3.1 三角函数的图象与性质(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

专题三三角函数与解三角形 第一讲 三角函数的图象与性质 ◆◆知识清单·精准记忆 【基础梳理】 设=十g,令。=0，受x,经2，求出x的 1.三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 值与相应的y的值，描点、连线可得。 (2)两种图象变换方式 P(y)sin a-y.c0s a-.tan 由函数y=sinx的图象变换得到y= 各象限角的三角函数值的符号可记为：一全 Asin(ux十9)(A>0,w>0)的图象的两种 正，二正弦，三正切，四余弦 方法 2.三角函数的单调区间 先平移后伸缩 先神缩后平移 0 ↓ (1)函数y=sinx的单调递增区间是 画y=inx的图象 画i3=inx的图象 2kx一受，2x十受](k∈Z),单调递减区间是 向左(p>成平移1g个 向右(<的单位长度 梢安标交为原来的启 得到=sinx+的图徐 →得到=sin的将象 2kx+受，2kx+]keD. 说坐标变为 原来的司 句左(@>0)或 平移个 向右(< 单位长度 得到)=i(ux+的将象 得到1=i(ux+的制象 (2)函数y=cosx的单调递增区间是[2kπ一 织坐标变为原来的A格 纵坐标变为原来的A倍 x,2kπ](k∈)，单调递减区间是[2kπ，2kπ士 得到y=Ain(心x+p的图象 得到=Asin+p的图象 π(k∈Z). (3)函数y=tanx的单调递增区间是 6.三角函数图象的对称轴与对称中心 (km-2km+)k∈D. 函数 y=sinr y=cos y=tanx 图象的 直线x=kπ十 直线x=k示 3.同角三角函数的基本关系 对称轴 sin'a+cos'a=1, 8k∈z刀 无 (k∈Z) sn&=-tan ala-≠受+kr,k∈Z 图象的 cos a 点(kπ，0) 对称 点(m+受，0 点（经0】 4.诱导公式的记忆口诀 (k∈Z) 中心 (k∈Z) (k∈Z) 在经+a,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变 7.三角函数奇偶性的充要条件 符号看象限” 函数y=Asin(ax十g)(.x∈R)是奇函数=g三 5.函数y=Asin(aux十p)的图象 kx(k∈Z): (1)“五点法”作图 函数y=Asin(ax十o)(x∈R)是偶函数台g= -24 专题三三角函数与解三角形 x+5k∈ZD: 部分图象如图所示，则( 函数y=Acos(ax十g)(x∈R)是奇函数白g三 kx+受(k∈ZD: 函数y=Acos(x十g)(x∈R)是偶函数一g kπ(k∈Z). 8.谨记3个注意点 (1)三角函数值是一个比值，是实数，这个实 数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关， A.y=2sin(2) 只由角的终边位置决定。 (2)求函数f(x)=Asin(ax十o)的单调区间 B.y-2sin(2r-) 时，要注意A与w的符号，当w<0时，需把w C.y=2simr+】 的符号化为正值后再求解. (3)在三角函数图象的变换中，由y=sin or D.y-2sin(+) 的图象变换得到y=sin(oux十p)的图象时，平 2.(2024·北京卷)设函数f(x)=sinx(w> 移量为 ,而不是 0).已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且|x1-x2 w 【自主检测】 的最小值为，则w=( 题组一 三角函数的定义、诱导公式及同角三 A.1 B.2 C.3 D.4 角函数基本关系 3.函数y=cosx图象上各点的纵坐标不变，把 1.(多选)若sin0·cos0>0,则0的终边 横坐标变为原来的2倍，得到函数图象的解 在() 析式为y=cosx,则w的值为 A.第一象限 B.第二象限 题组三三角函数的性质 C.第三象限 D.第四象限 1.(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)= 2.已知角a的终边与单位圆的交点为 sin2x和g(x)=sin(2.x-牙)，下列说法中正 ,则sina一cosa等于( 5 确的有( ) A、⑤ A.f(x)与g(x)有相同的零点 5 号 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C36 5 D.-35 5 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 3.若sin(一110)=a,则tan70°等于( D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 A.-a B.c 2.若f(x)=cos(2x+5+g)(lp<5)是奇函 vl-a 数，则9 C D.- √1+a 3.已知函数)y=tanx在区间（一2，受）内单调 题组二三角函数的图象与解析式 递减，则ω的取值范围是 1.函数y=Asim(r十p)(A>0,o>0,gl<5)的 25 艺术生文化课考前100天数学 ◆◆方法清单·把控高考 考点一 三角函数的定义、诱导公式 A.- c号 n号 及同角三角函数的基本关系 考点二巴 三角函数的图象与解析式 【高考这样考】 【高考这样考】 m(2023·全国乙卷文)若0∈(0,5)，tan0= D(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ax十 3则smg-eos9 9,如图，A,B是直线y=号与曲线y=)的 【方法规律】应用三角函数的概念和诱导公式 两个交点.若AB=,则f八x) 的注意事项 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定时， 要注意分情况解决，机械地使用三角函数的 定义就会出现错误 (2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一 【方法规律】l.函数y=Asin(wx十o)的解析 定要注意三角函数的符号：利用同角三角函 式的确定 数的关系化筒时，要遵循一定的原则，如切化 已知函数y=Asin(ax十9)(A>0,>0)的图 弦、化异为同、化高为低、化繁为筒等 象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的 【备考这样练】 最高点、最低点或特殊点求A:由函数的周期 ■考向1三角函数的定义 确定仙：确定9常根据“五点法”中的五个点求 1.(2022·山东济南二模)如果角a的终边过点 解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以 P(2sin30°，-2cos30),那么sina的值等 从图象的升降找准第一个零点的位置， 于( 2.三角函数图象变换的易错点 A司 B-2 D.- 在图象变换中务必分清是先平移，还是先伸 缩.变换只是相对于其中的自变量x而言，如 2.(2022·山东日照一模)已知角0的终边经过 果x的系数不是1，那么就要把这个系数提取 点P 3 则角0可以为( 后，再确定变换的单位长度和方向 2 A晋 B肾 【备考这样练】 C. n.臂 ■考向1由图象求解析式 ■考向2诱导公式与同角三角函数的基本关 1.(2023·山东临沂模拟)已知函数∫(x)= 系的综合 Asin(or十g)(o>0,一<g<受)的部分图 1.若cos(5-a)=,则sim(晋+a)=( 象如图所示，则9的值为( A-青 B-5 c D.青 2.(2021·新高考I卷)若tan0=一2，则 sin0(1+sin20)=( sin 0+cos 0 -26 专题三三角函数与解三角形 A.B. C-否D晋 移9(0<<)个单位长度得到函数y 2.(2024·新高考I卷)当x∈[0,2π]时，曲线y= sin(2x+晋)的图象，则g的值为 sinx与y=2sin(3x-石)的交点个数为( 考点三 三角函数的性质 A.3 B.4 C.6 D.8 【高考这样考】 ■考向2三角函数图象变换 年(2022·新高考I卷)记函数f(x) 1.(2023·河北唐山期末)要得到函数y=sin2x 的图象，只需把函数y=sin(2.x+)的图 sim(ar+平)）十b(w>0)的最小正周期为T.若 象( ) 红<T<,且y=∫(x)的图象关于点 A.向左平移罗个单位长度 (,2)成中心对称，则f(受)=( B向右平移5个单位长度 A.1 R D.3 C.向左平移牙个单位长度 【方法规律】1.三角函数的单调区间及周期的 求法 D.向右平移不个单位长度 (1)三角函数单调区间的求法 2.(2023·全国乙卷理)已知函数f(x)=sin(ax十 求形如y=Asin(x十g)(或y=Acos(x十 p在区间（答，）上单调递增，直线x=吾和 p)(A,w,9为常数，A≠0，w>0)的单调区间 的一般思路是令ax十9=z,则y=Asin 2(或 x-为函数y一f代)的图象的两条对称轴。 y=Acos),然后利用函数y=sinx(或y= cosx)的单调区间求解， 则f(-)=( (2)三角函数周期的求法 A 函数y=Asin(ux十g)(或y=Acos(wx十e)） B 的景小正周期T=高。应特别注意y c D号 1Asin(ar十g川的最小正周期为T-高 3.(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)的图象上 2.已知函数单调性求参数的解题策略 所有点的横坐标缩短到原来的)，纵坐标不变， (1)明确一个不同.“函数f(x)在区间M上单 调”与“函数f(x)的单调区间为V”两者的含 再把所得曲线向右平移弩个单位长度，得到函 义不同，显然M是N的子集. 数y=sin(x一开)的图象，则f(x)=( (2)抓住两种方法.已知函数在区间M上单调 求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已 A.sm(受-径） &sim(2+登)》 知区间与单调区间的子集关系，建立参数所 满足的关系式求解：二是利用导数，转化为导 C.sin() D.sin(2+) 函数在区间M上的保号性，由此列不等式 4.已知函数y=sin2x的图象上每个点向左平 求解. 27 艺术生文化课考前100天数学 【备考这样练】 1.(2021·全国乙卷)函数fx)=sin号十cos号 考向1三角函数的单调性及应用 的最小正周期和最大值分别是( 1.(2024·天津卷)已知函数f(x)=sin3(ax+ A.3π和2 B.3π和2 )的最小正周期为，则f(x)在[一是·] C.6π和2 D.6π和2 上的最小值为( 2.(多选)(2023·河北秦皇岛模拟)已知函数 A-号 B- f(x)=2sin(wx+p)(au>0,g<)图象的 C.0 n号 一条对称轴方程为=否，与其相邻对称中心 2.(多选)函数f(.x)=sin xcos a的单调递减区 的距离为开，则( 间可以是( A.f(x)的最小正周期为π A[kx-3,kr-]k∈Z B.f(x)的最小正周期为2π B[km+kx+3]k∈刀 C.g-晋 C[2x+年，2km+]k∈Z) D.g-3 3.(多选)(2023·河北张家口模拟)已知函数 D.[kx+年，kx+受](k∈ZD f(x)=2sin xcos c+2 3sin2x,( 3.若函数f(.x）=2V3 sin arcos ar+2sin'ax十 A.f(x)的最小正周期为π cos2x在区间[一经，]上单调递增，则正 B.(石，0是曲线f(x)的一个对称中心 数w的最大值为( C.x=一是曲线)的一条对称轴 A.g R言 c D D.)在区间(，)上单调递增 ■考向2三角函数性质的综合 28√202I-√2020=√202I-1 专题三三角函数与解三角形 coscos 0-2sin 0,co+sin 0-4sin 0+sin 50-1,解得血0-号或血0=-得（合去)血0- 5 第一讲三角函数的图象与性质 【知识清单·精准记忆】 ems0=如0-2n0=-s血0=9. 【自主检测】 【备考这样练】 题组一 考向1 1.AC解析：：sin0·cos>0,.sin0<0,cos0<0或sin> 1.C解析：由题意，得P(1,一√3)，它与原点的距离r= 0,c0sD0,.0的终边在第一象限或第三象限 2A解新：由三角品发的定又：得@。=一血。= 2/5 √1+()=2，∴i咖a=义=-5 2 5 因光如。一m8。=-写。 2D解析：角9的终边经过点P(合，-），∴日是第四象 3.B解析：：sin(-110)=-5in110°=-sin(180°-70)= 限角，且c=专血=号期0可以为受 -sin70°=a,.sin70°=-a,.c0s70°=√/1-(-a)= 考向2 v1-a,.'.tan 70'sin 7o 1.C解析：aos(号-）=号∴m(晋+a)=受-（号 题组二 1.A解析：由题因可知，A=2,T=2[受-（-吾)门=元 )]=os(5-。)= ∴w-2由画数图象经过点（号，2），得2sm(2×弩十9)-2， 2.C解析：原式-s血0(sim0叶2sim6os0叶cos) sin 0+cos 0 sin (sincosinsin ossinsinc ÷2×号+p受+2m,eZ,9-吾+2m,k∈Z1p< sin 04cos sin'0+cos0 吾g一音，心通数的解析式为y=2sim(2红一晋） 29-景 tan0+1 考点二 2.B解析：：fx)=sin r∈[-1,1门，且f(x1)=-1,fx)= 【高考这样考】 1,一石血=受，心f(x)的最小正周期T=2×受= 解析：设A(五，2)，B(,2),由AB1=吾可得 w-停-2 看-五-吾，由mx-是可知，-晋+2或x-警+2， 3号解折：品数)y一s工机坐桥爱豪袋标支边)y=m之 原来的2倍 k∈工，由图可知，a函十9一(a函十p)-晋-吾-经，即 1 ∴w=2 -)=行∴w=4.“f(）=im(5+g）=0, 题组三 1LBC解析：对于A,令f)=0,则x-经，k∈Z,又g(受)≠ +p=x,k∈乙，即p=-弩+kx,k∈五f(x)= 0,故A错误：对于B,(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确： si如(4红-8g+kx)=sin(4r-+m),·f(x)= 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D, ◆2红=登+，k长乙，即x-至+经，k∈Z为f)图象的对 sn(4红-)）或fx)=-sm(4x-F).又：f0)<0, 愁轴方程，令2江-叠-受十，EZ,即x-要+受∈Z为 ∴a)=sm(4x-经)∴fx)=sh(4x-ξ）=- g(x)图象的对称轴方程，故f(x)与g(x)的图象的对称抽不 【备考这样练】 相同，故D错误.故选BC 考向1 2.晋解析：由题意可知号十一受十，∈么，即甲=音十x, 1.B解折：由图象可知A=1,-受-(-音），故T=,w= ∈五又p<受，故当=0时，得9 2,f(z)=sin(2x十p.由图象可知当x=时，sim(2×是十 3.[-1,0)解析：“y=tan在（一受，受）内单调递减， =1…p5 a<0且T=高≥，-1w<0, 2.C解析：“函数y=2in(3x-看）的最小正周期T=, 【方法清单·把控高考】 考点一 函教y=2si(3缸一晋)在[0,2x]上的圈泉怡好是三个周期 【高考这样考】 的图象，作出函数y=2sim(3缸-香）与y=sinx在[0,2x] 号解折：0c(o,受）血>0，m>0又m0= 上的图象如图所示， 11 受+2aeD,得受+k长<要+aeD,通数) 血mx的单消递减区间是[k红十吾，k十]∈D,故B 正确.函数f(x)的周期是kx(k≠0)，故A正确。 3.B解析：，f(x)=2√3 sin wrco8mr+2sint十cos2ax n2十1在区同[-要，]上单满适增， 由图可知，这两个图象共有6个交点.故选C 考向2 解得a<名，“正数m的最大值为行 1.D解析：y=sim(2x+登）=m2(x+年)心函数y 3wm≤， n(2红十受)的图象向右平移开个单位长度，可得到画数y= 考向2 sin2x的图象 1.C解折：fx)-im号+cos号2sim(号+)…最小 2.D解析：fx)=sin(or+p)在区间（晋，）上单调递增。 亚周期T=克=6x:m(行+)1)-=2， ∴召=经-吾=受，且>0，则T=w-等=2，当x=晋 2.AC解析：：f(x)图象相邻的对称中心与对称轴的距离为 时，fx)取得最小值，则2×晋十甲=2kx一受，∈Z,则p 于，心最小正周期T=元，故A正确，B错误：”w-纤=2，且 2kx-晋，k∈么，不妨取k=0,则f(x)=m(2x-晋)， 2×若十9-受十r,∈乙，p<受，心9=晋，故C正确，D (-)=如(-警）- 错误. 3.ACD解析：f(x)=sin2x+3(1-cos2x)=sin2x 3.B解析：先将函数y=s血（工一开）的图象向左平移晋个单 V5aos2x+3=2sin(2x-号）+5，T=受=，故A正确： 位长度，得到函数y=m(x十号-平）=i(x十)的图 (晋W)是曲线f()的一个对称中心，故B错误2x一晋 象，再将所得图象上所有点的横坐标仲长到原来的2倍， 纵坐标不变，得到画数y=sm(登+)的图象，∴f代)= 受+x:x=登+经，k∈乙，当k=-1时，x=一登“x sim(受+) 一登是f代)的一条对栋轴，故C正确：一受<2红一荨<登， -晋<2x<管，-是<x<受“f(x)在（晋，）上单调递 4及解析：把函数y=m2红的困象上每个点向左平移 增，故D正确， (0<受)个单位长度，得到函数y=m(2x+晋） 第二讲 三角恒等变换 【知识清单·精谁记忆】 sin(2x+2p)的国象∴2g-,则9=是 【自主检测】 考点三 题组一 【高考这样考】 1.C 解析：cos登cos吾十cos意sin吾=cos登os吾十 A解桥：由面数的最小正周期T满足<T<,得< 红<，解得2<0<3.又“通数国象关于点（经，2）对称， 血登n晋=o(登-看）-m牙-号 智+景-mkeZ且6=2m-言+号keZw 2.BD 解折：cosa-月si如a=2(sa-号na） )-m(受+晋）+2，（受》-m(经+）十 2(0s-sin asin吾）=2cos(a+晋）=2sin(吾-a）1 3.A解析：tan60°=3，原式= tan60°-tan18 2=1. 1十tan60anl8 【备考这样练】 tan(60°-18)=tan42. 考向1 题组二 1A解折：由f)的荒小正用期为，可得云-急一号。 1.A解析：：cos(a十)■-1，则sin(a十)=0，.sin(2a十) ∴x)=sm(2zx+x)=-sin2红当xe[-适，吾]时，2x∈ sin(a+a+0=si血aos(a+m+in(a+B》-号X(-1D+ [-吾骨]m2ae[]fx)=-.故 0=-3 sin 2a-cos'g2sin gcos acos'a 选A 2- 解析： 1+cos 2a 1+2co82a-1 2.AB解析：f代x)=-sino工=2s$in2红由吾+2r≤2x≤ 2sin gcos g-cos's-tan a6 5 2cos'a 12