精品解析：广东省深圳市深圳大学附属中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试 高二年级数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本卷共4页. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5．考生必须保证答题卡的整洁. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（每小题只有一个选项符合题意.本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算法则求解即可. 【详解】向量， 故选：A. 2. 直线与直线一定（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】求得两直线的斜率，根据斜率关系判断直线的位置关系. 【详解】由直线得，, 由直线得，, 因为，故两直线相交但不垂直. 故选：D. 3. 等差数列的前项和为，，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质以及等差数列前项和公式求解即可. 【详解】. 故选：D. 4. 已知圆，圆，两圆的交点为，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】联立两圆方程得到公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式，结合几何法求弦长计算即可求解. 【详解】由得， 所以圆和圆的公共弦所在直线方程为， 圆的圆心为，半径， 到公共弦所在直线的距离为， 所以. 故选：C. 5. 某学校高二年级开设了乒乓球、羽毛球和篮球三门课，甲、乙两位同学每人从中选择一门，且允许多位同学选择同一门课．若至少有一位同学选择了乒乓球，则这两位同学不同的选课方法共有（ ）种． A 2 B. 4 C. 5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先求出所有可能的选课方法总数，再求出没有人选择乒乓球的选课方法数，作差即可求解. 【详解】甲乙两位同学每人从乒乓球、羽毛球和篮球三门课中选择一门，共有种选课方法， 甲乙两位同学都未选乒乓球，共有种选课方法， 则甲乙两位同学至少有一位同学选择了乒乓球，不同的选课方法共有种. 故选：C. 6. 已知直线，圆，为上一动点，则到的最小距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，再求到的最小距离. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以圆上动点到的最小距离为. 故选：A. 7. 已知椭圆的左焦点为，左顶点为，直线过点，且与轴垂直，交于，两点，已知的周长为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求出，，，化简得到关于和的齐次式，求解即可. 【详解】 ，，， 将代入椭圆方程，得，解得， 即，，所以， 因为的周长为，所以， 即， 将移到等号右边，然后两边同时平方，化简得， 因为，所以， 即，因为离心率，所以， 解得或，因为椭圆离心率的范围为，所以， 故椭圆的离心率为. 故选：B. 8. 已知函数（且）存在最小值，当变化时，有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 以上说法都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，判断函数的单调性确定最值从而得到的范围，再对求导判断单调性即可判断最值情况. 【详解】，定义域为， ， 令，得，因， 所以当时，；当时，. 当时，，故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 此时不存在最小值，所以. 当时，，故当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 在处取得最小值， 即，， ，令，得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，无最小值. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行分类讨论，从而确定的范围. 二、多选题：（每小题有多个选项符合题意.本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 正项数列的首项为3，，．是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，，成等比数列 C. D. 数列是公差为1的等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的甚至公式，再逐项判断即可. 【详解】数列的首项为3，，则数列是公比为3的等比数列，， 对于A，，A正确； 对于B，，成等比数列，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，数列是公差为1的等差数列，D正确. 故选：ABD 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线经过定点 B. 若直线与圆交于点，，则的最大值为2 C. 存在实数，使得直线与圆相离 D. 若上存在四个不同的点，到直线的距离为，则的范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】由直线方程取，可得，由此确定直线过定点，判断A，求圆心到直线的距离，由此判断BCD. 【详解】由方程取，可得， 所以直线过定点，A 错误； 圆的圆心的坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 当时，取最小值，此时取最大值，B正确； 若直线与圆相离， 则，解得， 故当时，直线与圆相离，C正确； 若上存在四个不同的点，到直线的距离为， 则圆心到直线的距离，即， 解得， 所以若上存在四个不同的点，到直线的距离为， 则的范围是，D错误. 故选：BC. 11. 已知双曲线左焦点为，直线过点，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点，，，（从左到右），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，其中一条渐近线方程为 B. 存在，存在直线，使得点为线段的中点，且 C. 任意，存在直线，使得点为线段的中点，且 D. 任意，无论直线怎么运动， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线中，求出渐近线方程判断A；结合图形及双曲线定义判断BC；设出直线的方程，分别与双曲线及渐近线方程联立，利用韦达定理求解判断D. 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距， 对于A，当时，双曲线的渐近线方程为，A正确； 对于B，取的右焦点，连接，分别为的中点，则，， ，，则， 于是，而，矛盾，B错误； 对于C，取的右焦点，连接，分别为的中点，则，， 双曲线的渐近线方程为，则，即， 因为，所以，得，， ，，符合要求，C正确； 对于D，显然直线的斜率存在，设其方程为，， 由消去，得，则， 由消去，得，则， 因此，线段有相同的中点，则，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题选项BC，作出符合题意的图形，结合图形分析推理是求解的关键. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12. 函数在处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求切线的斜率，再由点斜式求切线方程. 【详解】函数的导函数为， 所以，， 所以函数在处的切线的斜率为，切点为， 所以函数在处的切线方程为. 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，取，，由此求出，，再求即可. 【详解】因为，， 取可得，，所以， 取可得，，所以， 所以， 故答案为：. 14. 已知圆，圆，两圆交于，两点，则面积的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，证明两圆相交，求两圆的公共弦方程，再求面积的的解析式，令，可得，判断函数的单调性，结合单调性求最小值. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 所以，，， ， 故， 所以圆与圆相交， 将方程与方程相减可得， 所以直线的方程为， 因为到直线的距离， 所以， 又到直线的距离， 所以面积， 令，则，， 所以，， 设，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，函数取最小值， 故当时，取最小值， 所以当，即时，面积取最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于先求出公共弦的方程，结合弦长公式点到直线的距离公式求出的面积的表达式，再结合换元法，结合函数单调性求最值. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列是公差不为0等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，则，由条件结合等差数列通项公式列方程求，由此可得其通项公式； （2）由（1），利用裂项相消法求的前项和． 【小问1详解】 设数列的公差为，则， 因为，且， 所以，， 解得，， 所以， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 因为， 由（1）可得， 所以数列的前项和， 所以. 所以数列的前项和. 16. 已知函数． （1）求的最大值； （2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 参考数据：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，从而求出最大值； （2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断单调性求解即可. 【小问1详解】 的定义域为，，令，得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以， 所以的最大值为； 【小问2详解】 对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 所以，， 令，，， 令，得， 当时，，在单调递减； 当时， ，在单调递增， 且，， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 17. 如图，长方体中，，，为中点，在线段上，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合两个平面相互垂直的定义推理得证. （2）利用几何法作出二面角的平面角，再在直角三角形中求解即可. 【小问1详解】 长方体中，，而平面， 则平面，而平面，因此， 是平面与平面所成二面角的一个平面角， 又，，则， 所以平面平面. 【小问2详解】 连接，由（1）知，， 而平面，则平面， 又平面，于是，是平面与平面所成锐二面角， 在中，， 因此， 所以平面与平面所成锐二面角的正弦值是. 18. 已知为坐标原点，点，，是抛物线上不同的三点，其中，点在第一象限，直线与平行，直线与交于点，直线与直线交于点． （1）求抛物线的准线方程； （2）求直线的方程； （3）求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入方程求出值即得. （2）根据给定条件，设直线，抛物线方程联立，利用韦达定理，结合方程组法求出点纵坐标即可. （3）利用弦长公式列式求出的函数关系，借助基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由在抛物线上，得，解得， 所以抛物线的准线方程为. 【小问2详解】 直线的斜率，设直线，， 由消去，得，则，， 直线方程为，直线方程为，即， 由，得点纵坐标，即点， 同理得直线方程为，直线方程为，点， 所以直线方程为. 【小问3详解】 由（2）知，， 令，而，要最小，则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，……，，注：，，，，…….已知，． （1）若，函数在处的阶帕德近似为函数，求实数，的值； （2）若，设函数，是的极大值点，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用阶帕德近似的定义求出. （2）求出函数及导数，由极大值点求出，再求出及，按分类讨论处的极值情况得解. 【小问1详解】 当时，，由，得，解得， 则，，， ，由，得， 所以，. 【小问2详解】 当时，，求导得， 由是的极大值点，得，解得，， 求导得， ， 当时，， 当时，，当时，， 函数在上递增，在上递减，是的极大值点，符合题意，则； 当时，，且函数在上连续，则存在且， 使得，，函数在上单调递减，而， 因此当时，，当时，， 函数在上递增，在上递减，是的极大值点，符合题意，则； 当时，，且函数在上连续，则存在且， 使得，，函数在上单调递增，而， 因此当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，是的极小值点，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：求出且，按的正负情况分类，结合函数的连续性确定在含有0的开区间内的单调性是求解问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末考试 高二年级数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本卷共4页. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5．考生必须保证答题卡的整洁. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（每小题只有一个选项符合题意.本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 向量（ ） A. B. C. D. 2. 直线与直线一定（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 3. 等差数列的前项和为，，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 4. 已知圆，圆，两圆的交点为，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 某学校高二年级开设了乒乓球、羽毛球和篮球三门课，甲、乙两位同学每人从中选择一门，且允许多位同学选择同一门课．若至少有一位同学选择了乒乓球，则这两位同学不同的选课方法共有（ ）种． A. 2 B. 4 C. 5 D. 9 6. 已知直线，圆，为上一动点，则到的最小距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知椭圆的左焦点为，左顶点为，直线过点，且与轴垂直，交于，两点，已知的周长为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（且）存在最小值，当变化时，有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 以上说法都不正确 二、多选题：（每小题有多个选项符合题意.本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 正项数列的首项为3，，．是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，，成等比数列 C. D. 数列是公差为1的等差数列 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线经过定点 B. 若直线与圆交于点，，则的最大值为2 C. 存在实数，使得直线与圆相离 D. 若上存在四个不同的点，到直线的距离为，则的范围是 11. 已知双曲线的左焦点为，直线过点，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点，，，（从左到右），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，其中一条渐近线方程为 B. 存在，存在直线，使得点为线段的中点，且 C. 任意，存在直线，使得点为线段的中点，且 D. 任意，无论直线怎么运动， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12. 函数在处切线方程为__________． 13. 已知数列的前项和为，，，，则__________． 14. 已知圆，圆，两圆交于，两点，则面积的最小值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列是公差不为0等差数列，，． （1）求数列通项公式； （2）设，求的前项和． 16. 已知函数． （1）求的最大值； （2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 参考数据：． 17. 如图，长方体中，，，为中点，在线段上，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 18. 已知为坐标原点，点，，是抛物线上不同的三点，其中，点在第一象限，直线与平行，直线与交于点，直线与直线交于点． （1）求抛物线的准线方程； （2）求直线的方程； （3）求最小值． 19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，……，，注：，，，，…….已知，． （1）若，函数在处阶帕德近似为函数，求实数，的值； （2）若，设函数，是的极大值点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $