2025届湖北省“新八校”协作体高三下学期2月联考数学试卷

2025年湖北省“新八校”协作体高三2月联考 高三数学试卷 命题学校：宜昌一中 命题教师：曾凡兵 王健 裴伟 审题学校：龙泉中学 武汉三中 考试时间：2025年2月6日下午15:00-17:00 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．函数，则对任意实数，下列结论正确的是（ ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是奇函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递减 4．已知向量，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，则该四棱锥的体积为（ ） A．1 B．2 C． D． 7．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点为双曲线（为焦点）上一点，点处的切线平分．已知双曲线，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 8．已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A． B．的图象关于点对称 C．的图像关于直线对称 D．的图像与的图像在内有4个交点 10．函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数在上单调递减 B．函数既有极大值，也有极小值 C．方程有2个不同的实数解 D．在定义域内，恒有 11．二元一次方程：可以表示平面内所有的直线，二元二次方程可以表示平面内所有的二次曲线．下列对二元二次方程所表示曲线的性质描述正确有（ ） A．曲线关于直线对称 B．曲线上点的纵坐标的范围是 C．存在，使与曲线相切 D．过的直线与曲线交于两点，的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．现有5名志愿者被派往三个小区参加志愿者活动，每个志愿者只能选其中一个小区，小区安排1人，小区安排2人，小区安排2人．则不同的安排方案共有___________种（用数字作答）． 13．已知直线与曲线相切，则直线的方程为：___________． 14．在平面直角坐标系内，已知，若的面积不超过，则满足条件的整点（横纵坐标均为整数）的个数为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在矩形中，点在线段上，且． （1）求； （2）若动点分别在线段上，且与面积之比为，试求的最小值． 16．（本小题满分15分） 秋收冬藏，穰穰满家。神州大地，又是一个丰收年．2024年我国粮食年产量首次迈上万亿斤新台阶，实现高位增产．某地农科院为研究不同土壤条件对大豆产量的影响，在该地区选取了一批试验田种植大豆，现随机抽取了面积相等的10块试验田，得到各块试验田的亩产量（单位：kg），并整理得下表： 亩产量 频数 1 3 2 4 现将亩产量不少于200kg的试验田记为“优等田”． （1）从这10块试验田中任选3块田，求恰有1块是“优等田”的概率； （2）以这10块试验田的检验结果来估计该地区不同土壤条件对大豆产量的影响，若从该地区随机抽取3块试验田，记“优等田”的块数为，求的分布列和期望． 17．（本小题满分15分） 已知抛物线的焦点到准线的距离为1，过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，且直线刚好与圆相切．设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）求点的轨迹方程； （3）设曲线与轴交点为，点关于原点的对称点为，记直线的斜率分别为，证明：是定值． 18．（本小题满分17分） 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球心到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）求在处的瞬时变化率； （2）若恒成立；求的值； （3）求证：． 2025年湖北省“新八校”协作体高三2月联考 高三数学参考答案． 1．C 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．B 8．D 9．BD 10．BCD 11．ABD 12．30 13． 14．24 15．（1）【方法一】设，则，而，在中，由余弦定理得，化简得，解得或（舍去），所以； 【方法二】作，垂足为，设，则，又，所以，解得，所以； （2）设，由（1），由题：， ∴，又，∴， 由余弦定理得：，当且仅当时取等号， ∴的最小值为． 16．（1）设抽取的3块试验田中恰有1块是“优等田”为事件，则， 因此，从10块试验田中任选3块田，恰有1块是“优等田”的概率为； （3）由题意可知，从这10块试验田中任选1块田，恰好是“优等田”的概率为， 由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则 ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 故． 17．（1）依题意，，故抛物线的方程为； （2）设． ∵，∴，可得，化为． 同理方程为：． 设，则有， 说明都在直线上，即方程：，又与圆相切，∴，可化为，∴点轨迹方程为． （3）依题意，， 设直线的方程为（斜率存在），由消去并整理得，则，即， 由直线与双曲线的下支交于两点，得可得 ，解得， 所以 故，为定值． 18．（1）证明：取的中点为，连结， ∵，且的中点为，∴， 又∵，且的中点为，∴， 又∵，∴面， ∵面，∴． （2）当时，由≌得． 【方法一】取的中点，连接，故点到、、、四点的距离相等，故点即为三棱锥外接球的球心． 因为，故，设到平面的距离为，到平面的距离为，由等体积法得得，而，所以． 故，从而，故点到平面的距离为． 【方法二】补成正方体过作面，垂足为，连接，∴． ∵平面 ∴，同理， ∵底面为等腰直角三角形，∴四边形为正方形且边长为2， 又∵，∴，即三棱锥就是正方体的一部分． ∴球心到平面的距离为正方体体对角线的，即． （3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，过点作平面的垂线，垂足为，设，即为翻折过程中所旋转的角度，则． ，故 ， 设平面的法向量，则 ， 取，则，∴； 设平面的法向量，则 ， 取，则，∴， 设平面与平面夹角为． ∴． ∴，令，显然，化简得： 故∴，当且仅当即时取等号． 故平面与平面夹角的余弦值的最小值为，此时． 19．（1），则，故在处的瞬时变化率为1； （2）设．由条件知恒成立， 因为，又的图像在定义域上是连续不间断的， 所以是的一个极大值点，则． 又，所以，得； 下证当时，对任意恒成立， 令，则， 由， 知函数在单调递增，在上单调递减， ∴，即，而， 所以当时，． 综上，若恒成立，则． （3）由（2）可知，∴． ∴ ， 先证， 令， 则在上单调递减，，即 所以． 再证，先证， 令，则， 当时，，函数单调递增，且，则， 即，令即得． 又，得 所以 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $$