5.1 概率(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

专题五 概率与统计 第一讲概率 知识清单·精准记忆◆◆ 【基础梳理】 ④设B和B是互斥事件，则P(B|A)= 1.相互独立事件 1-P(BA) (1)定义：对任意两个事件A与B,如果 (3)概率的乘法公式 P(AB)=P(A)P(B)成立，那么称事件A与 由条件概率的定义知，若P(A)>0,则 事件B相互独立，简称独立。 P(AB)=P(A)P(BA),我们称该式为概率 (2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A 的乘法公式 与B,A与B,A与B也都相互独立. (4)全概率公式 提醒：易混淆“相互独立”和“事件互斥” 般地，设A1,A2,…,An是一组两两互斥的 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生； 事件，A1UAzU…UAn=2,且P(A)>0,i 1,2,…,n,则对任意的事件B二2，有P(B)= 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否 对另一个事件发生的概率没有影响.两个事 之P(A)P(BA),我们称该公式为全概率 件相互独立不一定互斥。 公式 2.条件概率与全概率公式 3.二项分布 (1)条件概率的计算公式 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中 事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示 条件 设A,B为两个事件，且P(A)>0 事件A发生的次数，则X的分布列为P(X= 在事件A发生的条件下，事件B发生的 含义 k)=Cp(1一)"-，k=0,1,2,…,n.如果随 概率 机变量X的分布列具有上式的形式，那么称 记作 P(B引A) 随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p). 读作 A发生的条件下B发生的概率 4.正态分布 (2)条件概率的性质 (1)若X服从正态分布，即X~N(u,2),要充 设P(B引A)>0,则 分利用正态曲线关于直线x=:对称和曲线 ①P(2A)=1; 与x轴之间的区域的面积为1. ②任何事件的条件概率都在0和1之间，即 (2)正态分布的三个常用数据 0≤P(BA)≤1： P(-g<X≤μ十a)=0.6826; ③若B和C是两个互斥事件，则P(BUCIA) P(u-2a<X≤μ+2a)=0.9544; P(BA)+P(CIA); P(μ-3a<X≤μ+3a)=0.9974. -53 艺术生文化课考前100天数学 【自主检测】 3.甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个 题组一相互独立事件的概率 白球，3个黑球.现从甲箱中任取一球放人乙 1.袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸 箱中，再从乙箱中任意取出一球，则从乙箱中 球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示 取出白球的概率为 “第二次摸到白球”，则A与B是( 题组三二项分布与正态分布 A.互斥事件 B.相互独立事件 1.某人参加一次考试，4道题中答对3道即为及 C.对立事件 D.不相互独立事件 格，已知他答题的正确率为0.4，则他能及格 2.周老师上数学课时，给班里同学出了两道选 的概率约为( ) 择题，她预估同学们做对第一道题的概率为 A0.18 B.0.28 0.80,做对两道题的概率为0.60，则预估做对 C.0.37 D.0.48 第二道题的概率是( 2.某厂生产的零件外直径服从正态分布X~ A.0.80B.0.75 C.0.60 D.0.48 N(8.0,0.0225)(单位：mm),现从该厂上、下午 3.某天上午，李明要参加“青年文明号”活动.为 生产的零件中各随机取出一个，测得其外直 了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己 径分别为7.9mm和7.5mm,则可认 假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准 为() 时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个 A.上、下午生产情祝况均为正常 准时响的概率是 B.上、下午生产情况均为异常 题组二条件概率与全概率公式 C.上午生产情况正常，下午生产情况异常 1.抛掷红、蓝两枚骰子，事件A=“红骰子出现4 D.上午生产情况异常，下午生产情况正常 点”，事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，则 3.已知随机变量服从正态分布N(2,2),且 P(AB)为( P(4)=0.8,则P(0<2)=( A司 D.言 A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 2.抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情 况下，至少有一枚出现6点的概率是( ) 4设X~B(4,p,且P(X=2)=易，那么一次 A. B.18 c 试验成功的概率p等于 ◆◆方法清单·把控高考。 考点一 互斥、对立、相互独立事件的概率 的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球 【高考这样考】 的数字之和是7”，则( (2021·新高考I卷)有6个相同的球，分别 A.甲与丙相互独立 标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取 B.甲与丁相互独立 两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取 C.乙与丙相互独立 出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出 D.丙与丁相互独立 的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球 【方法规律】求相互独立事件概率的关键点 (1)紧扣定义，正确判断相互独立事件； 54 专题五概率与统计 (2)能分解相互独立事件为几个互斥事件 动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单 的和； 位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推 (3)能正确运用公式P(AB)=P(A)P(B). 动出口后亩收人的样本均值元=2.1，样本方 【备考这样练】 差2=0.01.已知该种植区以往的亩收人X 考向1互斥事件、对立事件的概率 服从正态分布N(1.8,0.1),假设推动出口 1.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不 后的亩收人Y服从正态分布N(x,s2),则（若 输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概 随机变量Z服从正态分布N(,o2),则P(Z< 率为( μ十σ)≈0.8413)() A.60% B.30% A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.10% D.50% C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 2.某学校教务处决定对数学组的老师进行“评 【方法规律】1.二项分布的判断与概率公式 教”，根据数学成绩从某班学生中任意找出一 (1)对于公式P(X=k)=Cp*(1一p)"(k 人，如果该同学的数学成绩低于90分的概率 0,1,2,…,n)必须在满足“独立重复试验”时 为0.2，该同学的成绩在[90,120]之间的概率 才能运用，否则不能应用该公式 为0.5，那么该同学的数学成绩超过120分的 (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关 概率为( 镀有两点：一是对立事件，即一次试验中，事 A.0.2 B.0.3 件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试 C.0.7 D.0.8 验独立重复地进行了n次. ■考向2相互独立事件的概率 2.解决与正态分布有关问题的关键是利用对 1.根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨 称轴x=4确定所求概率对应的随机变量的 的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨 区间与已知概率对应的随机变量的区间的关 相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至 系，必要时借助图形进行判断求解。 少有一个城市降雨的概率为() 【备考这样练】 A.0.16 B.0.48 ■考向1二项分布 C.0.52 D.0.84 1.某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设 2.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等 计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类 品的概率分别为号和子，两个零件是否加工为 题型，每类题型中均指定一道题让参赛者回 答.已知某位参赛者答对每道题的概率均为 一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个 等品的概率为( 手，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答 完三道题，其中至少两道题答对的概率 A司 B号 c 为() 考点二 二项分布、正态分布、超几何分布 A器 B器 【高考这样考】 (多选)(2024·新高考I卷)随着“一带一路” c贵 n器 国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推 2.(多选)(2023·江苏苏州模拟)袋子中有2个 55 艺术生文化课考前100天数学 黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取 则该同学也爱好滑冰的概率为( 球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次 A.0.8 B.0.6 取球的总分数为X,则( C.0.5 D.0.4 A.X-B(4.) 【方法规律】1.条件概率的求法 分别求P(A)和P(AB),得P(B|A) &PX=2)-号 利用 定义 P(AB) P(A) ,这是通用的求条件概率的方法 CX的期望E0X)=号 借助古 先求事件A包含的样本点总数n(A),再在 D.X的方差D(X)=8 典概型 事件A发生的条件下求事件B包含的样 概率 ■考向2正态分布 本点个数，即n(AB),得P(B1A)=mAB 公式 n(A) 1.(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服 2.对全概率公式的几点注意 从正态分布N(10,2),下列结论中不正确的 (1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的 是() 发生 Aσ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9， (2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示 10.1)的概率越大 为几个彼此互斥事件的和。 B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 (3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘 C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于 法公式的结合 10.01的概率相等 【备考这样练】 D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与 1.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人 落在(10,10.3)的概率相等 只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点 2.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉 不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”， 甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹 则P(AB)=( 果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm) 服从正态分布N(80,52),则直径在(75,90]内 A号 B号 c n.8 的概率为( 2.(2024·上海卷)某校举办科学竞技比赛，有 附：若X一N(4,o2),则P(4一o<X≤十σ) A,B,C3种题库，A题库有5000道题，B题 0.6826,P(4-2a<X≤4+2a)=0.9544. 库有4000道题，C题库有3000道题.小申已 A.0.6826 B.0.8413 完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题 C.0.8185 D.0.9544 库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72. 考点自条件概率与全概率公式的应用 现他从所有的题中随机选一题，正确率是 【高考这样考】 3.(2024·天津卷)有A,B,C,D,E五种活动， (2023·全国甲卷理)某地的中学生中有60% 甲、乙都要选择三个活动参加，则甲选到A的 的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70% 概率为 ;已知乙选了A活动，他再选 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学 择B活动的概率为 生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪， 56(2)过点E作Ez⊥平面AEFD,而AE,EFC平面AEFD,则 Ez⊥AE,E⊥EF,而AE⊥EF, 器跪- 可构建如图所示的空间直角坐标系， ∴，△BME∽△BPD, 由题设知∠BEA=∠CFD=苓， 故EM∥PD. 又PD过平面ACM,EMC平面ACM, E(0,0,0),B(1,0,3),C(1,2,3),M(2,m,0)且0≤ ∴.PD∥平面ACM m≤2，则Ei=(1,03),式=(1,23)，E=(2,m,0. 若n=(x,y,x)是平面EMC的一个法向量， 故当器时，FPD/平面ACu 则 论.n=x+2y十3z=0, Ei.n=2x十my=0. 令x=m,则n=(m,-2,4一四） 3 cos(EB,n)= E迹·n EBIInl m-2m+7 ,可得m=1, 3 ① 四 则n=(1,一2W3). (2)以A为原点，AD,AB,AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图 又1=(0,0,1)是平面EMD的一个法向量， ②所示的空间直角坐标系， 1·n=3=6 则A(0,0,0),D(1,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(0,2,0) .cos(1.n)=ml 22 4 设P衣=λP武(0<<1)，则N(a,A,1一)对于平面ADN,设 则平面DEM与平面EMC的夹角的余弦值为 其法向量为m=(x,y,), 考点二 则a:功-0即=0， m·Ai=0, ax+y+(1-1)z=0, 【备考这样练】 1.(1)证明：如图，连接BD,设ACn BD=O,连接OE. 可取-(o,只，)小 四边形ABCD为矩形，O是BD的中点， 对于平面BDN,设其法向量为n=(x,y,), ,E是棱PD的中点，.PB∥EO 又，PB过平面AEC,EOC平面AEC, 则：8+a--o (·Bi=0, .PB∥平面AEC (2)解：由题意知AB,AD,AP两 可取他=(2.1，)， 两垂直，以A为坐标原点，以AB, 若平面ADN⊥平面BDN,则m⊥， AD,AP所在直线分别为x轴，y 即2+3弘子=0，解得=7， 1 轴，：轴建立如图所示的空间直角 -1 坐标系Axyz. 此时N为PC的中点，N N =1 设AB=AD■2a,AP=2c,则A (0,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a, 专题五概率与统计 0),P(0,0,2c,F(a,a,c) 第一讲概率 ,x轴C平面CAF, 【知识清单·精准记忆】 ∴.设平面CAF的一个法向量为n=(x,1,0), 【自主检测】 而AC=(2a,2a,0), 题组一 ∴.At·n=2ax+2a=0,得x=-1,∴.n=(-1,1,0). 1.D解析：根据互斥事件，对立事件和相互独立事件的定义可 :y轴C平面DAF, 知，A与B不是相互独立事件. .设平面DAF的一个法向量为m=(1,0,x), 2.B解析：设“做对第一道题”为章件A,“做对第二道题”为寧 而AF=(a,a,c), 件B,则P(AB)=P(A)P(B)=0.8XP(B)=0.6,故P(B)= 小亦·m=a十=0，得=一名， 0.75. 3.0.98解析：至少有一个准时响的概率是1一(1一0.90)× 六m=(1,0,-兰） (1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98. 