2024年广东省广州市五年级下学期数学走美杯竞赛试卷

广州市2024年走美杯五年级下学期竞赛试卷 1. 算式 （5 1 3 +2 2 7 ）÷（2 2 3 +1 1 7 ）的计算结果是__________. 2. 飞天中学有三个年级共 800 多名学生，其中初一的学生数恰好占学生总数的27，初三的 学生恰好占学生总数的 5 17，请问：飞天中学初二有_________名学生. 3. 算式 1 + 2 + 3 + ……+2024的计算结果除以 7 的余数是____________. 4. 用 0 至 9 这 10 个数字组成一些合数（每个数字恰好用一次），这些合数的和最小是多 少？ 5. 数字和为 12 并且不含数字 0 的四位数有_______________个. 6. 如图长方形 ABCD 的长 AB=10，宽 BC=8，三角形 AGD 和三角形 BHC 的面积分别为 16 和 10，那么四边形 GEHF 的面积是_________________. 7.1～2024 的自然数中，至多能取出________个数，使得其中没有一个数是另一个数的 2 倍. 8.如图在在 3×3 的方格表内，每个小正方形的面积均为 1．以格点为顶点共可以连出 __________个面积为 1 的三角形. 9. 第一、二、三号草地的面积依次为 5 公顷、6 公顷、18 公顷，三个草地上的草长得一样 密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛 3 天将一号草地的草吃完，又用 6 天将二号草地 的草吃完．在这 9 天里，第二群牛刚好将三号草地的草吃完．如果第一群牛有 20 头，那么 第二群牛有_________头. 10. 如图正方形的边长为 8，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，那 么图中阴影部分的面积是________.（π取 3） 11. 王强骑电动车，速度为每小时 24 千米，李明开车，速度为每小时 70 千米，他们分 别从 A、B 两地同时出发相向而行，并且在 A、B 两地不断行驶往返，且两人第 2024 次迎 面相遇与第 2025 次迎面相遇的地点恰好相距 20 千米，那么 A、B 两地之间的距离是 ________千米. 12. 所有分母为 140 的最简真分数的和是___________． 13. 卡车基地有 5 辆卡车，他们准备去附近的沙漠地区探索，每辆车的油箱里最多能携带 行驶 300 千米的油，由于沙漠里没有汽油补给中途不能加油，但是卡车可以把自己油箱的 油给同伴，同时留下足够自己回卡车基地的油，那么卡车队最远能够探索离卡车基地 ________千米的沙漠. 14. 包含 0 至 9 这 10 个数字的十位数称为“天才数”．那么能被 99 整除的“天才 数”中最小的是______. 15. 将 0～9 其中 9 个数字填入下面的竖式的 9 个方格中，要求每个方框数字不能重复， 那 么符合下面的竖式填法中，其中四位数最大与最小的和是_______. 广州市2024年走美杯五年级下学期竞赛 试卷解析 1. 算式 （5 1 3 +2 2 7 ）÷（2 2 3 +1 1 7 ）的计算结果是__________. 【答案】 2 2. 飞天中学有三个年级共 800 多名学生，其中初一的学生数恰好占学生总数的27，初三的 学生恰好占学生总数的 5 17，请问：飞天中学初二有_________名学生. 【答案】350 【解析】总人数是 7 和 17 的公倍数，[7,17]=119，因为总人数是 800 多，所以总人数是 119 × 7 = 833人，初二的人数占比是 1 − 27− 5 17 = 50 119，那么初二的人数是 833 × 50 119 = 350人. 3. 算式 1 + 2 + 3 + …… +2024的计算结果除以 7 的余数是____________. 【答案】1 【解析】原式=1 + 2 + 3 + …… +2024 =2025×1012 除以 7 余数为 1 4. 用 0 至 9 这 10 个数字组成一些合数（每个数字恰好用一次），这些合数的和最小是多 少？ 【答案】99 【解析】数位尽量小并且一位数自身就是合数的优先自成一个合数 4，6，8，9，剩下的数 字尽量两两组和并且十位数字小 10，27，35 那么总和最小为：4 + 6 + 8 + 9 + 10 + 27 + 35 = 99. 5. 数字和为 12 并且不含数字 0 的四位数有_______________个. 【答案】165 【解析】方法一：可把问题转化为：将 12 个苹果分给 4 个人，每人至少分一个的问题，利 用插板法，12 个苹果 11 个空，需要插 3 个板子分成 4 份， C113 = 11×10×9 3×2×1 = 165. 方法二：枚举法，1 开头有 45 个，2 开头有 36 个，3 开头有 28 个，4 开头有 21 个，5 开头 有 15 个，6 开头有 10 个，7 开头有 6 个，8 开头有 3 个，9 开头有 1 个，共 165 个. 6. 如图长方形 ABCD 的长 AB=10，宽 BC=8，三角形 AGD 和三角形 BHC 的面积分别为 16 和 10，那么四边形 GEHF 的面积是_________________. 【答案】6 【解析】长方形面积 10 × 8 = 80，根据一半模型，三角形 AED 和三角形 BEC 的面积之和 为 80 ÷ 2 = 40，那么三角形 GED 和三角形 HEC 的面积之和为 40 − 16 − 10 = 14，三角 形 FCD 的面积为 80 ÷ 2 = 40，三角形 ECD的面积为 80 ÷ 4 = 20，所以四边形 GEHF 的面 积为 40 − 14 − 20 = 6. 7. 1～2024 的自然数中，至多能取出________个数，使得其中没有一个数是另一个数的 2 倍. 【答案】1349 【解析】2024 ÷ 2 = 1012,先取 1013～2024，1012 ÷ 2 = 506，然后 507～1012 不能取， 506 ÷ 2 = 253，那么 254～506 可以取，253 ÷ 2 = 126⋯⋯1，然后 127～253 不能取， 126 ÷ 2 = 63，那么 64～126 可以取，63 ÷ 2 = 31⋯⋯1，然后 32～63 不能取，31 ÷ 2 = 15⋯⋯1，那么 16～31 可以取，15 ÷ 2 = 7⋯⋯1，然后 8～15 不能取，7 ÷ 2 = 3⋯⋯1， 那么 4～7 可以取，3 ÷ 2 = 1⋯⋯1，然后 2～3 不能取，1 可以取. 所以最多能取出：1012 + 253 + 63 + 16 + 4 + 1 = 1349. 8. 如图在在 3×3 的方格表内，每个小正方形的面积均为 1．以格点为顶点共可以连出 __________个面积为 1 的三角形. 【答案】144 【解析】 底是 1 高是 2 的情况：4 × 3 × 2 × 4 = 96个； 底是 2 高是 1 的情况：4 × 2 × 2 × 6 = 96个； 重复的情况：4 × 6 × 2 = 48个； 所以一共有：96 + 96 − 48 = 144个. 9. 第一、二、三号草地的面积依次为 5 公顷、6 公顷、18 公顷，三个草地上的草长得一样 密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛 3 天将一号草地的草吃完，又用 6 天将二号草地 的草吃完．在这 9 天里，第二群牛刚好将三号草地的草吃完．如果第一群牛有 20 头，那么 第二群牛有_________头. 【答案】40 【解析】设一头牛一天吃的草为 1 份，第一片草地 5 公顷可供 20 头牛吃 3 天，因此 1 公顷 的草地可供 4 头牛吃 3 天，那么 6 公顷可供 24 头牛吃 3 天，共吃了 24 × 3 = 72份，这 72 份中包括原有的草和 3 天生长的草. 另一方面，由题目条件，第二片草地 6 公顷生长 3 天后可供 20 头牛吃 6 天，共吃了 20 × 6 = 120份，这这 120 份中包括原有的草和 9 天生长的草. 因此 6 公顷的草地上草生长的速度为每天(120 − 72) ÷ (9 − 3) = 8份，6 公顷的草地上原 有草总量为 72 − 3 × 8 = 48份. 于是第三片草地上的生长速度为每天 8 ÷ 6 × 18 = 24 份，原有草总量为 48 ÷ 6 × 18 = 144份. 那么要 9 天把第三片草地吃完，共需要吃 144 + 9 × 24 = 360份草. 因此第二群牛共有 360 ÷ 9 = 40头. 10. 如图正方形的边长为 8，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心， 那么图中阴影部分的面积是________.（π取 3） 【答案】32 【解析】当把以正方形 4 个顶点为圆心的扇形面积求和时,空白部分每个区域都被计算子一 次,而阴影部分每个区域都被计算了两次,根据容斥原理,阴影部分面积等于 4个扇形的面积之 和减去正方形面积. 由题意,正方形的边长是 8,则面积是 8 × 8 = 64. 于是正方形对角线长的平方就是面积的两倍,即 64 × 2 = 128.从图中看出,扇形的圆心角是 90°,那么 4 个扇形的面积之和正好是一个圆的面积.而扇形的半径是正方形对角线长度的 一半,那么半径的平方就等于正方形对角线长度平方的14,即128 × 1 4 = 32,于是4 个扇形组成 的圆的面积就是 32π. 阴影部分面积等于 4 个扇形面积之和与正方形面积之差,即 32π− 64 = 32. 11. 王强骑电动车，速度为每小时 24 千米，李明开车，速度为每小时 70 千米，他们分别 从 A、B 两地同时出发相向而行，并且在 A、B 两地不断行驶往返，且两人第 2024 次迎面相 遇与第 2025 次迎面相遇的地点恰好相距 20 千米，那么 A、B 两地之间的距离是________千 米. 【答案】35 【解析】他们的速度比为 24: 70 = 2:5，把全长设为 7份，第一次相遇共走一个全程，其 中王强走 2 份，李明走 5 份，之后每迎面相遇一次共走 2 个全程，其中王强走 4 份，李明走 10 份，按照王强走的路程画图分析，前 3 次不算周期，后面 7 次为一个周期循环， （2024 − 3）÷ 7 = 288⋯⋯5，那么第 2024 次迎面相遇与第 2025 次迎面相遇的地点相当 于是第 8 次迎面相遇与第 9 次迎面相遇的地点，相差 4 份，4 份对应 20 千米，1 份对应 5 千米，所以总路程为 5 × 7 = 35千米. 12. 所有分母为 140 的最简真分数的和是___________． 【答案】24 【解析】140 = 22 × 5 × 7，那么分子为 1～140 中不含 2 或 5 或 7 的倍数， 140 ÷ 2 = 70， 140 ÷ 5 = 28， 140 ÷ 7 = 20， 140 ÷（2 × 5） = 14， 140 ÷（2 × 7） = 10， 140 ÷（5 × 7） = 4， 140 ÷（2 × 5 × 7） = 2， 1～140 中 2 或 5 或 7 的倍数有：70 + 28 + 20 − 14 − 10 − 4+ 2 = 92个， 那么 1～140 中不含 2 或 5 或 7 的倍数有：140 − 92 = 48个，（其中不含 140）， 而这 48 个最简真分数每两个相加得 1，例如 1140和 139 140，因为 a 与 140 互质，则 140-a 也与 140 互质，那么这 48 个最简真分数的和为：48 ÷ 2 = 24 13. 卡车基地有 5 辆卡车，他们准备去附近的沙漠地区探索，每辆车的油箱里最多能携带 行驶 300 千米的油，由于沙漠里没有汽油补给中途不能加油，但是卡车可以把自己油箱的油 给同伴，同时留下足够自己回卡车基地的油，那么卡车队最远能够探索离卡车基地________ 千米的沙漠. 【答案】250 【解析】首先 5 辆车一起走，走到一个地方然后让一辆车回去，保证回去的车正好空油，剩 下 4 辆车满油，相当于辆车的油走了 5+1=6 份的路程，车队前进了 300 ÷ 6 = 50千米，接 下来同样操作，剩下 4 辆车一起走，走到一个地方然后让一辆车回去，保证回去的车正好空 油，剩下 3 辆车满油，相当于辆车的油走了 5 份+50 千米的路程，一份就是（300 − 50）÷ 5 = 50千米，车队前进了 50千米，依此类推发现每次车队前进 50 千米，最后剩一辆车满 油时，此时卡车走了（5 − 1） × 50 = 200千米，最后一辆车再前进 50 千米，然后再保证 回去 250 千米，所以车队最远能探索 250 千米的沙漠。 14. 包含 0 至 9 这 10 个数字的十位数称为“天才数”．那么能被 99 整除的“天才数”中 最小的是______. 【答案】1024375869 【解析】99 = 9 × 11，那么能被 99 整除的数必须能被 9 和 11 整除，而 0 + 1 + 2 + 3 + ⋯⋯+9 = 45，45 能被 9 整除，所以“天才数”一定是 9 的倍数，只需要考虑 11 的倍数， 只需要奇数位之和与偶数位之和的差是 11 的倍数， 差只能是 0，11，22，33，44，因为和是 45，差与和的奇偶性相同，所以差只能是 11，33， 而差是 33 的时候，奇数位之和与偶数位之和分别为 39 和 6，5 个数字加起来一定超过 6， 所以不行， 所以差只能是 11，那奇数位之和与偶数位之和分别为 28 和 17 最小的是 1024375869. 15. 将 0～9 其中 9 个数字填入下面的竖式的 9 个方格中，要求每个方框数字不能重复，那 么符合下面的竖式填法中，其中四位数最大与最小的和是_______. 【答案】2989 【解析】最大为 1786，最小为 1203，和为 2989.