精品解析： 内蒙乌兰察布市初中联盟校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

乌兰察布市初中联盟校2024-2025学年度第一学期期末素养评价 九年级数学 分值：100分 时间：90分钟 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 中国新能源汽车产业的蓬勃发展，满足了全球广大消费者对优质产品和服务的需求，为全球汽车产业转型提供有力支撑，为应对全球气候变化、推动低碳发展作出了中国贡献、展现了中国担当．下列新能源车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图像经过点，那么该反比例函数图像也一定经过点（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（     ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个实数根 4. 在中，，已知，则的值为（ ） A B. C. D. 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 7. “中国第一高树”云南黄果冷杉高度为，相当于28层楼高．小明同学想测量公园内某棵冷杉的高度，如图，他调整自己的位置，设法使自制的直角三角形纸板的斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则冷杉的高为（ ） A. B. C. D. 8. 拱形设计可以起到向上拉伸的视觉效果，增加空间艺术感，不管是在古代建筑还是现代家居中都应用广泛．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），总跨度为，拱的半径为，则拱高为（ ） A. B. C. D. 9. 点、、在反比例函数的图象上，且，则有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形纸片中，，，点，分别为，上的点，将纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长，交于点，若，则折痕的长为（ ） A. 8 B. C. D. 6 二、填空题．（每题3分，共18分） 11. 若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比为______． 12. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则a的值可以是______． 13. “北斗”是中国自行研制全球卫星导航系统，如图1是“北斗”的标识，表示太空的部分可以抽象出一条长为的弧，若该扇形可围成高为12的圆锥（如图2），则该圆锥的母线长为为______． 14. 若关于x的方程有一个根是，则方程的另一个根为______． 15. 水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C的水嘴所在墙的距离AC是______m． 16. 如图，已知等腰顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）． 三、解答题．（本大题7个小题，共52分） 17. （1）解方程：． （2）如图，点D是的边上一点，．当，时，求的长． 18. 为传承红色基因，学习红色精神，某班组织甲、乙、丙三个学习小组参观红色教育基地，三个小组分别从内蒙古民族解放纪念馆，集宁战役纪念园选择一个参观，用画树状图或列表的方法求三个小组参观同一个红色教育基地的概率． 19. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 20. 如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，连接，使．求： （1）求证：直线是的切线； （2）若，求扇形的面积 21. 某书店正在销售一种科幻书，它的进价和售价分别为元和元． （1）该书店打算在元旦把这种科幻书进行降价促销，若按原售价进行销售则平均每天卖出6本，经调查发现每降价1元，平均每天可多售出3本，则将售价定为每本多少元时，才能使这种科幻书平均每天的销售利润为元? （2）在（1）的条件下，要使这种科幻书平均每天的销售利润最大，则这种科幻书的售价应定为多少元?并求出最大利润． 22. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 23. 如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且，分别以为边在直线l同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点C，直角边恒过点H． （1）如图1，若，，求点M与点B之间的距离； （2）如图1，若，当点M在点B、E之间运动时，求的最大值； （3）如图2，若，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接，点是中点，连接，则的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 乌兰察布市初中联盟校2024-2025学年度第一学期期末素养评价 九年级数学 分值：100分 时间：90分钟 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 中国新能源汽车产业的蓬勃发展，满足了全球广大消费者对优质产品和服务的需求，为全球汽车产业转型提供有力支撑，为应对全球气候变化、推动低碳发展作出了中国贡献、展现了中国担当．下列新能源车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知反比例函数的图像经过点，那么该反比例函数图像也一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把点代入反比例函数的解析式求出的值，再对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， A、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C、，此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； D、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中，为定值是解答此题的关键． 3. 一元二次方程的根的情况是（     ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握：已知方程（、、为常数，），①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程无实数根． 【详解】解：一元二次方程， 此时，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 4. 在中，，已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角形函数的定义，熟练掌握正切等于对边比邻边是解题的关键． 根据锐角三角函数正切的定义求解即可． 【详解】如图：在中，， ，， ， 故选：C． 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、， 根据题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键． 6. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 【答案】D 【解析】 【分析】观察每一项的变化，发现甲将老师给的式子中等式右边缩小两倍，到了丁处根据丙的式子得出了错误的顶点坐标. 【详解】解： ， 可得顶点坐标为（-1，-6）， 根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为（1，-3）， 所以错误的只有甲和丁. 故选D. 【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标和配方法，解题的关键是掌握配方法化顶点式的方法. 7. “中国第一高树”云南黄果冷杉高度为，相当于28层楼高．小明同学想测量公园内某棵冷杉的高度，如图，他调整自己的位置，设法使自制的直角三角形纸板的斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则冷杉的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意找到相似三角形是解题的关键．根据即可求得的长，进而求得树高． 【详解】解：依题意，，， ， ， cm，cm，m，m， ， ． 故选：B． 8. 拱形设计可以起到向上拉伸的视觉效果，增加空间艺术感，不管是在古代建筑还是现代家居中都应用广泛．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），总跨度为，拱的半径为，则拱高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的运用、勾股定理，解答的关键是构建直角三角形．先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算． 【详解】解：延长到O，使得，则O为圆心， 由题意，跨度，拱的半径为，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴拱高， 故选：B． 9. 点、、在反比例函数的图象上，且，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出函数的增减性，再判断出各点所在的象限，根据每个象限内点的坐标特点解答即可． 【详解】∵，∴函数图象在二，四象限，由，可知，横坐标为的点在第二象限，横坐标为、的点在第四象限． ∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，∴大，在第二象限内，y随x的增大而增大，∴．故选C． 【点睛】在反比函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较． 10. 如图，在矩形纸片中，，，点，分别为，上的点，将纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长，交于点，若，则折痕的长为（ ） A. 8 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，过点F作于点H，由折叠的性质可得，通过导角证明，进而证明，根据相似三角形对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：如图，与交于点O，过点F作于点H， ， ∴四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得， ， ， 又矩形中，， ， ，即， 又， ， ，即， 解得， 故选：C． 二、填空题．（每题3分，共18分） 11. 若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质及应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据两个相似三角形的面积比等于相似比平方，进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴两个三角形面积的比为， 即这两个三角形面积的比为． 故答案为：． 12. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则a的值可以是______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据当时，y随x的增大而减小列式求解即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴a的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 13. “北斗”是中国自行研制的全球卫星导航系统，如图1是“北斗”的标识，表示太空的部分可以抽象出一条长为的弧，若该扇形可围成高为12的圆锥（如图2），则该圆锥的母线长为为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查弧长的计算，勾股定理的运用，掌握弧长的计算方法，勾股定理求线段长的方法是解题的关键．设，根据弧长公式可得圆锥底面圆的半径，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题知，设，则， 解得，即． 在中，由勾股定理得母线， 故答案为：13． 14. 若关于x方程有一个根是，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程．先将代入方程中求得，再解方程即可解答． 【详解】解：∵方程有一个根是， ∴，解得， ∴方程为，即， 解得，， ∴方程的另一个根为4， 故答案为：4． 15. 水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C的水嘴所在墙的距离AC是______m． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度． 【详解】解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， ∵点P是最高点， ∴设抛物线解析式为：， 将点D坐标代入，可得：， 解得：， ∴， 令，解得：，， ∴点， ∴， 故答案为：5． 16. 如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】依题意知，和是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS证明， 可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为，故最小时面积最小，即，等腰三角形三线合一，D为中点时 . 【详解】∵绕点A沿顺时针方向旋转角度得到 ∴， ∴ 即 ∴ ∵ 得：（SAS） 故①对 ∵和是顶角相等的等腰三角形 ∴ 故②对 ∴ 即AD最小时最小 当时，AD最小 由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点 故③对 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键 . 三、解答题．（本大题7个小题，共52分） 17. （1）解方程：． （2）如图，点D是的边上一点，．当，时，求的长． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的相似，熟料掌握相似三角形的性质求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中． （1）先将方程化为一般式，再利用公式法解方程即可； （2）证明三角形，可得，即，进而可得的长． 【详解】解：（1）方程化为一般式为：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴（负值已舍）， ∴的长为． 18. 为传承红色基因，学习红色精神，某班组织甲、乙、丙三个学习小组参观红色教育基地，三个小组分别从内蒙古民族解放纪念馆，集宁战役纪念园选择一个参观，用画树状图或列表的方法求三个小组参观同一个红色教育基地的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到三个小组参观同一个红色教育基地的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将参观内蒙古民族解放纪念馆、集宁战役纪念园分别记为A、B， 画树状图为： 由树状图可知共有8种等可能的结果，三个小组参观同一个教育基地的结果有2种， ∴三个小组参观同一个红色教育基地的概率为． 19. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 20. 如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，连接，使．求： （1）求证：直线是的切线； （2）若，求扇形的面积 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可； （2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，则：， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形面积为． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，扇形的面积，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键． 21. 某书店正在销售一种科幻书，它的进价和售价分别为元和元． （1）该书店打算在元旦把这种科幻书进行降价促销，若按原售价进行销售则平均每天卖出6本，经调查发现每降价1元，平均每天可多售出3本，则将售价定为每本多少元时，才能使这种科幻书平均每天的销售利润为元? （2）在（1）的条件下，要使这种科幻书平均每天的销售利润最大，则这种科幻书的售价应定为多少元?并求出最大利润． 【答案】（1）售价定为元/本或元/本 （2）售价应定价为元/本，最大利润为元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用． （1）设售价定为x元/本，使这种科幻书平均每天的销售利润为元，据此列方程并解方程即可； （2）设售价定为m元，平均每天的销售利润为w元，根据（1）即可得到w的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设售价定为x元/本，则可列方程： ， 解得：，， ∴将售价定为45元/本或35元/本时，才能使这种科幻书平均每天的销售利润为元． 【小问2详解】 设售价定为m元，平均每天的销售利润为w元， 则， ∵， ∴当时，w有最大值，300， ∴要使这种科幻书平均每天的销售利润最大，这种科幻书的售价应定价为40元/本，最大利润为300元． 22. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 23. 如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且，分别以为边在直线l同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点C，直角边恒过点H． （1）如图1，若，，求点M与点B之间的距离； （2）如图1，若，当点M在点B、E之间运动时，求的最大值； （3）如图2，若，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可； （）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可； （）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴，即，则， 解得：或， ∴或； 【小问2详解】 解：设，则， 同理可证明， ∴，即， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为，即当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 即点在对角线所在直线上运动， 如图，作关于的对称点，连接，过作于点， ∴，四边形为矩形，， ∴，，， ∴点三点共线， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$