精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高一上学期期末文化水平测试数学试题

黔东南州2024-2025学年度第一学期期末文化水平测试 高一数学试卷 注意事项： 1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在答题卡“考生条形码区”. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 设，，则“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分必要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中，），经过24个月，这种垃圾的分解率为,经过48个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月. （参考数据：） A. 80 B. 90 C. 100 D. 120 7. 设函数图象的一条对称轴方程为，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（ ） A. 是偶函数 B. C. 的图象关于对称 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A. 或3 B. 一定为奇函数 C. 一定为减函数 D. 必过点 10. 若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. 的图象的一个对称中心为 C. 的单调递增区间是， D. 把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得的图象 11. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为1 D. 的最小值为18 第Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知命题：，，则命题的否定为______. 13. 已知扇形的圆心角为，所对的弧长为，则这个扇形的面积为______. 14. 已知函数，则函数的零点的个数为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）计算； （2）化简：. 16. 在单位圆中锐角的终边与单位圆交于点，已知. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知函数的最小正周期. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，方程有且仅有两个根，求的取值范围. 18. 近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示： 5 10 15 20 25 45 50 55 50 45 已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③. （1）请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式； （2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式； （3）该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？ 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. （1）利用上述结论，证明：的图象关于成中心对称图形； （2）请利用函数的对称性求：的值； （3）判断的单调性（无需证明），并解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔东南州2024-2025学年度第一学期期末文化水平测试 高一数学试卷 注意事项： 1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在答题卡“考生条形码区”. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意化简集合N，进而可得交集. 【详解】由题意可得：， 且，所以. 故选：D. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用诱导公式结合特殊角求值即可. 【详解】. 故选：A. 3. 设，，则“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分必要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由且，根据不等式性质可以知道，故充分性成立； 但是，得不到且， 如且，满足，显然不成立，故必要性不成立； 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数性质即可求解. 【详解】因为均为减函数， 所以. 故选：B. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用“排除法”.判断函数的奇偶性，可排除B；根据，可排除A；根据，可排除C. 【详解】由函数可知定义域为，且定义域关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，故排除选项B； 因为，故排除选项A；因为，故排除选项D. 故选：C. 6. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中，），经过24个月，这种垃圾的分解率为,经过48个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月. （参考数据：） A. 80 B. 90 C. 100 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可得出关于的方程组，解之即得的表达式，再由，利用取对数求出的值即可. 【详解】由题意，可得，解得，则， 这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以， 两边取对数，可得：，则. 故选：A. 7. 设函数图象的一条对称轴方程为，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由三角恒等变换化简，由已知对称轴方程以及的范围可得的值，结合正弦函数的性质可知的最小值为即可求解. 【详解】 所以. 由题得，可得， 因为，所以，，所以. 所以若，则得到. 故选：B 8. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（ ） A. 是偶函数 B. C. 的图象关于对称 D. 【答案】D 【解析】 【分析】推导出是周期函数，是它的一个周期，并计算出，结合周期性可判断B选项；利用题中等式进行推导，结合函数的对称性可判断BC选项；分析函数在上的单调性，结合函数的周期性可判断D选项. 【详解】因为函数为奇函数，则， 所以，，可得， 因为函数为偶函数，则， 所以，， 所以，，所以是周期函数，是它的一个周期. 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 所以，，B对； 对于C选项，因为，即， 所以，函数的图象关于点对称，C对； 对于D选项，对任意的、，且，有， 不妨设，则，所以，函数在为增函数， 因为，， 因为，则，所以，，D错. 故选：D. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A. 或3 B. 一定为奇函数 C. 一定为减函数 D. 必过点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据幂函数的概念可求的值，再结合幂函数的性质对各选项进行判断. 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得或，故A正确； 对于B，当或时，或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，不是减函数，当时，是增函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有，所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD 10. 若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. 的图象的一个对称中心为 C. 的单调递增区间是， D. 把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得的图象 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图像确定振幅周期从而求出、从而判断A；根据图像上点的坐标求出由此得到函数解析式，将代入解析式判断B；求解不等式判断C；根据三角函数图象变换的知识判断D. 【详解】由图可知，，所以A选项错误. ， ，所以， ，所以B选项正确. 由，解得， 所以的单调递增区间是，，C选项正确. 把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到， 所以D选项正确. 故选：BCD 11. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为1 D. 的最小值为18 【答案】AB 【解析】 【分析】根据基本不等式得，再解不等式可判断A；根据得，再解不等式可判断B；由题知，进而代换，结合基本不等式求解判断CD. 【详解】解：因为，， 可得，所以， 解得，当且仅当时，取等号，即的最大值为1，故A正确； 因为， 所以，解得， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4，故B正确； 由可解得，故 所以，当且仅当，取等号，即，，与矛盾，故C错误； ，当且仅当，取等号，即，，与矛盾，故D错误； 故选：AB 第Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知命题：，，则命题的否定为______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题解答即可. 【详解】命题：，为全称量词命题， 其否定为：，. 故答案为：， 13. 已知扇形的圆心角为，所对的弧长为，则这个扇形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用弧度制下扇形的弧长、面积公式计算即可. 【详解】设扇形半径为，且， 根据弧长公式，则， 所以扇形的面积为. 故答案为： 14. 已知函数，则函数的零点的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为与的交点个数问题，通过讨论可作出两个函数的图象，结合图象可得零点个数. 【详解】，的零点个数等价于与的交点个数； 当时，，此时； 当时，，此时，……依此类推， 当，时，， 则，，， 设，则，，， 当，且时，， 在，且上恒成立， 由此可得图象如下图所示， 当时，，由解得，此时两个函数图象只有一个交点， 由图象知：两个函数图象有个交点，即函数的零点个数为个. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：判断函数零点的个数常用的方法： （1）方程法：直接求解方程得到方程的根，根的个数即为零点个数； （2）图象法：作出函数图象，根据函数图象与轴交点个数得到零点个数； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，将问题转化为两个函数的交点个数问题. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）计算； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)利用指数幂与根式的互化进行运算； (2)利用对数的运算性质进行求解. 【详解】（1）. （2）因为 . 16. 在单位圆中锐角的终边与单位圆交于点，已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在单位圆上，且角为锐角，可求出的值，根据三角函数的定义可求角的三角函数值，再利用诱导公式化简，代入角的三角函数值即可求值. （2）根据“齐次式”的计算方法求值. 【小问1详解】 由于点在单位圆上，且是锐角，可得， 所以， 所以. 【小问2详解】 17. 已知函数的最小正周期. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，方程有且仅有两个根，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用三角恒等变换得，根据已知及正弦型函数性质求参数并确定单调递增区间； （2）问题化为直线与函数在上的图象有两个交点求参数范围，应用正弦函数的性质研究的图象，数形结合求参数范围. 【小问1详解】 依题意， ， 由，，得，， 由，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，函数单调递增， 在时，函数单调递减， 又， 则函数在上单调递增，函数值从1增大到； 在上单调递减，函数值从减小到， 因此方程的根，即直线与函数在上的图象交点的横坐标， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象， 观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 此时，故的取值范围是时，方程有且仅有两个根. 18. 近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示： 5 10 15 20 25 45 50 55 50 45 已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③. （1）请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式； （2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式； （3）该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？ 【答案】（1）选择模型②， （2）， （3）该工艺品的日销售收入第30天最低，最低收入是元 【解析】 【分析】（1）根据题意易知选择函数模型②，从而再根据题意建立方程，即可求解； （2），从而可求的解析式； （3）利用基本不等式及函数单调性，即可求解． 【小问1详解】 由表格中的数据知，随着x的增大，先增后减， ①③函数模型描述的都是单调函数，不符合该数据模型， 所以选择函数模型②：， 由，可得，解得， 因为，解得， 则日销售量与时间x的关系式为. 【小问2详解】 因为第5天的日销售收入为459元， 则，解得，所以， 由（1）知， 则. 【小问3详解】 当，时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当，时，单调递减， 所以函数的最小值为， 综上可得，当时，函数取得最小值元. 所以该工艺品的日销售收入第30天最低，最低收入是元. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. （1）利用上述结论，证明：的图象关于成中心对称图形； （2）请利用函数的对称性求：的值； （3）判断的单调性（无需证明），并解关于的不等式. 【答案】（1），令， ，即， 又， ∴为奇函数，由题意可知，的图象关于成中心对称图形. （2）48 （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）设，整理函数的解析式，判断函数的奇偶性即可. （2）探索函数的性质，得，分别令，再分组求和即可. （3）根据，结合函数的单调性，把函数不等式转化为含参数的一元二次不等式，分类讨论，解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由第（1）问可知，即，令，可得 ， 所以. 【小问3详解】 易知函数为单调递增函数，且对于恒成立， 则函数在上为单调递减函数， 由（2）知，的图象关于成中心对称图形，即， 不等式得：， 即，则， 整理得，即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，. 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为. 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题.本题关键是读懂信息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问是利用函数的性质结合分组求和，第三问则利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $