任务强化练9 数列综合问题(强化练)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

任务强化练9 数列综合问题 【基础保分练】 7.已知函数f(x)=ax2+bx的图象经过点 1.在等比数列{am}中，a5,a是函数f(x)=x2 (一1,0)，且在x=一1处的切线斜率为一1. 4x十3的两个零点，则a3·a等于() 设数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N·). A.-3 B.3 C.-4 D.4 (1)求数列{an}的通项公式； 2.(2023·广西南宁模拟)设等比数列{am}的前 (2)求数列。1一的前n项和T. n项和为S。,若a2=2,且a2,a3,a一2成等差 an·ar+i 数列，则S=() A.7 B.12 C.15 D.31 3.设y=f(x)是一次函数，若f(0)=1,且f(1), f(4),f13)成等比数列，则f(2)+f(4)+…+ f(2n)等于( A.n(2m+3) B.n(n+4) C.2n(2n+3) D.2n(n+4) n2+12 4若数列{a.}中，a,=n受，n∈N,则数列 {an}中的项的最小值为 5.已知数列{am}的前n项和为S.,且an=4n,若 8.已知数列{an}满足a1=1,2am+1=am,数列{bn}》 不等式Sm十8≥λn对任意的n∈N·都成立， 满足bn=2一log2a21. 则实数入的取值范围为 (1)求数列{an},{bn}的通项公式： 6.已知等差数列{a.}的前n项和为S.,等比数 (2)设数列{bn}的前n项和为T,求使得 列{b.}的前n项和为Tm,a1=一1，b1=1,a2十 2T.≤4n2十m对任意正整数n都成立的实数 b2=3. m的取值范围. (1)若ag十b3=7,求{bn}的通项公式； (2)若T3=13,求Sn: -17 【能力提分练】 11.(2024·新高考I卷)设m为正整数，数列 9.已知数列(a中，a1-,其前n项的和为S, a1,a2,…,am+2是公差不为0的等差数列，若 从中删去两项a:和a,(i<j)后剩余的4m项 且满足a。 25m>2).求证： 2S% 可被平均分为m组，且每组的4个数都能构 成等差数列，则称数列a1,a2,…,a4m+2是(i, 1)数列侵是等差数列： )一可分数列. 2S,+号s+号s++5.<1 (1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6，使数列 a1,a2,…,a6是(i,j)一可分数列： (2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,…,am+2是 (2,13)一可分数列； (3)从1,2，…，4m十2中一次任取两个数i和 j(i<了)，记数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)一可 分数列的概率为P,证明：P> 10.已知各项均不相等的等差数列{a.}的前三项 和为9，且a1,ag,a,恰为等比数列{bn}的前 三项 (1)分别求数列{an},{bn}的前n项和Sm,Tm; (2)记数列{abm}的前n项和为Km,设cn SL,求证：c1>c(n∈N). K -18-任务强化练9数列综合问题 设f(t)=一2r十6n: L,B解析：，asa:是函数f八x)=-4x+3的两个零点， “fn)=-2r+6m=-2(m-是)广+号， .5,a:是方程x2一4x十3=0的两个报，，45·：=3，由等 比数列的性质可得as·=a·=3. .当n=1或n=2时，f(n)的最大值为4， .≥4，即m的取值范同是[4，十o∞). 2.C解析：设公比为q(q≠0)，a,a@4一2成等差数列， 2a1=a十a4-2,则2×2g=2+2d-2,解得g=2或q=0(舍 9.证明：(1)当n≥2时，5-S一2— 25 去.7a=2a=1,故8=号=16 整理得S1-S=2S。·S1(n≥2)， 3.A解析：由题意可设f(x)=kx十1(k≠0).则(4k+1)尸= 1=2 (k十1)(13k十1).解得k=2,f(2)十f(4)十…十f（2n)=(2× 2+1)+(2×4+1)+*十(2×2n+1)=n(2n+3). 从而{发}构成以2为首项，2为公差的等差数列。 4解折a-a-业提-号 n十3 n十2 (2由D可知，是-号十u一D×2-28-易 当n≥2时，a+1a.>0,即a+i>a.,当n=1时，a1一a<0, .数列{4.}中，从a:开始是道增的.又a2<a1,.{a。}中最小 ∴当n=1时5=2<4， 项是a=4. 5.(-o,10]解析：a,=4n,∴.S。=2r+2m,不等式S十8 方法一当≥2时5=<·（片 M对任意的mEN位成立.中2+2t8,又2+2m+8 》 程 2加十员+2≥0当且仅事川-2时取等号).六实教入的取值 s+号s+号s+…+s.<号+(1-合+号 范围为（一0∞，10]. 1 6.解：(1)设{a.}的公差为d,{}的公比为： 则a,=-1+(n-1)d,b,= ∴原不等式得证. 由d十6=3，得d十g=4,① 方法二当>2时嘉<2D(马） 由a十4=7，得2d十=8， 联立①②，解得g=2或90（舍去）， ∴5+号5+号s+…+5,<2+4(1-号+ 因此{6.的通项公式为，=2一 (2)T=4(1+g十)， ∴.1十g十=13，解得g=3或=一4， 由a十=3得d=4一g,d=1或d=8. 由S=m十号m-1)d, ,原命题得证. 10.(1)解：设数列{a,}的公差为d, 得5=r-是n或S,=r-5m 7.解：(1)：函数f(x)=a.x2+br的图象经过点（一1.0），∴a 则caa+ b=0,即a=h.① :了(x)=2a.x+b,函数fx)=ar2十ba在x=-1处的切线 解任子支。（备起 斜率为-1，∴.-2a十b=-1.2② 六a,=n十1，S=n+3) 2 由①②得u=1,h=1, 又h=d1=2.bh=da=4. '.数列{}的前n项和S。=(n)=十元 h=2,T=21-2 当m≥2时，S-1=(n-1)+(m-1), (2)证明：a.·b,■(n十1)·2， .a=S.-S1=2m, .K.=2·2十3·22十+(n十1)·2，① 当n=1时，a1=2符合上式，则a.=2m .2K.=2·22+3·2+…+n·2"+(n+1)·2+1,② m由于4-2.则aa22a+万（日力 ①-②得一K.=2·2+2+2+…+2"一(+1)·2+1， 则工-(1-+++日)）(-) K-n·2 则6-S工=n十3(2-业 K. 2+1 =40十4 c1-6,=m+4D2-D_n+3(2-D 202 2 8.解：(1)由a=1,4= 24,≠0. 21+t2>0, 2+7 ∴a,是首项为1，公比为2的等比数列， ∴ci>c.(n∈N). a=() 11.解：(1D(1,2).1,6),(5,6) (2)当m=3时，刷去a:,,其余项可分为以下3组：，4， 6=2-g(告)=2+2 aau为第1组，a,a6,d,a:为第2组，a,d,a1,a,为第 3组， (2)由(1)得，T=+3m 当m>3时，删去a2a,其余项可分为以下m组：a4a,, ∴m≥一2r+6n对任意正整数n都成立. an为第1组，a,a,a,aa为第2组，a6ag,a1au为第3组， 一56 a6a0ar,a1s为第4组，G0·a:a1·a2为第5组.， 为偶函数.又f(x)=c0sx一c082x=0sx一(2c0sx一1)= araw,am+t,a:为第m组，可知每组的4个数都能构成 等差数列，故数列a1,d…,am:是(2,13)一可分数列. 一2o十msx+1=-2(mx-}）广+号，故)的最大 (3)易知a1,a,…,aw+是(i,)一可分数列→1,2，…，4m十2 值为 是(4p十1,4十2)一可分数列，其中p,g∈(0,1，…，m}. 当0≤≤≤m时，删去4p十1,4g十2， 8B解折：由廷意，知当=14时，0)=7，即An+5=7 其余项从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数都能 构成等差数列， A=4:声61<16时哥-1售∈[语]…当骨 故数列1,2，…，4m十2是(4p十1,44十2)一可分数列.可分为 (1,2,3,4),…,(4p-3,4p-2,4p一1,4p),…,(4(q+1) 11r=5严时，f)取得最大值，且最大位为4+5=9， 2 1,4(+1),4(十1)+1,4（十1）十2)，…，(4m一1,4m,4m+ -tan0=-2. 1,4m+2).p,q的可能取值的方法数为C1十m+1 0.一2解析：sin(x-》=sin2 -0080 =m十1)(m+2) m(g受） 2 解析：a与3的终边关于原点对称，，3=2kπ十π十@ 易知，…，m+是(i,j)一可分数列→1,2，…，4m十2是 10.-2 (4p十2.4g十1)-可分数列，其中p,g∈0,1，，m. (k∈D.∴00sB-cos(2km+x+a)=-cosa.ae[吾，号]. 当一p>1时，删去4+2,4g+1, 将1~4p与4g十3~4m十2从小到大，每4项分为1组，可知 每组的4个数成等差数列。 考虑4p+1,4p+3,4p十4，…，4q,4g十2是否可分，等同于考 虑1,3,4，…，4,4十2是否可分，其中1=g一p>1,可分为 1l.x十sinx(答案不唯一)解析：f(r)的解析式形式：ax士 (1,1+1,21+1,31+1).(3.1+3.2+3.31+3).(4,1+4,24+ lsin(x十g)(ab≠0)或ar士bcos(.x十g)(ab≠0)均可，如 4,31十4).…，(1,231.4)，(1十2,21十2,31+2,41十2)，每组 f(x)=x十sinx的定义城为R,不是周期虽数，且f(r) 4个数都能构成等差数列，故数列1,2，…，4m十2是(4p十2， 1+c0sx的周期为2元 4十1》一可分数列， ,g且g厂>1的可能取值的方法数为C1一m=m,Dm 12. 4π 解析：由题图，如一皆)=0，一部十语=吾十好 2 (m十1)(m十22+(m-1)m (k∈D,解得=-3斗坠(k∈D.设(r的小正网期为 4 2 2 从而P之 m十m十1、1 C =8m+6m+i>8· 下易知T<2<2T语<2高1Ko<2,当且仅 任务强化练10三角函数的图象与性质 当一1时，持合题意光时。受T-石-号 1.B解析：根据巴知条件得ma-十1什}≥2，当且仅当 13.BD解析：：函数f(x)=sin(2rx十p)的最小正周期T= 1=1时，等号成立，tna取得最小值2. 要=，又fx)在(0,2)内有且仅有1个极大值点画数 2A解折：由题高加当一号时=号我即血。 f(x)的图象如图所示， 停&sn。-夏.又：如（受+2a）=ms2a=1-2ame, 2π m(+2a)=1-2x=- 3.B 解析：sim(受十a）sima=sin acs= sin gcos a ,f(x)在(0,2x)内有4个零点，f(x)在(0,2x)内有2个极小 sin a+cos'a tan g ana+行=-0 值点x)在(0，高)上单调递减.由f(0)=m9=1,解得 T 4B解析：“由题中因象可知五十开一五=豆心T=受： 9-受+2k,k∈乙，故B.D正确，A.C错误 2红=受=4 14B解析：函数∫(x)=s(2x十g)满足f(红一誓暂） 5.C解析：函数f代x)=sim(2r十9+晋)为偶函数，则g+君 八-x)的图泉关于直线x=一号对称，2× 受十x,k长乙解得=标+号，∈乙令=0，则9-受，则 （-）+g=x,k∈Z∴p=km+弩，k∈.9的最小值 函数)为偶函数的一个充分条件为9一爱 为高 6.D解析：/u)=sim(受-2）=cos2x,当x6(0,x)时，2r∈ 15.3 解析：由题意可得m×受十登-x,k∈.解得创一2k 2 (0,2x),·f(x)=cos2.x不单调，故A,B错溪：当x ，kE么又m>0m的最小植为子 (-,0)时，2ze(-元，0)，fx)=cos2c在2x∈(-，0)上 16.c0s2x解析：根据西数f(x)=Asin(r十g)(A>0,m>0. 单调递增，故D正确，C错误。 7.D解析：函数f(x)的定义城为R,且f(一x)=(x),则f(x) 4<受）的*分图泉，可得A-1,号×语-登一景 57