2025年安徽省中考数学一轮复习精练提升 第三章　函数及其图象课件

2025年安徽省中考数学一轮复习 精练提升 第三章　函数及其图象 第一节　平面直角坐标系与函数 1 基　础　达　标 2 能　力　提　升 目录 1 基　础　达　标 1.在平面直角坐标系中，点P（5，－2）到x轴的距离是（　　） A.－5 B.5 C.－2 D.2 2.（2024·巴中）函数y＝自变量的取值范围是（　　） A.x＞0 B.x＞－2 C.x≥－2 D.x≠－2 D C 点击回到目录 3.如图，在坐标平面上有原点O与A，B，C，D四点.若有一直线l通过点（－3，4）且与y轴垂直，则l也会通过下列哪一点（　　） A.A B.B C.C D.D D 点击回到目录 4.（2023·台湾）如图，坐标平面上直线L的方程式为x＝－5，直线M的方程式为y＝－3，P点的坐标为（a，b）.根据图中P点位置判断，下列关系何者正确（　　） A A.a＜－5，b＞－3 B.a＜－5，b＜－3 C.a＞－5，b＞－3 D.a＞－5，b＜－3 点击回到目录 5.如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（　　） D A.（3，2） B.（3，－1） C.（2，－3） D.（3，－2） 点击回到目录 6.已知A，B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/时，若用x表示行走的时间（单位：小时），y表示余下的路程（单位：千米），则y关于x的函数表达式是（　　） A.y＝4x（x≥0） B.y＝4x－3 C.y＝3－4x（x≥0） D.y＝3－4x D 点击回到目录 7.（2024·河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）.下列结论中错误的是（　　） A.当P＝440W时，I＝2A B.Q随I的增大而增大 C.I每增加1A，Q的增加量相同 D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 C 点击回到目录 8.第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说：“这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.”结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（　　） B 点击回到目录 2 能　力　提　升 1.在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（－3，b），当线段AB最短时，b的值为（　　） A.2 B.3 C.4 D.0 2.如图，将一个圆柱形无盖小烧杯的杯底固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水.则大烧杯水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象大致是（　　） A D 点击回到目录 3.（2023·绍兴）已知点M（－4，a－2），N（－2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） B 点击回到目录 4.（2024·资阳）小王前往距家2000米的公司参会，先以v0（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示.若小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 　分钟. 5 点击回到目录 5.如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱.设矩形的长和宽分别为y和x，求因变量y与自变量x的函数关系式. 点击回到目录 【解答】由题意得，圆柱的上下底面圆的半径为x， 圆柱的侧面展开图的长为y－x， ∵圆柱的侧面展开图的长＝底面圆的周长， ∴y－x＝2π×x， ∴y＝x. 点击回到目录 $$2025年安徽省中考数学一轮复习 精练提升 第三章　函数及其图象 第三节　反比例函数 1 基　础　达　标 2 能　力　提　升 目录 1 基　础　达　标 1.反比例函数y＝－的图象分别位于（　　） A.第一、三象限 B.第一、四象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 2.已知反比例函数y＝，当x＜0时， y随x的增大而减小，则a的值可能是（　　） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 3.（2024·芜湖模拟）若点A（－1，m），B（n，3）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则m与n之间的数量关系是（　　） A.m＝3n B.m＝－3n C.m＝n D.m＝－n D A B 点击回到目录 4.（2024·淮北模拟）电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R的函数解析式是（　　） A.I＝ B.I＝ C.I＝ D.I＝ A 点击回到目录 5.（2023·宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（－3，y1），（－2，3），（1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A.y2＜y1＜y3 B.y3＜y2＜y1 C.y2＜y3＜y1 D.y1＜y3＜y2 6.对于反比例函数y＝，下列结论错误的是（　　） A.函数图象分布在第一、三象限 B.函数图象经过点（－3，－2） C.若点（a，b）在其图象上，那么点（－b，－a）也一定在其图象上 D.若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2 C D 点击回到目录 7.一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） D 点击回到目录 8.（2023·邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（　　） D A.（4，4） B.（2，2） C.（2，4） D.（4，2） 点击回到目录 9. （2024·包头）若反比例函数y1＝，y2＝－，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝　 . 10.（2023·河北）如图，已知点A（3，3），B（3，1），反比例函数y＝（k≠0）图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：__________________. 5（答案不唯一） 点击回到目录 11.如图，一次函数y1＝（k－5）·x＋b的图象在第一象限与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜4，则k＝　 　. 4 点击回到目录 12.（2024·宿州二模）如图，四边形OABC为菱形，且点A在x轴正半轴上，点C的坐标为（3，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，且与边AB交于点D. （1）求k的值及点B的坐标； 【解答】（1）∵点C的坐标为（3，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C， ∴k＝12，OC＝5，∴B（8，4），A（5，0）. 点击回到目录 （2）判断点D是否为边AB的中点，并说明理由. 【解答】（2）由（1）可知，反比例函数的解析式为y＝， ∵A（5，0），B（8，4）， ∴线段AB的中点坐标为， 在反比例函数y＝中，当x＝时，y＝≠2，∴点D不是边AB的中点. 点击回到目录 2 能　力　提　升 1.（2024·滁州二模）已知点A（m，p）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B（q，m）在正比例函数y＝kx（x＞0）的图象上，则下列式子成立的是（　　） A.pq＝1 B.pq＝m C.pm＝1 D.＝m 2.（2023·通辽）已知点A（x1，y1），B（x2，y2） 在反比例函数y＝－的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　） A.y1＋y2＜0 B.y1＋y2＞0 C.y1－y2＜0 D.y1－y2＞0 A D 3. 若直线y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则126x1y2＋127x2y1的值为（　　） A.2 023 B.－2 024 C.－2 023 D.－2 022 B 点击回到目录 4.如图，A是反比例函数y＝（x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交反比例函数于点B，则△ABD的面积是（　　） B A.2 B.4 C.8 D.16 点击回到目录 5.（2023·张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM.若△ODM的面积为3，则k的值为（　　） C A.2 B.3 C.4 D.5 点击回到目录 6.（2023·日照）已知反比例函数y＝（k＞1且k≠2）的图象与一次函数y＝－7x＋b的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1·x2＞0，请写出一个满足条件的k值：　 　. 7.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），将线段AO绕点A逆时针旋转120°，得到线段AB，连接OB，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值是　 　. 1.5（答案不唯一） 3 点击回到目录 8.（2024·合肥三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OBCD的顶点C（6，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过对角线OC的中点A，分别交边CD，BC于E，F，则△OEF的面积为　 　. 点击回到目录 9.（2024·泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b与x轴相交于点A（－2，0），与反比例函数y＝的图象相交于点B（2，3）. 点击回到目录 （1）求一次函数和反比例函数的解析式； 【解答】（1）将点A和点B的坐标代入y＝kx＋b， 得解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋. ∵点B（2，3）在反比例函数y＝的图象上，∴a＝2×3＝6， ∴反比例函数的解析式为y＝； 点击回到目录 （2）直线x＝m（m＞2）与反比例函数y＝（x＞0）和y＝－（x＞0）的图象分别交于点C，D，且S△OBC＝2S△OCD，求点C的坐标. 【解答】（2）将x＝m分别代入y＝和y＝－中，得点C的坐标为，点D的坐标为， ∴S△OCD＝·m＝4. 又S△OBC＝2S△OCD，∴S△OBC＝8. 令直线CD与x轴的交点为M，过点B作x轴的垂线，垂足为N， 点击回到目录 ∵S△BON＋S梯形BNMC＝S△BOC＋S△COM，且S△BON＝S△COM， ∴S梯形BNMC＝S△BOC＝8， ∴＝8，解得m1＝6，m2＝－. 又m＞2，∴m＝6，则点C的坐标为（6，1）. 点击回到目录 $$2025年安徽省中考数学一轮复习 精练提升 第三章　函数及其图象 第四节　二次函数的图象与性质 1 基　础　达　标 2 能　力　提　升 目录 1 基　础　达　标 1.若y＝mx2＋3x2－x＋2－m是y关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A.m＝－3 B.m＞－3 C.m≠0 D.m≠－3 2.（2024·包头）将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　） A.y＝（x＋1）2－3 B.y＝（x＋1）2－2 C.y＝（x－1）2－3 D.y＝（x－1）2－2 3.（2023·南充）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x＋1）2上的是（　　） A.（m，n＋1） B.（m＋1，n） C.（m，n－1） D.（m－1，n） D A D 点击回到目录 4.（2024·广州）函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝的图象如图所示，当x取什么值时，y1，y2均随着x的增大而减小（　　） D A.x＜－1 B.－1＜x＜0 C.0＜x＜2 D.x＞1 点击回到目录 5.（2023·大连）已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（　　） A.－2 B.－1 C.0 D.2 6.抛物线y＝ax2－4ax＋c与x轴的一个交点为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点是（　　） A.（3，0） B.（－1，0） C.（2，0） D.（4，0） 7.若二次函数y＝－x2＋kx－k的图象经过点（－2，－10），则k的值为　 　. 8.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的对称轴是直线x＝－1，点（－2，y1）和（2，y2）都在该抛物线上，则y1　 　y2（填“＞”“＝”或“＜”）. D A 2 ＜ 点击回到目录 9.（2024·济宁）将抛物线y＝x2－6x＋12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是　 　. 10.下图给出了已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数且a≠0）的图象的一部分，且对称轴是直线x＝1. （1）请根据抛物线的对称性画出该二次函数图象的另一部分； k≥3 【解答】（1）如图所示； 点击回到目录 （2）在同一平面直角坐标系中画出一次函数y＝－x＋的图象； 【解答】（2）过点（－1，1）和（4，－3）画直线就得到一次函数y＝－x＋的图象，如图所示； 点击回到目录 （3）结合图象，写出不等式ax2＋bx＋c＞－x＋的解集. 点击回到目录 【解答】（3）由图象可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数y＝－x＋的图象交于点（－1，1）和（4，－3），故不等式ax2＋bx＋c＞－x＋的解集是－1＜x＜4. 点击回到目录 2 能　力　提　升 1.（2023·陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋mx＋m2－m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（　　） A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 2.已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过（－2，n）和（4，n）两点，则n的值为（　　） A.－2 B.－4 C.2 D.4 D B 点击回到目录 3.（2024·青岛）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，则过点M（c，2a－b）和点N（b2－4ac，a－b＋c）的直线一定不经过（　　） C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 点击回到目录 4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）满足已知点（－3，m），（2，n），（4，t）在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（　　） A.t＜n＜m B.m＜t＜n C.n＜t＜m D.n＜m＜t 5.（2023·台州）抛物线y＝ax2－a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，x2）两点，若x1＋x2＜0，则直线y＝ax＋k一定经过（　　） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 C D 点击回到目录 6.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A（－2，0），B两点，对称轴是直线x＝2，下列结论中，所有正确结论的序号为（　　） C ①a＞0；②点B的坐标为（6，0）；③c＝3b；④对于任意实数m，都有4a＋2b≥am2＋bm. A.①② B.②③ C.②③④ D.③④ 点击回到目录 7.如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　） B A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 点击回到目录 8.（2024·牡丹江）将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位长度后，经过点（－2，4），则6a－3b－7＝　 　. 9.如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（－1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是　 　. 2 x＜－3或x＞1 点击回到目录 10.（2024·通辽）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线y＝－（x－2）2＋k（k为常数）经过点D且交x轴于A，B两点. 点击回到目录 （1）求抛物线表示的函数解析式； 【解答】（1）分别把y＝0，x＝0代入函数y＝－x＋3中，得点C（2，0），D（0，3）， ∵抛物线y＝－（x－2）2＋k（k为常数）经过点D， ∴－×（0－2）2＋k＝3，解得k＝4， ∴抛物线表示的函数解析式为y＝－（x－2）2＋4； 点击回到目录 （2）若点P为抛物线的顶点，连接AD，DP，CP.求四边形ACPD的面积. 【解答】（2）∵抛物线表示的函数解析式为y＝－（x－2）2＋4， ∴顶点P的坐标为（2，4）， ∵C（2，0），∴PC⊥x轴，PC＝4， 过点D作DE⊥PC于点E，则DE＝2， ∴S△CDP＝PC·DE＝×4×2＝4； 把y＝0代入函数y＝－（x－2）2＋4中， 得－（x－2）2＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝6， ∴A（－2，0），B（6，0），∴AC＝4， ∵D（0，3），∴DO＝3， ∴S△ACD＝AC·DO＝×4×3＝6， ∴S四边形ACPD＝S△ACD＋S△CDP＝6＋4＝10. 点击回到目录 11.（2023·云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题. 同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点.设函数y＝（4a＋2）x2＋（9－6a）·x－4a＋4（实数a为常数）的图象为图象T. 点击回到目录 （1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点； 【解答】（1）证明：当a＝－时，函数表达式为y＝12x＋6， 令y＝0，得x＝－， ∴函数y＝（4a＋2）x2＋（9－6a）x－4a＋4的图象与x轴有交点； 当a≠－时，y＝（4a＋2）x2＋（9－6a）x－4a＋4为二次函数， ∵Δ＝（9－6a）2－4（4a＋2）（－4a＋4）＝100a2－140a＋49＝（10a－7）2≥0， ∴函数y＝（4a＋2）x2＋（9－6a）x－4a＋4的图象与x轴有交点， 综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点； 点击回到目录 （2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由. 【解答】（2）存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，理由如下： 当a＝－时，不符合题意； 当a≠－时，在y＝（4a＋2）x2＋（9－6a）x－4a＋4中， 令y＝0，得0＝（4a＋2）x2＋（9－6a）·x－4a＋4，解得x＝－或x＝， ∵x＝＝2－，a是整数， ∴当2a＋1是6的因数时，是整数， ∴2a＋1＝－6或2a＋1＝－3或2a＋1＝－2或2a＋1＝－1或2a＋1＝1或2a＋1＝2或2a＋1＝3或2a＋1＝6， 解得a＝－或a＝－2或a＝－或a＝－1或a＝0或a＝或a＝1或a＝， ∵a是整数，∴a＝－2或a＝－1或a＝0或a＝1. 点击回到目录 $$2025年安徽省中考数学一轮复习 精练提升 第三章　函数及其图象 第五节　二次函数的实际应用 优考设计·安徽中考总复习·数学 第五节　二次函数的实际应用 1 基　础　达　标 2 能　力　提　升 目录 1 基　础　达　标 1.长方形的周长为12 cm，其中一边为x cm（0＜x＜6），面积为y cm2.那么y与x的关系是（　　） A.y＝（12－x）2 B.y＝（6－x）2 C.y＝x（12－x） D.y＝x（6－x） 2.（2024·天津）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2（0≤t≤6）.有下列结论：①小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；③小球运动2s时的高度小于运动5 s时的高度.其中，正确结论的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 D C 点击回到目录 3.如图，在长为20 m、宽为14 m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1 m，则花圃中的阴影部分的面积有（　　） A A.最小值247 B.最小值266 C.最大值247 D.最大值266 点击回到目录 4.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝x2＋5的一部分，则杯口的口径AC为（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 C 点击回到目录 5.某种产品原来每件的生产成本为50元，经过两次技术改良后，每件生产成本降为y（元），若平均每次降低的生产成本的百分率为x，则y与x之间的函数表达式为 　 　. 6.如图，王叔叔想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝ 　 m时，羊圈的面积最大. y＝50（1－x）2 15 点击回到目录 7.某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m，那么水管的设计高度应为 　 　 m. 点击回到目录 8.（2024·甘肃）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝ 1.8 m的矩形，则可判定货车　 　完全停到车棚内（填“能”或“不能”）. 能 点击回到目录 9.（2024·广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5 m，高度是4 m.若实心球落地点为M，则OM＝　 　 m. 点击回到目录 10.某校为了解学生午餐排队情况，发现学生排队累计的人数y（人）随时间x（分钟）的变化情况满足关系式y＝ax2＋bx，其中0≤x≤15.y与x的部分对应值如下表： 时间x（分钟） 0 1 2 … 累计人数y（人） 0 58 112 … （1）求y与x之间的函数解析式； 【解答】（1）由题意得解得 ∴y＝－2x2＋60x（0≤x≤15）； 点击回到目录 （2）若食堂就餐排队窗口每分钟可减少排队人数32人，求排队等待的学生人数最多时有多少人？（排队等待的学生人数＝排队累计的人数－减少的排队人数） 【解答】（2）设第x分钟时排队等待的学生人数为z人， 由题意得z＝y－32x＝－2x2＋60x－32x＝－2x2＋28x＝－2（x－7）2＋98， ∵－2＜0，∴当x＝7时，z的最大值为98. 点击回到目录 2 能　力　提　升 1.某工厂的大门是抛物线型水泥建筑物，大门地面宽为8 m，两侧距地面3 m处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m，则大门的高约为（　　） A.6.8 m B.6.9 m C.7.0 m D.7.1 m 2.2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）.如图1，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A'，B'到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面　 　米. B 19 点击回到目录 3.（2024·亳州模拟）小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的60％. （1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. 【解答】（1）由题意得，w＝（x－15）·（－10x＋500）＝－10x2＋650x－7500， ∵15≤x≤15（1＋60％），∴15≤x≤24，∴w＝－10x2＋650x－7500（15≤x≤24）； 点击回到目录 （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？ 【解答】（2）令w＝1500，即－10x2＋650x－7500＝1500，解得x1＝20，x2＝45. ∵15≤x≤24，∴x＝20， 答：当销售单价定为20元时，每月可获得利润1500元. （3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 【解答】（3）w＝－10x2＋650x－7500，对称轴为直线x＝－. ∵a＝－10＜0，∴抛物线开口向下. ∵其对称轴为直线x＝，15≤x≤24，∴当x＝24时，w最大， 答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润. 点击回到目录 4.（2023·威海）城建部门计划修建一条喷泉步行通道.图1是项目俯视示意图.步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池.图2是主视示意图.喷水装置OA的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内.当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米.为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩.防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且与喷泉水流的水平距离ND为0.3米.点C到水池外壁的水平距离CE＝0.6米，求步行通道的宽OE.（结果精确到0.1米） 参考数据：≈1.41. 点击回到目录 【解答】如图，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 点击回到目录 由题意得，A（0，2），B（2，3.6）， ∵抛物线的最高点为B， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x－2）2＋3.6， 把A（0，2）代入得4a＋3.6＝2， 解得a＝－0.4， ∴抛物线的解析式为y＝－0.4（x－2）2＋3.6. 当y＝1.8时，－0.4（x－2）2＋3.6＝1.8， 解得x＝2±， ∴D，∴OE＝xD－DN－CE≈2＋－0.3－0.6≈3.2（米）. 答：步行通道的宽OE约为3.2米. 点击回到目录 5.如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米.如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： （1）如图2，求该抛物线的函数表达式； 【解答】（1）设该抛物线的函数表达式 为y＝ax2， 由题意得，点A的坐标为（－2，－2）且点A在该抛物线上， ∴－2＝a×（－2）2，解得a＝－， ∴该抛物线的函数表达式为y＝－x2； 点击回到目录 （2）当水面AB下降1米到CD处时，水面宽度增加多少米？（结果保留根号） 【解答】（2）将y＝－3代入y＝－x2中，得－3＝－x2，解得x＝±， ∴CD＝－（－）＝2， ∵AB＝4，∴CD－AB＝2－4， 即水面宽度增加（2－4）米； （3）当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（结果保留根号） 【解答】（3）将y＝－1代入y＝－x2中，得－1＝－x2，解得x＝±，此时水面的宽为：－（－）＝2， ∴当水面AB上升1米时，水面宽度减少（4－2）米. 点击回到目录 6.（2024·宿州二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础.某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航、途中和冲刺三个阶段.图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的近似函数图象.启航阶段的函数表达式为s＝kt2（k≠0）；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的函数表达式为s＝k（t－70）2＋h（k≠0）. 