精品解析：安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高三上学期1月期末质量检测数学试题

芜湖一中2025届高三上学期期末质量检测数学试题 时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解公式得集合，再由交集定义运算. 【详解】因为集合或， ， 所以. 故选：D. 2. 设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的条件结合数量积的定义求解夹角即可. 【详解】设与的夹角为，根据题意，可得， 所以，代入，所以， 解得，因为，所以与的夹角为． 故选：D 3. 在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题，6名同学的得分为，统计结果为：，已知这6名同学该解答题得分的第80%分位数和平均得分均为12分，则该解答题得分的极差为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数和平均数的计算得到的值可能取值，再分的值可能是13，14，15讨论即可； 【详解】因为，所以，又， 所以，即， 因为，所以的值可能是13，14，15， 当时，， 因为，且，为整数，所以不可能； 当时，，因为， 且，为整数，所以不可能； 当时，， 因为，且，为整数， 所以当且仅当，时，， 所以所求极差为. 故选：C. 4. 记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列前和公式与等差中项得到，判断A选项；由得到，结合等差中项，得到与0的大小关系，然后由的结果判断B选项；由与的大小关系得到数列的增减性，再对进行放缩得到结论，判断C选项；由与的正负情况建立不等式组，求得的范围，判断D选项. 【详解】因为，所以A不正确； ，所以， 又因为，所以，则，所以B不正确； 由，知，即为递增数列， 所以，所以C不正确； 由，得，所以D正确. 故选：D. 5. 在锐角中，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角形定义求出的范围，利用正弦定理和三角恒等变换将所求化为关于的三角函数，然后由三角函数性质求解可得. 【详解】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 6. 牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度T满足，其中是环境温度，h称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至75℃开始大约还需要等待（ ）（参考数据：，，） A. 3分钟 B. 5分钟 C. 7分钟 D. 9分钟 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果. 【详解】根据题意，，即 设茶水从降至55℃大约用时t分钟，则， 即，即 两边同时取对数： 解得. 故选：B. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线交的左支于，两点.（为坐标原点），点到直线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令双曲线的半焦距为，取的中点，连接、，即可得到，，从而得到，，再由双曲线的定义求出，最后由勾股定理及离心率公式计算可得. 【详解】令双曲线的半焦距为，取的中点，连接，由， 得，则，连接，由为的中点，得， 所以，，， 因此，即，整理得， 所以离心率． 故选：D 8. 已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的满足，且，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 曲线关于点对称 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助赋值法令，即可判断A；结合赋值法与函数奇偶性的定义计算可判断B；结合复合函数导数公式与对称性可判断C；借助赋值法，可逐项计算出到，即可判断D. 【详解】对A：令，有，故，故A错误； 对B：令，有，又不恒为零， 故，即，又，故是奇函数，故B错误； 对C：令， ； 令， 所以，即， 因为不恒为零，所以，， 关于直线对称，所以关于直线对称，故C错误； 对D：由，故， 令，有， 即，则，即， ，即，，即， 令，有， 即，则，则； ，所以； ，所以； 故，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：D选项中，关键点在于令可得，结合，可得为偶数时，. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则为纯虚数 【答案】BD 【解析】 【分析】由，判断A，由，判断C；令，，且，结合复数的相关概念及其加法、乘方运算判断B、D. 【详解】A：对于，，则，错； C：对于，，满足，显然，错； 令，，且，则，， 所以，B对； ，则，可得，即为纯虚数，D对. 故选：BD. 10. 如图，在正三棱柱中，，点在底面内，，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则 D. 过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为（或） 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过构造平行线转化找到异面直线所成的角，利用余弦定理计算可得选项A正确；利用条件计算可得选项B正确；假设得出矛盾可得选项C错误；通过分割几何体的方法求体积可得选项D正确. 【详解】对于A，如图1， 取的中点，设与的交点为，连接，则， 所以为异面直线与所成的角或其补角， 连接，则，， 所以，故A正确. 对于B，如图2， 连接，由题意得，. 因为，，所以， 所以点在底面内的轨迹为以为圆心，1为半径的一段圆弧，且圆弧所对的圆心角为， 所以点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，如图3， 若，则点在线段上（不含端点）. 连接，因为为正三角形，所以， 由正三棱柱性质可知，平面与平面互相垂直，且交线为， 所以平面，又平面，所以， 假设，则平面，故， 因为，，所以， 所以与不垂直，故C不正确； 对于D，如图4， 设过，，三点的平面与棱交于，连接，， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面平面，所以，则， 所以为棱的中点，故四边形为等腰梯形， 连接，，，则平面上方的几何体体积为： ， ， 所以平面下方的几何体体积为， 所以过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为或，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决选项D的关键是确定截面，把截面上方的几何体分割成三个三棱锥计算体积，作差可求得截面下方几何体的体积，由此确定答案. 11. 已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BD 【解析】 【分析】分析可知，，，.对于A：分析可知在内的值域为，即可得出矛盾，进而分析判断；对于B：利用导数判断的单调性，结合题意分析判断；对于C：整理可得，举反例说明即可；对于D：求导，根据题意分析说明即可. 【详解】由题意可知：，， 等价于，； 且，， 等价于，. 对于选项A：因为，，则在内的值域为， 可知不存在，使得恒成立，不符合“双向奔赴”函数，故A错误； 对于选项B：因为， 对于，则，可知在内单调递减， 且当趋近于时，趋近于0，可知； 对于，则且， 可知当，满足题意， 所以符合“双向奔赴”函数，故B正确； 对于选项C：因为，，则， 对于，，， 取特值，可知， 不合题意，即不符合“双向奔赴”函数，故C错误； 对于选项D：因为，，， 对于，此时， 可得，且； 对于，此时， 可得，， 可知当，满足题意， 所以符合“双向奔赴”函数，故D正确； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在意对题意进行重组，题意等价于，，，，进而分析求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项是120，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出的通项公式，得到与，从而得到展开式常数项，得到方程，求出. 【详解】∵展开式的通项公式为， 令得，即． 令得，即， ∴展开式中的常数项为， 故，解得． 故答案为：2 13. 已知函数，满足的的最小值为，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数图象性质可得，再根据函数在区间内有零点，无最值限定出不等式，再根据的范围可得结果. 【详解】因为函数，且满足的的最小值为， 所以函数的最小正周期，所以，解得， 即可得， 因为，所以. 因为函数在区间内有零点，无最值， 所以，解得， 即， 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据满足的的最小值为求出，再结合正弦函数图象性质由零点和最值个数限定出不等式可解得的取值范围. 14. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得，    则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将转化为，根据面积结合几何性质求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在11月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下列联表. 性别 感冒情况 合计 不感冒 感冒 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计 75 25 100 （1）请根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性； （2）利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取5人，再从这5人中选出2人分享发言，记分享发言中女性的人数为，求随机变量的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为性别与感冒情况无关. （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据列联表，计算值并根据其与的大小比较得出结论； （2）由题意，可分析得出变量服从超几何分布，按照其概率公式写出分布列，计算数学期望即得. 【小问1详解】 零假设为：性别与感冒情况不具有相关性. 根据列联表中的数据， 得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为性别与感冒情况无关. 【小问2详解】 根据分层随机抽样的知识可知，男性有2人，女性有3人， 所以随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数取得极大值，无极小值； （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值； （2）利用参变分离，转化为，恒成立，再转化为利用导数求函数的最值问题. 【小问1详解】 当时，，， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值； 【小问2详解】 由题意可知，， 即恒成立，即，恒成立， 设，， 设，， ， 设，所以，得（负值舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，即恒成立， 所以单调递减，且， 所以当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减， 所以的最大值为， 所以. 17. 如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，． （1）证明：； （2）过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 连结，因为是等腰直角三角形，且为斜边的中点， 所以，且， ，， 所以， 所以，且，平面， 所以平面，且平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据线面平行的性质定理说明，再根据（1）的结果，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连结，因为平面，平面，平面平面， 所以，即， 由（1）知平面， 如图以点为原点，为轴，过点作与平行的直线为轴， ，，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） （ⅰ）设点，所以，， 设直线的斜率为，方程为：，则， 由消去，得①， 因为直线与椭圆相切，所以方程①， 得， 所以②， 其中． 所以关于的方程②有两相等实根，所以， 所以为定值． （ⅱ）椭圆：的左、右焦点，． 方法1：由（ⅰ）得过点与直线垂直的直线为：， 令，得，所以直线与轴交点， 所以，． （）， 同理．所以． 根据内角分线定理得，为的角平分线，设与轴交于点, 所以， 即，，三点共线，所以直线过点． 方法2：设点，则， 根据题意得，解得 所以， 所以，所以，，三点共线， 所以直线过点． 方法3：设点，则， 过垂直于的直线交于点， 由（ⅰ）可得：，则：． 联立直线与的方程得所以 所以， 所以，所以，，三点共线， 所以直线过点． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和短轴的概念建立方程组，解之即可求解； （2）（ⅰ）设，：，联立椭圆方程，利用可得，结合得，解得，即可证明；（ii）由（i）可得点与直线垂直的直线方程，求出直线与轴交点，根据两点求距离公式证明，结合内角平分线定理即可下结论. 【小问1详解】 根据题意得， 又，解得，， 所以椭圆：． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）． 19. 已知点集．将中的元素按照一定顺序排成一列，可得到数对序列．定义：，，其中表示，中最大的数． （1）对于数对序列，，求，的值； （2）有序实数对，可排成两个序列，和，，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小； （3）若为奇数且，，，，证明：集合中存在两个非空子集，，满足，，中所有点的横坐标之和，中所有点的纵坐标之和． 【答案】（1）， （2） （3） 不妨设， ①若， 因为中任意， 所以存在为单元素集合，为的补集即可； ②若， 因为，，所以一定存在正整数， 使得， 可得， 又因为 ． 设，，则 ， 当且仅当时取等号， 所以，时， ，； 综上所述，存在两个非空子集，，满足题意． 【解析】 【分析】（1）根据定义直接计算即可； （2）根据定义，分别讨论当和为最小值时和，比较大小即可； （3）不妨设①若， 因为中任意，存在；②若，由，，所以一定存在正整数，使得，可得，即可得，设，，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以，时，满足题意． 【小问1详解】 由定义可知，； 【小问2详解】 ， ， 当为最小时，，因为，， 所以， 当为最小时，， 因为，， 所以， 所以两种情况下均有； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芜湖一中2025届高三上学期期末质量检测数学试题 时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题，6名同学的得分为，统计结果为：，已知这6名同学该解答题得分的第80%分位数和平均得分均为12分，则该解答题得分的极差为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在锐角中，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度T满足，其中是环境温度，h称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至75℃开始大约还需要等待（ ）（参考数据：，，） A. 3分钟 B. 5分钟 C. 7分钟 D. 9分钟 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线交的左支于，两点.（为坐标原点），点到直线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的满足，且，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 曲线关于点对称 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则为纯虚数 10. 如图，在正三棱柱中，，点在底面内，，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则 D. 过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为（或） 11. 已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项是120，则实数______． 13. 已知函数，满足的的最小值为，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是______. 14. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在11月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下列联表. 性别 感冒情况 合计 不感冒 感冒 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计 75 25 100 （1）请根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性； （2）利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取5人，再从这5人中选出2人分享发言，记分享发言中女性的人数为，求随机变量的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，． （1）证明：； （2）过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点． 19. 已知点集．将中的元素按照一定顺序排成一列，可得到数对序列．定义：，，其中表示，中最大的数． （1）对于数对序列，，求，的值； （2）有序实数对，可排成两个序列，和，，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小； （3）若为奇数且，，，，证明：集合中存在两个非空子集，，满足，，中所有点的横坐标之和，中所有点的纵坐标之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $