·大庆）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝（　　） A.45°＋α B.45°＋α C.90°－α D.90°－α D 点击回到目录 4.（2023·宁波）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连接AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S－S1－S2的值，只需知道（　　） A.△ABE的面积 B.△ACD的面积 C.△ABC的面积 D.矩形BCDE的面积 C 点击回到目录 5.如图，在矩形ABCD中，AD＝2.将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A'，折痕为DE.若将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，则AB＝　 . 点击回到目录 6.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是__________. －1　 点击回到目录 7.（2023·天津）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA＝ED＝. （1）△ADE的面积为　 　； （2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为　 . 3 点击回到目录 8.（2024·淮南期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G. （1）求证：四边形EFGO是矩形； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC， ∵点E是AB的中点，∴AE＝BE. ∴OE∥BC，∴OE∥FG， ∵EF⊥BC于点F，OG⊥BC于点G，∴EF∥OG，∴四边形EFGO是平行四边形. ∵EF⊥BC，∴∠EFG＝90°， ∴四边形EFGO是矩形； 点击回到目录 （2）若四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝4，求EF的长. 【解答】（2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC，OC＝AC，OB＝BD， ∵AC＝4，BD＝4，∴OA＝OC＝2，OB＝2， 在Rt△BOC中，BC＝＝4， ∴BC·OG＝OC·OB， 即×4×OG＝×2×2， ∴OG＝，∴EF＝OG＝. 点击回到目录 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连接BE. （1）求证：四边形ADBE是菱形； 【解答】（1）证明：∵AE∥BC，且AE＝BD， ∴四边形ADBE是平行四边形， ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， D是BC的中点， ∴AD＝BD＝CD＝BC， ∴四边形ADBE是菱形； 点击回到目录 （2）连接CE，若AB＝2，∠AEB＝60°，求CE的长. 【解答】（2）如图，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F， ∵四边形ADBE是菱形，∴AE＝BE， ∵∠AEB＝60°， ∴△AEB是等边三角形， ∴BE＝AB＝2，∴BD＝DC＝BE＝2， ∵AE∥BC，∴∠EBF＝∠AEB＝60°， 在Rt△EFB中，∠F＝90°，∠EBF＝60°，BE＝2， ∴BF＝1，EF＝， 在Rt△EFC中，∠F＝90°，CF＝5，EF＝， ∴CE＝＝2. 点击回到目录 10.如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE.过点A作AE的垂线交DE于点P，且AE＝AP. （1）求证：△APD≌△AEB； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵∠EAP＝90°，∴∠DAP＋∠BAP＝∠BAP＋∠BAE＝90°， ∴∠DAP＝∠BAE， 在△APD和△AEB中， ∴△APD≌△AEB（SAS）； 点击回到目录 （2）求证：EB⊥ED； 【解答】（2）证明：由（1）知，△APD≌△AEB， ∴∠APD＝∠AEB，PD＝BE. ∵AE＝AP，∠EAP＝90°， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴∠AEP＝∠APE＝45°， ∴∠APD＝∠AEB＝135°， ∴∠BEP＝90°，∴EB⊥ED； 点击回到目录 （3）若AE＝，S正方形ABCD＝26，求点B到直线AE的距离. 【解答】（3）如图，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F， ∵∠AEP＝∠APE＝45°，EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB＝∠FBE＝45°，∴BF＝EF. ∵S正方形ABCD＝26，∴AB2＝26， 在Rt△ABF中，BF2＋AF2＝AB2， ∴BF2＋（EF＋AE）2＝AB2， 即BF2＋（BF＋AE）2＝AB2， ∴BF2＋＝26， 解得BF＝2或BF＝－3（舍去）， ∴点B到直线AE的距离为2. 点击回到目录 11.（1）发现：如图1所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于点G.求证：△BFG≌△BCG； 【解答】（1）证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°， ∴∠BFG＝90°＝∠C. ∵AB＝BC＝BF，BG＝BG， ∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）； 点击回到目录 （2）探究：如图2，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6.将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长. 点击回到目录 【解答】（2）如图，延长BH，AD交于点Q， 设FH＝HC＝x， 在Rt△BCH中，BC2＋CH2＝BH2， ∴82＋x2＝（6＋x）2，解得x＝， ∴DH＝DC－HC＝. ∵∠BFG＝∠BCH＝90°，∠HBC＝∠FBG， ∴△BFG∽△BCH，∴， 即，∴BG＝，FG＝. 点击回到目录 ∵EQ∥GB，DQ∥CB， ∴△EFQ∽△GFB， △DHQ∽△CHB， ∴，即， ∴DQ＝. 设AE＝EF＝m，则DE＝8－m， ∴EQ＝DE＋DQ＝8－m＋－m. 点击回到目录 ∵△EFQ∽△GFB，∴， 即，解得m＝， ∴AE的长为. 点击回到目录 $$2025年安徽省中考数学一轮复习 精练提升 第五章　四边形 第一节　多边形和 平行四边形 1 基　础　达　标 2 能　力　提　升 目录 1 基　础　达　标 1.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（　　） A.