题组二 六os60°=m 1 nm √+ ，得a=c, 1.D解析：PA)=合，PB)=,PAB)=2PAB)= 即当AP的长度等于正方形ABCD的边长时，二面角CAF-D 0- 的大小为60° 2,A解析：设“至少有一枚出现6点”为事件A,“两枚殿子的点 2.解：(1)条件②可以推断PD∥平面ACM如图①，连接AC 数不同”为事件B,剩n(B)=6×5=30,n(AB)=10, BD相交于点E,连接EM 在梯形ABCD中，有AB∥DC,AD=DC-之AB=1,距- ∴P(A|B)=a(AB2-10=1 (B) 303 3 :解析：设A=“从甲箱中取出白球”，B=“从乙箱中取出白 球”，PA)=是，P=号，P(B1A=},P(BA)=号，利 -24 用全概率公式得P(B)=P(A)P(BA)十P(A)P(BA)= 2.ACD解析：每次取到的黑球概率相等，且取到黑球记1 是×号+号×号= 分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，∴随机变量X 题组三 服从二项分布X~B(4,号)，故A正确：P(X=2) 1.A解析：他能及格的概率P=C×0.4×(1一0.4)十C× 0.40.18. G(号)（号）-员，故B错误：X~B(4,号)x的期 2.C解析：根据3a原则，在(8一3×0.15,8十3×0.15)，即 (7.55,8.45)之外时为异常.结合已知可知上午生产情况正 望E0=4×号-号，故C正确XB(4,号），∴X的方 常，下午生产情况异常。 3.C解析：：随机变量E服从正态分布N(2,),4=2,对称 D(00=4X号×-号，故D正 轴是x=2.:P(<4)=0.8,∴P(4)=P(≤0)=0.2， 考向2 ∴.P(0<<4)=0.6,.P(02)=0.3 1.D解析：正态分布的曲线形状由参数。确定，a越小，曲线越 4方或号解折：PX=2)=Cr1-p=务中1-pP- “高瘦”，即在(9.9,10.1)的概率越大，落在(9.9,10.2)的概率 与落在(10,10.3)的概率不同，故A正确，D不正确.曲线在x (号)》广×（号），解得=号或=号 10时处于最高点，并由此向左右两边延伸时，曲线逐渐降低， 【方法清单·把控高考】 .在一次测量中大于10的概率为0.5，小于9.99与大于10.01 考点一 的概率相等，故B,C正确. 【高考这样考】 2.C解析：烟台苹果的直径（单位：mm)服从正态分布N(80, B解折：由题意知P(p)=合，P(乙)=君，P(两)=号× 5),可得=80,0=5，则直径在(75,90]内的概率为P( ×5=，P(T)=××6=，P(甲n两)=0≠ 2a<X≤+2o)-2[P-2a<X≤+2a-P-<X≤ P甲)P丙，故A项错误：P(甲nT)-活-P(甲)P(T),故 +o]=2[P-2s<X≤+2a)+Pμ-<X≤+o]= B项正瑰：P(乙门丙)=希≠P(乙)P(丙)，故C项错误： 壹×0.9544+0.6826)=0.8185. 考点三 P(丙∩丁)=0≠P(丙)·P(丁)，故D项错误， 【高考这样考】 【备考这样练】 A解析：同时爱好两项的概率为0.5十0.6一0.7=0.4.记 考向1 “该同学爱好滑雪“为事件A,“该同学爱好滑冰”为事件B,则 1.D解析：设A=《甲获胜}，B={甲不输)，C=《甲、乙和棋}， 则A,C互斥，且B=AUC,故P(B)=P(AUC)=P(A)十 P(A0=0.5,P(AB)=0.4,P(BlA0PA=80.8 P(C),即P(C)=P(B)-P(A)=50%. 【备考这样练】 2.B解析：该同学数学成绩超过120分（事件A)与该同学数学 1.A解析：小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，剩下的三 成绩不超过120分（事件B)是对立事件，而不超过120分的事 件为低于90分（事件C)和[90,120]（事件D)两事件的和事 个人只能在另外3个景点中选择，共有4×3×3×3■108（种） 件，即P(A)=1-P(B)=1-[P(C)+P(D)]=1-(0.2+ 选法，即n(B)=108.,小越独自去一个景，点且4个人去的景 0.5)=0.3. 点不相网，共有4X3×2X1=24(种)选法，即n(AB)=24, 考向2 PAB-铝-盖-号 1.D解析：记A城市降雨和B城市降雨分别为事件A和事件 B,故P(A)=0.6,P(B)=0.6,可得P(A)=0.4,P(B)-0.4, 2.0.85解析：由题意知，A,B,C题库的比例为5：4：3，各占 两城市均未降雨的概率为P(AB)=0.4×0.4=0.16,故至少 比分别为品·是·品，则粮据全概率公式知所求正确率P 43 有一个城市降雨的概率为1一0.16=0.84. 2.B解析：记两个零件中恰好有一个一等品为事件A,则P(A) 是×0.92+是×0.86+是×0.72=0.5， 音×(1-)+(1-晋)×=号 解析：由题志知甲选到A的概率P-昌-号，记乙 考点二 选择A活动为事件M,乙选了A活动再选择B活动为事件 【高考这样考】 BC解析：由题意可知，X~N(1.8,0.1),.P(X>2)<P(X N别PM0-得=寻，PMW=号=高P(NM= C 1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.8413，P(X>2)<P(X≥ 1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.8413=0.1587<0.2，.A错 P(MN) 10 误，B正确.Y一N(2.1,0.1),.P(Y<2.2)0.8413,P(Y P(M) 2 2)>P(Y>2.1)=0.5,.P(2<Y<2.1)=P(2.1Y<2.2) =P(Y2.2)-PY2.1)0.8413-0.5=0.3413.∴.P(Y 第二讲 统计 2)=P(2<Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.3413+0.5■0.8413> 【知识清单·精准记忆】 0.8,,C正确，D错误.综上，选BC 【自主检测】 【备考这样练】 题组一 考向1 .C解标：由分层抽解的特征如知是-2中子5·解得日50 2 1,A解析：设事件M为“该参赛者答完三道通，其中至少两道 题答对依题意得PM-(台)广+G(告)广（号）》-器 2360解折：高一年板袖取华生的比例为器-吉 -25