点击回到目录 （1）求出k的值，并写出启航阶段自变量t的取值范围； 【解答】（1）把A（20，50）代入s＝kt2，得50＝400k，解得k＝， ∴启航阶段总路程s关于时间t的函数表达式为s＝t2（0＜t≤20）； （2）已知途中阶段龙舟速度为5 m/s，当t＝90 s时，求该龙舟划行的总路程； 【解答】（2）设s＝5t＋b，把（20，50）代入，得50＝5×20＋b，解得b＝－50， ∴s＝5t－50. 当t＝90时，s＝450－50＝400. ∴当t＝90s时，该龙舟划行的总路程为400 m； 点击回到目录 （3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5 m/s提高到5.85 m/s，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练总路程所需时间. 【解答】（3）由（1）可知k＝，把（90，400）代入s＝（t－70）2＋h，得h＝350. ∴函数表达式为s＝（t－70）2＋350， 把t＝91代入s＝（t－70）2＋350， 解得s＝405.125. ∴（800－405.125）÷5.85＝67.5（s）， ∴91＋67.5＝158.5（s）. 答：该龙舟队完成训练总路程所需时间为158.5 s. 点击回到目录 7.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12 m）和21 m长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32 m2，试分别确定CG，DG的长； 点击回到目录 【解答】（1）∵（21－12）÷3＝3（m），∴Ⅰ，Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2）， 设水池的长为a m，则水池的面积为a×1＝a（m2）， ∴36－a＝32，解得a＝4，∴DG＝4 m， ∴CG＝CD－DG＝12－4＝8（m）， 即CG的长为8 m，DG的长为4 m； 点击回到目录 （2）方案二：如图2，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【解答】（2）设BC的长为x m，则CD的长为（21－3x）m， ∴总种植面积为：（21－3x）·x＝－3（x2－7x）＝. ∵－3＜0，∴当x＝时，总种植面积有最大值为 m2， 又21－3×＜12，满足题意， ∴BC设计为 m时总种植面积最大，此时最大面积为 m2. 点击回到目录 $$ 第三章　函数及其图象 第二节　一次函数 1 基　础　达　标 2 能　力　提　升 目录 1 基　础　达　标 1.函数y＝x－2的图象不经过（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.（2023·无锡）将函数y＝2x＋1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　） A.y＝2x－1 B.y＝2x＋3 C.y＝4x－3 D.y＝4x＋5 3.（2024·合肥三模）在平面直角坐标系中，已知函数y＝kx＋b（k＞0）的图象过点P（2，1），则b不可能是（　　） A.0 B.－1 C.2 D.－2 B A C 点击回到目录 4.（2024·滁州三模）在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点B，若点B在直线y＝x上，则实数m的值为（　　） A.－2 B.0 C.4 D.6 5.下列关于一次函数y＝kx＋b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（　　） A.图象经过第一、二、四象限 B.y随x的增大而减小 C.图象与y轴交于点（0，b） D.当x＞－时，y＞0 A D 点击回到目录 6.（2023·荆州）如图，直线y＝－x＋3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（　　） C A.（2，5） B.（3，5） C.（5，2） D.（，2） 点击回到目录 7.在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是　 . 点击回到目录 8.（2023·南充）如图，直线y＝kx－2k＋3（k为常数，k＜0）与x，y轴分别交于点A，B，则＋的值是　 　. 1 点击回到目录 9.经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上1.3 m处的直径）越大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y（m）是其胸径x（m）的一次函数.已知这种树的胸径为0.2 m时，树高为20 m；这种树的胸径为0.28 m时，树高为22 m. （1）求y与x之间的函数表达式； 【解答】（1）设y＝kx＋b（k≠0）， 根据题意，得 解得∴y＝25x＋15； 点击回到目录 （2）当这种树的胸径为0.3 m时，其树高是多少？ 【解答】（2）当x＝0.3时，y＝25×0.3＋15＝22.5. 答：当这种树的胸径为0.3 m时，其树高为22.5 m. 点击回到目录 10.（2024·淮北三模）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八折优惠. （1）该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由. 【解答】（1）第①种应实付款y1＝x－2， 第②种应实付款y2＝0.8（x－15）＋15＝0.8x＋3，y1－y2＝（x－2）－（0.8x＋3）＝0.2x－5. 令0.2x－5＝0，解得x＝25. 当20＜x＜25时，采取第①种付款方式较省钱； 当x＝25时，两种付款方式一样； 当x＞25时，采取第②种付款方式较省钱. 点击回到目录 （2）已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元.若不考虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由. 