2025年安徽省中考数学一轮复习精练提升 第四章　三角形课件

2025年安徽省中考数学一轮复习 精练提升 第四章　三角形 第五节　相似三角形 1 基　础　达　标 2 能　力　提　升 目录 1 基　础　达　标 1.（2024·重庆A）若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是（　　） A.1∶3 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶9 2.（2023·重庆B）如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　） D B A.4 B.9 C.12 D.13.5 点击回到目录 3.（2023·浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是（　　） A.（2，4） B.（4，2） C.（6，4） D.（5，4） C 点击回到目录 4.（2023·南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为（　　） B A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m 点击回到目录 5.（2024·陕西）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为（　　） A.2 B.3 C. D. B 点击回到目录 6.（2024·扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B'.设AB＝36 cm，A'B'＝24 cm.小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A'B'的距离为　 　 cm. 20 点击回到目录 7.（2023·大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是　 　. △MCB 点击回到目录 8.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为　 . 点击回到目录 9.（2024·芜湖一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. （1）求证：BC2＝BD·AB； 【解答】（1）证明： ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠BCD＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC， ∴，即BC2＝BD·AB； 点击回到目录 （2）若BD＝2，AD＝3，求CD的长. 【解答】（2）由（1）知∠A＝∠BCD， 又∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴△BCD∽△CAD，∴， 即CD2＝BD·AD， ∵BD＝2，AD＝3， ∴CD＝. 点击回到目录 10.（2023·上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD. （1）求证：DE＝AF； 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ACF＝∠DAE. ∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD， ∴△ACF≌△DAE（ASA）， ∴AF＝DE； 点击回到目录 （2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF·CE. 【解答】（2）∵△ACF≌△DAE， ∴∠AFC＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DEC， ∵∠ABF＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE， ∴，∴AF·DE＝BF·CE， ∵AF＝DE，∴AF2＝BF·CE. 点击回到目录 11.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF，AB∥DE，AC与DE相交于点O. （1）求证：∠ACB＝∠F； 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵∠BAC＝∠EDF，∴∠ACB＝∠F； 点击回到目录 （2）若BE＝CF＝CE，且S△AOD＝1，求S四边形ABFD的值. 【解答】（2）∵BE＝CF＝CE， ∴BC＝EF， 易得△ABC≌△DEF，∴AB＝DE. 又∵AB∥DE，∴四边形ADEB是平行四边形， ∴AD＝BE＝CE，又∵AD∥BF， ∴△ADO∽△CEO， ∴， ∴. 点击回到目录 ∵S△AOD＝1，∴S△COE＝4， ∵AB∥DE，∴△COE∽△CAB， ∴， ∴S△ABC＝9， ∵△ABC≌△DEF，∴S△DEF＝9， ∴S四边形ABFD＝2S△ABC－S△COE＋S△AOD＝2×9－4＋1＝15. 点击回到目录 2 能　力　提　升 1.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　） A.3∶4 B.9∶16 C.9∶1 D.3∶1 B 点击回到目录 2.如图，某同学在A处看见河对岸有一大树P，想测得A与P的距离，他先从A向正西走90米到达P的正南方C处，再回到A向正南走30米到D处，再从D处向正东走到E处，使得E，A，P三点恰好在一条直线上，测得DE＝22.5米，则A与P的距离为（　　） A.112.5米 B.120米 C.135米 D.150米 D 点击回到目录 3.（2023·威海）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（　　） A.－1 B.－1 C.＋1 D.＋1 C 点击回到目录 4.（2024·六安金寨县模拟）如图，在▱ABCD中，AD＝5，E是BC上的一点，且＝，过点E作EF//CD，交BD于点F，射线AF交CD于点N，交BC的延长线于点M，则＝（　　） A. B. C. D. B 点击回到目录 5.如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC，AB相交，交点分别为M，N.若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN＝y，则y关于x的函数关系用图象可以大致表示为（　　） C 点击回到目录 6.（2024·乐山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若＝，则＝　 . 点击回到目录 7.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中的值为　 . 点击回到目录 8.（2023·广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为　 　. 15 点击回到目录 9.（2023·泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC于点G. 点击回到目录 （1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数； 【解答】（1）∵△ABC，△CDE是两个等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠CFE＝180°－∠ACB－∠CED＝90°， ∵CE＝CD，∴EF＝DF＝DE， ∵BH＝DH，EH⊥BD，∴BE＝DE， ∴EF＝BE，∴cos∠BED＝， ∴∠BED＝60°； 点击回到目录 （2）求证：△EFG∽△BFD； 【解答】（2）证明：由（1）得∠CFE＝90°， ∴CF⊥DE， ∴∠BFD＝∠EFG＝∠BHE＝90°， ∵∠BGH＝∠EGF， ∴∠DBF＝∠FEG， ∴△EFG∽△BFD； 点击回到目录 （3）求证：＝. 【解答】（3）证明：如图，作BQ∥AC，交EH的延长线于点Q， ∴△BGQ∽△CGE， ∴，∠Q＝∠CEH， ∴. 设∠FEG＝∠DBF＝α，由（1）知BC是DE的垂直平分线， ∴BE＝BD，∴∠EBF＝∠DBF， 点击回到目录 ∴∠AEB＝∠ACB＋∠EBF＝45°＋α， ∠CEH＝∠CED＋∠FEG＝45°＋α， ∴∠AEB＝∠CEH，又∵∠AEB＝∠QBE，∠Q＝∠CEH， ∴∠Q＝∠QBE， ∴BE＝EQ，∴. 点击回到目录 10.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是BC边上一点，连接AE交CD于点F，作EG⊥AE交AB于点G. （1）求证： AFC∽EGB； 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，EG⊥AE， ∴F，E，G，D四点共圆，∴∠DFE＝∠BGE. ∵∠AFC＝∠DFE，∴∠AFC＝∠BGE. ∵∠ACE＝90°，∴∠CAE＋∠AEC＝90°， 同理，∠BEG＋∠AEC＝90°， ∴∠CAF＝∠BEG，∴△AFC∽△EGB； 点击回到目录 （2）若E是BC边的中点， ①如图2，当AC＝BC时，求证：EF＝EG； ②如图3，当＝n时，探究的值，并说明理由. 点击回到目录 【解答】（2）①证明：如图1，作EP∥CD交AB于P， ∵E是BC边的中点， ∴P是BD边的中点. ∵AC＝BC，CD⊥AB， ∴BD＝AD，∴AD＝2DP， ∵EP∥CD，∴＝2， ∴AF＝2EF， ∵△AFC∽△EGB，∴＝2， ∴AF＝2EG，∴EF＝EG； 点击回到目录 ②，理由如下： 如图2，作EH∥CD交AB于点H， ∵△AFC∽△EGB，∴，∴AF＝EG. ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ADC∽△CDB∽△ACB， ∴＝n，∴BD＝n2AD，由①，得， ∴AF＝EF， ∴. 点击回到目录 $$2025年安徽省中考数学一轮复习 精练提升 第四章　三角形 第二节　三角形及其性质 1 基　础　达　标 2 能　力　提　升 目录 1 基　础　达　标 1.在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A.2，3，4 B.3，6，6 C.2，2，6 D.5，6，7 2.（2024·长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　　） A.50° B.60° C.70° D.80° C C 点击回到目录 3.如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE.∠1，∠2，∠3的大小关系为（　　） A.∠2＞∠1＞∠3 B.∠1＞∠3＞∠2 C.∠1＞∠2＝∠3 D.∠1＞∠2＞∠3 D 点击回到目录 4.如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（　　） A.282° B.180° C.360° D.258° D 5.在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　　） A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45° C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90° D 点击回到目录 2 能　力　提　升 1.如图，△ABC中，AB＝8 cm，AC＝6 cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（　　） A A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 点击回到目录 2.如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，下列结论错误的是（　　） B A.∠1＝2∠2 B.∠BOC＝3∠2 C.∠BOC＝90°＋∠1 D.∠BOC＝90°＋∠2 点击回到目录 3.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，且S△ABC＝18，则S△ADF－S△BEF＝（　　） B A.2 B.3 C.4 D.5 点击回到目录 4.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为　 　. 45° 点击回到目录 $$2025年安徽省中考数学一轮复习 精练提升 第四章　三角形 第四节　等腰（边）三角形和直角三角形 1 基　础　达　标 2 能　力　提　升 目录 1 基　础　达　标 1.如图，在△ABC中，∠B＝30°，过点A作AD⊥AB交BC于点D，CD＝AD＝4，则BC的长为（　　） D A.6 B.8 C.10 D.12 点击回到目录 2.（2023·河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　） B A.2 B.3 C.4 D.5 点击回到目录 3.（2024·六安金寨县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠A角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝2，BC＝6，则BE＝（　　） C A.2 B.2 C.2 D.6 点击回到目录 4.（2024·蚌埠二模）如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若∠1＝40°，则∠2的度数为　 　. 20° 点击回到目录 5.（2024·兰州）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝　 　. 2 6.一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为　 　. 3或 点击回到目录 7.如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC. （1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B； 【解答】（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P， ∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP， ∵∠APC＝∠B＋∠BAP， ∴∠APC＝2∠B； 点击回到目录 （2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数. 【解答】（2）根据题意可知BA＝BQ， ∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B， ∠AQC＝∠B＋∠BAQ， ∴∠BAQ＝2∠B. ∵∠BAQ＋∠BQA＋∠B＝180°， ∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°. 点击回到目录 2 能　力　提　升 1.如图，BD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则△ABD的面积是（　　） A.30 B.20 C.15 D.10 C 点击回到目录 2.（2024·广元）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　　） A A. B. C.2 D.2 点击回到目录 3.（2023·凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是　 　. 1＋ 点击回到目录 4.如图，AB与CD相交于点O，AB＝CD，∠AOC＝60°，∠ACD＋∠ABD＝210°，则线段AB，AC，BD之间的等量关系式为　 　. AB2＝AC2＋BD2 点击回到目录 5.（2024·亳州三模）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点E是边BC的中点，点F在边AC上，连接FE并延长到点G，使EG＝EF. 点击回到目录 （1）求证：BG⊥AB； 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵点E是边BC的中点， ∴BE＝CE， 又∵∠BEG＝∠CEF，EG＝EF， ∴△BEG≌△CEF（SAS）， ∴∠EBG＝∠ECF＝45°， ∴∠ABG＝∠ABC＋∠EBG＝90°， 即BG⊥AB； 点击回到目录 （2）如图2，点M是边AB的中点，连接EM，FM，EN平分∠MEC交FM于点N，若BE＝BM＋BG，求证：MN＝FN. 点击回到目录 【解答】（2）证明：如图，延长EN交AC于点H， ∵点M是AB的中点，点E是BC的中点， ∴EM∥AC， ∴∠MEN＝∠CHE， ∵EN平分∠MEC， ∴∠MEN＝∠CEH， ∴∠CHE＝∠CEH， ∴CE＝CH， 点击回到目录 由（1）知△BEG≌△CEF，∴BG＝CF， ∵BE＝BM＋BG，CH＝FH＋CF，BE＝CE， ∴BE＝CE＝CH， 即BM＋BG＝FH＋CF，∴BM＝FH， ∵AB＝AC，EM∥AC， ∴∠MBC＝∠C＝∠MEB， ∴BM＝EM，∴FH＝EM， 又∵∠MEN＝∠FHE，∠MNE＝∠FNH， ∴△MNE≌△FNH（AAS）， ∴MN＝FN. 点击回到目录 $$2025年安徽省中考数学一轮复习 精练提升 第四章　三角形 第一节　线、角、相交线与平行线（含命题） 1 基　础　达　标 2 能　力　提　升 目录 1 基　础　达　标 1.（2024·北京）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（　　） B A.29° B.32° C.45° D.58° 点击回到目录 2.如图，下列结论中错误的是（　　） A A.∠1与∠2是同位角 B.∠3与∠5是内错角 C.∠4与∠5是同旁内角 D.∠1与∠3是同位角 点击回到目录 3.（2024·湖南）下列命题中，正确的是（　　） A.两点之间，线段最短 B.菱形的对角线相等 C.正五边形的外角和为720° D.直角三角形是轴对称图形 4.如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA＝6，PO＝5，PB＝5.5，OC＝4，则点P到直线l的距离为（　　） A.3 B.4 C.5 D.5.5 A C 点击回到目录 5.（2024·南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（　　） A.41° B.51° C.49° D.59° C 点击回到目录 6.（2023·凉山州）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3＋∠4＝（　　） A.165° B.155° C.105° D.90° C 点击回到目录 7.如果一个角的补角是30°，那么这个角的度数是　 　. 8.如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺边上，若∠1＝48°，则∠2的度数是　 　. 150° 102° 点击回到目录 9.如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F. 【解答】证明：∵∠1＝∠A， ∴AE∥BF， ∴∠2＝∠E. ∵CE∥DF， ∴∠2＝∠F， ∴∠E＝∠F. 点击回到目录 10.如图，B，C两点把线段AD分成2∶5∶3的三部分，M为AD的中点，BM＝ 9 cm，求CM和AD的长. 【解答】设AB＝2x cm，BC＝5x cm，CD＝3x cm， 则AD＝AB＋BC＋CD＝10x cm， ∵M是AD的中点， ∴AM＝MD＝AD＝5x cm， ∴BM＝AM－AB＝5x－2x＝3x cm. ∵BM＝9 cm，∴3x＝9，解得x＝3， 故CM＝MD－CD＝5x－3x＝2x＝2×3＝6（cm）， AD＝10x＝10×3＝30（cm）. 点击回到目录 2 能　力　提　升 1.如图，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是（　　） A.45° B.90° C.135° D.120° 2.射线OC在∠AOB内部，下列条件不能确定射线OC是∠AOB角平分线的是（　　） A.∠AOB＝2∠AOC B.∠BOC＝∠AOC C.∠AOC＋∠BOC＝∠AOB D.∠BOC＝∠AOB C C 点击回到目录 3.（2024·常州）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜.若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB.这一判断过程体现的数学依据是（　　） A A.垂线段最短 B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.两点确定一条直线 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 点击回到目录 4.如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，则∠ABC等于（　　） A.130° B.120° C.110° D.100° C 点击回到目录 5.已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的度数为（　　） A.180° B.90° C.45° D.无法确定 6.（2023·苏州）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　） B B A.连接AB，则AB∥PQ B.连接BC，则BC∥PQ C.连接BD，则BD⊥PQ D.连接AD，则AD⊥PQ 点击回到目录 7.（2024·无锡）命题“若a＞b，则a－3＜b－3”是　 　命题.（填“真”或“假”） 8.如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝　 　. 假 9.已知线段AB＝60，点C为线段AB的中点，点D为射线CB上的一点，点E为线段BD的中点，且线段EB＝5，则线段CD的长为　 　. 20或40 点击回到目录 10.如图，已知∠1＝∠C，EF⊥BC，∠2＋∠3＝180°. （1）求证：∠2＝∠4； 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠C， ∴DP∥AC，∴∠2＝∠4； 点击回到目录 （2）试求出∠ADC的度数. 【解答】（2）∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°； ∵∠2＝∠4，∠2＋∠3＝180°， ∴∠3＋∠4＝180°，∴AD∥EF， ∴∠ADF＝∠EFC＝90°. 点击回到目录 11.已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD. （1）如图1，若OB，OC重合，则∠EOF＝　 　； 90° （2）如图2，∠BOC＝20°，求∠EOF的度数； 点击回到目录 【解答】（2）∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∠BOC＝20°， ∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝70°， ∠BOD＝∠COD－∠BOC＝70°. ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠EOC＝∠AOC＝35°， ∠BOF＝∠BOD＝35°， ∴∠EOF＝∠EOC＋∠BOC＋∠BOF＝35°＋20°＋35°＝90°； 点击回到目录 （3）如图3，求∠EOF的度数. 【解答】（3）设∠BOC＝x°， ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝（90＋x）°， ∠BOD＝∠COD＋∠BOC＝（90＋x）°. ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠EOC＝∠AOC＝（90＋x）°， ∠BOF＝∠BOD＝（90＋x）°， ∴∠EOF＝∠EOC＋∠BOF－∠BOC＝（90＋x）°＋（90＋x）°－x°＝90°. 点击回到目录 $$2025年安徽省中考数学一轮复习 精练提升 第四章　三角形 第六节　解直角三角形及其应用 1 基　础　达　标 2 能　力　提　升 目录 1 基　础　达　标 1.（2024·云南）如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A. B. C. D. C 点击回到目录 2.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　） A A.75 m B.50 m C.30 m D.12 m 点击回到目录 3.（2024·临夏州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是（　　） B A.3 B.6 C.8 D.9 点击回到目录 4.（2023·益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（　　） C A. B. C. D. 点击回到目录 5.如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（　　） D A. B. C. D. 点击回到目录 6.（2024·蚌埠三模）计算：－2sin 45°＝　 　. 7.斜面的坡度为i＝1∶，一物体沿斜面向上推进了20米，那么物体升高了 　　 米. 8.如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为　 　米.（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732） 2 10 566 点击回到目录 9.如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝_________. －1 10.（2024·芜湖一模）在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝9，∠A＝α，易知tan α＝，聪明的小强想求tan 2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则 tan 2α的值为　 . 点击回到目录 11.如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15 m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.41，≈1.73） 【解答】在Rt△BCD中，BC＝DC·tan 30°＝15×≈5×1.73＝8.65（m）.在Rt△ACD中，AC＝DC·tan 37°≈15×0.75＝11.25（m），∴AB＝AC－BC＝11.25－8.65＝2.6（m）. ∴广告牌AB的高度为2.6 m. 点击回到目录 12.几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A，B两点，并过点B架设一水平线型轨道CD（如图所示），使得∠ABC＝α，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE＝20米，测得∠AEB＝β，已知sin α＝，tan β＝3，求A，B两点间的距离. 点击回到目录 【解答】如图，过点A作AF⊥CD于点F， ∴∠AFB＝90°， 在Rt△ABF中，sin α＝， ∴设AF＝24x米，AB＝25x米， 则由勾股定理得BF＝＝7x米. 在Rt△AFE中，tan β＝＝3， ∵BE＝20米，∴＝3， 解得x＝20， ∴AB＝25x＝500米. 答：A，B两点间的距离为500米. 点击回到目录 13.（2023·菏泽）无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）. 点击回到目录 【解答】如图，过点P作PH⊥AB于H，过点C作CQ⊥PH于Q，而CB⊥AB，则四边形CQHB是矩形， ∴QH＝BC，BH＝CQ， 由题意得，AP＝80米，∠PAH＝60°， ∠PCQ＝30°，AB＝70米， ∴PH＝AP·sin 60°＝80×＝40（米）， AH＝AP·cos 60°＝40（米），∴CQ＝BH＝70－40＝30（米）， ∴PQ＝CQ·tan 30°＝10（米），∴BC＝QH＝40－10＝30（米）， ∴大楼的高度BC为30米. 点击回到目录 14.为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上，老师将学生分成甲、乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1 000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程.（参考数据：≈1.41，≈2.45） 点击回到目录 【解答】如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E， 由题意得，∠ACD＝25°，∠BCD＝55°， ∠FAB＝20°，AB＝1 000米，CD∥FA， ∴∠CAF＝∠ACD＝25°，∴∠BAC＝∠FAB＋∠CAF＝45°， ∠ACB＝∠BCD－∠ACD＝30°， 在Rt△ABE中，AE＝AB·cos 45°＝1 000×＝500（米）， BE＝AB·sin 45°＝1 000×＝500（米）， 点击回到目录 在Rt△BCE中，∠BCE＝30°， ∴BC＝2BE＝1000（米）， CE＝·BE＝500（米）， ∴AC＝AE＋CE＝（500＋500）米， ∴AC－BC＝500＋500－1 000＝ 500－500≈520（米）， ∴甲组同学比乙组同学大约多走520米的路程. 点击回到目录 2 能　力　提　升 1.如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（　　） A.h1＝h2 B.h1＜h2 C.h1＞h2 D.以上都有可能 A 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 2.（2024·亳州一模）如图，在△ABC中，AB＝3，tan∠ABC＝，∠ACB＝45°，则BC的长为（　　） A A.9 B.12 C.6 D.9 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 3.（2024·自贡）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°.则新钢架减少用钢（　　） D A.（24－12）m B.（24－8）m C.（24－6）m D.（24－4）m 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 4.如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1时，∠ABC＝45°.当梯子底端点B水平向左移动到点B'，端点A沿墙竖直向上移动到点A'，设∠A'B'C＝α，则AA'的长可以表示为（　　） B A.sin α B.sin α－1 C.cos α－1 D.tan α－1 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 5.（2023·杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tan α＝tan2 β，则n＝（　　） C A.5 B.4 C.3 D.2 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 6.（2024·内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC＝　 . 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 7.（2023·荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6 m，则该校的旗杆高约为 　　 m.（≈1.73，结果精确到0.1） 13.8 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 8.（2024·雅安）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB＝6，BC＝8，则cos∠ABF的值是　 . 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 9.利用光的折射原理，叉鱼时应瞄准鱼的下方.如图所示，当人看到水中的“鱼”在水面下方1 m处时，应对准“鱼”的下方　 　 m处叉鱼.（结果精确到0.01，参考数据：≈1.732，≈1.414，tan 55°≈1.428，tan 35°≈0.700） 0.21 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 10.综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 　 　米.（结果保留根号） （30－5） 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 11.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC的值是　 . 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 12.图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1 m，BC＝0.6 m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7 m.如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°. 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 （1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离； 【解答】（1）如图，作B'E⊥AD，垂足为点E， 在Rt△AB'E中，∵∠B'AD＝27°，AB'＝AB＝1，∴sin 27°＝， ∴B'E＝AB'·sin 27°≈1×0.454＝0.454（m）， ∵平行线间的距离处处相等， ∴B'E＋AO＝0.454＋1.7＝2.154≈2.15（m）， 答：车后盖最高点B'到地面的距离为2.15 m； 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 （2）若小琳爸爸的身高为1.8 m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由.（结果精确到0.01 m，参考数据：sin 27°≈0.454，cos 27°≈0.891，tan 27°≈0.510，≈1.732） 【解答】（2）没有危险，理由如下： 如图，过C'作C'F⊥B'E，垂足为点F， ∵∠B'AD＝27°，∠B'EA＝90°， ∴∠AB'E＝63°， ∵∠AB'C'＝∠ABC＝123°， ∴∠C'B'F＝∠AB'C'－∠AB'E＝60°， 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 在Rt△B'FC'中，B'C'＝BC＝0.6（m）， ∴B'F＝B'C'·cos 60°＝0.3（m）. ∵平行线间的距离处处相等， ∴C'到地面的距离为2.15－0.3＝1.85（m）. ∵1.85＞1.8，∴没有危险. 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 13.（2023·广安）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道.如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向. 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 （1）求步道DE的长度； 【解答】（1）如图，过D作DF⊥AE，垂足为F， 由题意得，四边形ACDF是矩形， ∴DF＝AC＝170米， 在Rt△EFD中，∠DEF＝58°， ∴DE＝＝200（米）， ∴步道DE的长度约为200米； 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 （2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近.（结果精确到个位） （参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，≈1.73） 【解答】（2）小红从A出发，经过点B到达点D路程较近， 在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170米， ∴EF＝≈106.25（米）， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝170米， ∴BC＝AC·tan 60°＝170（米），AB＝＝340（米）， 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 ∵BD＝100米，∴CD＝BC＋BD＝（170＋100）米， ∵四边形ACDF是矩形， ∴AF＝CD＝（170＋100）米， ∴AE＝AF－EF＝170＋100－106.25≈287.85（米）， ∴某人从点A出发，经过点B到达点D的路程＝AB＋BD＝340＋100＝440（米）， 某人从点A出发，经过点E到达点D的路程＝AE＋DE＝287.85＋200≈488（米）， ∵440米＜488米，∴某人从点A出发，经过点B到达点D的路程较近. 优考设计·安徽中考总复习·数学 第六节　解直角三角形及其应用 点击回到目录 $$2025年安徽省中考数学一轮复习 精练提升 第四章　三角形 第三节　全等三角形 1 基　础　达　标 2 能　力　提　升 目录 1 基　础　达　标 1.（2024·济南）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为（　　） A.40° B.60° C.80° D.100° C 点击回到目录 2.（2024·自贡）如图，在平面直角坐标系中，D（4，－2），将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置，则点B的坐标为（　　） A A.（2，4） B.（4，2） C.（－4，－2） D.（－2，4） 点击回到目录 3.（2024·德州）如图，C是AB的中点，CD＝BE，请添加一个条件________________________，使△ACD≌△CBE. AD＝CE（答案不唯一） 点击回到目录 4.如图，点B，E，F，D在同一直线上，BE＝DF，AB∥CD，AB＝CD.求证：AF＝CE. 【解答】证明：∵BE＝DF， ∴BE＋EF＝DF＋EF，∴BF＝DE， ∵AB∥CD，∴∠B＝∠D， 在△ABF和△CDE中， ∴△ABF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE. 点击回到目录 2 能　力　提　升 1.（2024·东营）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（　　） D A.O为矩形ABCD两条对角线的交点 B.EO＝FO C.AE＝CF D.EF⊥BD 点击回到目录 2.（2024·广州）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（　　） A.18 B.9 C.9 D.6 C 点击回到目录 3.如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于点F，且垂足为点E，则下列结论：①AD＝BF；②∠BAE＝∠FBC；③S△ADB＝S△ADC；④AD＝2BE.其中正确的结论有　 　.（填写序号） ①②④ 点击回到目录 4.如图，∠ABC＝∠CAD＝90°，AB＝4，AC＝AD，求△BAD的面积　 　. 8 点击回到目录 5.（2024·宣城模拟）如图，已知AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，若四边形ABCD的面积为48 cm2，则AC长是　 　 cm. 4 点击回到目录 6.如图，在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，BC＝BD，点A在CB的延长线上，且BA＝BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F. （1）当点E在线段BD上移动时，如图1所示，求证：BC－DE＝DF； 点击回到目录 【证明】（1）如图1，在BA上截取BH，使得BH＝BE. ∵BC＝AB＝BD，BE＝BH， ∴AH＝ED. ∵∠AEF＝∠ABE＝90°， ∴∠AEB＋∠FED＝90°，∠AEB＋∠HAE＝90°， ∴∠FED＝∠HAE. ∵∠BHE＝∠CDB＝45°，∴∠AHE＝∠EDF＝135°， ∴△AHE≌△EDF，∴HE＝DF， ∴BC－DE＝BD－DE＝BE＝EH＝DF，∴BC－DE＝DF； 点击回到目录 （2）当点E在直线BD上移动时，如图2、图3所示，线段BC，DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明. 点击回到目录 【证明】（2）如图2，在BC上截取BH＝BE， 同法可证：DF＝EH，可得DE－BC＝DF. 如图3，在BA的延长线上截取BH，使得BH＝BE，同法可证：DF＝HE，可得BC＋DE＝DF. 点击回到目录 $$