等边三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 C 2.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（　　） A.∠B＝∠F B.∠B＝∠BCF C.AC＝CF D.AD＝CF B 点击回到目录 3.（2024·巴中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4.若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（　　） A.4 B.5 C.6 D.8 B 点击回到目录 4.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝6，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝（　　） C A.8 B.10 C.6 D.6 点击回到目录 5.如图，▱ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝　 　度. 61 点击回到目录 6.（2023·广安）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形. 【解答】证明：∵AF＝CE， ∴AF－EF＝CE－EF， ∴AE＝CF. ∵∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD. 点击回到目录 在△ABE与△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 点击回到目录 2 能　力　提　升 1.（2024·青岛）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（　　） B A.90° B.99° C.108° D.135° 点击回到目录 2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（1，1），B（2，－2），再找一点C，使它与点A，B，O构成的四边形是平行四边形，则点C的坐标不可能是（　　） D A.（－1，3） B.（3，－1） C.（1，－3） D.（－2，3） 点击回到目录 3.如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 B 点击回到目录 4.（2024·天长市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点M，延长AB到点E，使BE＝BC，过点B作BN⊥EC于点N，连接MN.若平行四边形ABCD的周长为8，则MN的长是　 　. 2 点击回到目录 5.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，AB＝EF＝FD.∠DAE＝90°，∠ABC＝60°，则∠CBD的大小是　 　. 20° 点击回到目录 6.如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE. 点击回到目录 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC. ∵BC＝BF，CD＝DE， ∴BF＝AD，AB＝DE. ∵∠ADE＋∠ADC＋∠EDC＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF， ∴∠ABF＝∠ADE， ∴△ABF≌△EDA； （1）求证：△ABF≌△EDA； 点击回到目录 【解答】 （2）证明：延长FB交AD于点H. ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°. ∵△ABF≌△EDA， ∴∠EAD＝∠AFB. ∵∠EAD＋∠FAH＝90°， ∴∠FAH＋∠AFB＝90°， ∴∠AHF＝90°，即BF⊥AD. ∵AD∥BC，∴BF⊥BC. （2）若AF⊥AE，求证：BF⊥BC. 点击回到目录 7.（2023·扬州）如图，点E，F，G，H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF，CE相交于点M，连接AG，CH相交于点N. （1）求证：四边形AMCN是平行四边形； 【解答】（1）∵点E，F，G，H分别是平行四边形ABCD各边的中点， ∴AH∥CF，AH＝CF，∴四边形AFCH是平行四边形，∴AM∥CN， 同理可得，四边形AECG是平行四边形， ∴AN∥CM，∴四边形AMCN是平行四边形； 点击回到目录 （2）若▱AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积. 【解答】（2）如图，连接AC，∵H，G分别是AD，CD的中点， ∴点N是△ACD的重心，∴CN＝2HN，∴S△ACN＝S△ACH. 又∵CH是△ACD的中线，∴S△ACN＝S△ACD. 又∵AC是平行四边形AMCN和平行四边形ABCD的对角线， ∴S平行四边形AMCN＝S平行四边形ABCD. 又∵▱AMCN的面积为4， ∴▱ABCD的面积为12. 点击回到目录 8.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°. （1）求证：AB＝AE； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝60° ∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE； 点击回到目录 （2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE； ①若m＝，求平行四边形ABCD的面积； ②设＝k，试求k与m满足的关系. 【解答】（2）①∵＝m＝，∴AB＝BC，∴AE＝BE＝BC，∴AE＝CE， ∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形， ∴∠AEB＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°， ∴∠BAC＝90°，当AC＝4时，AB＝4， ∴平行四边形ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB·AC＝4×4＝16； 点击回到目录 ②∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD， ∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝mBC， ∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍， 设BC边上的高为h，BC的长为b， ∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝×mb＝， ∴S四边形OECD＝S△BCD－S△OBE＝bh， ∵S△AOD＝×b＝，∴bh×＝k， ∴2－m＝k，∴m＋k＝2. 点击回到目录 $$