【解答】（2）该企业采取第①种付款方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数n1之间的关系为x－20－2＝2n1，即n1＝0.5x－11； 该企业采取第②种付款方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数n2之间的关系为0.8（x－15）＝2n2，即n2＝0.4x－6. n1－n2＝（0.5x－11）－（0.4x－6）＝0.1x－5， ∵x＜50，所以n1＜n2. ∴采取第①种方式可早日结清余款. 点击回到目录 2 能　力　提　升 1.（2024·广东）已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是（　　） B 点击回到目录 2.（2023·雅安）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（　　） A.y＝－x＋1 B.y＝x＋1 C.y＝－x－1 D.y＝x－1 3.如图，一次函数y＝－x－4与正比例函数y＝kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于点B，且AO＝AB，则正比例函数的解析式为（　　） A B A.y＝x B.y＝x C.y＝x D.y＝x 点击回到目录 4.（2023·聊城）甲、乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地.两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻 t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（　　） A.8：28 B.8：30 C.8：32 D.8：35 A 点击回到目录 5.（2024·镇江）点A（1，y1），B（2，y2）在一次函数y＝3x＋1的图象上，则y1 　　 y2（用“＜”“＝”或“＞”填空）. 6.如图，点A，B，C在一次函数y＝－2x＋m的图象上，它们的横坐标依次为－1，0.5，2.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是 　 　. ＜ 3.25 点击回到目录 7.（2023·杭州）在“探索一次函数y＝kx＋b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）.同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，y3＝k3x＋b3.分别计算k1＋b1，k2＋b2，k3＋b3的值，其中最大的值等于　 　. 5 点击回到目录 8.（2023·温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x－上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）. 点击回到目录 （1）求m的值和直线AB的函数表达式； 【解答】（1）把点A（2，m）代入y＝2x－中，得m＝， 设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b， 把A，B（0，3）代入， 得解得 ∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋3； 点击回到目录 （2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t－1，y2）在直线y＝2x－上，求y1－y2的最大值. 【解答】（2）∵点P（t，y1）在线段AB上， ∴y1＝－t＋3（0≤t≤2）. ∵点Q（t－1，y2）在直线y＝2x－上， ∴y2＝2（t－1）－＝2t－， ∴y1－y2＝－t＋3－＝－t＋. ∵－＜0，∴y1－y2随t的增大而减小， ∴当t＝0时，y1－y2的最大值为. 点击回到目录 9.（2024·牡丹江）一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地.甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地.甲、乙两车之间的路程y km与两车行驶时间xh的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： 点击回到目录 （1）甲车行驶的速度是　 　 km/h，并在图中括号内填上正确的数； 【解答】（1）由图可知，甲车小时行驶的路程为（200－180）km， ∴甲车行驶的速度是（200－180）÷＝70（km/h）， ∴A，C两地的距离为×70＝300（km），如图， 故答案为：70；300； 70 点击回到目录 （2）求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 【解答】（2）由图可知E，F的坐标分别为，（4，180）， 设线段EF所在直线的函数解析式为y＝kx＋b， 则解得 ∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝120x－300； 点击回到目录 （3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍. 【解答】（3）由（1）知，A，C两地的距离为300 km， ∴乙车行驶的速度为300÷－70＝50（km/h）， C，B两地的距离为50×4＝200（km）， A，B两地的距离为300－200＝100（km）， 设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍， 分两种情况，当甲、乙相遇前时：200－50x＝3（100－70x），解得x＝， 当甲、乙相遇后时：200－50x＝3（70x－100），解得x＝. 综上可知，两车出发 h或 h时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍. 点击回到目录 $$