2.4 数列综合问题(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

b.=amm-as 方法二（裂项求和）： 岩--。-22-2 6=(-1)-1a,=(-1)-nX4×(-3)-1=4n·31, aw+t一a。 d1-an 令b.=(kn+b)·3"-[k(n-1)+b]·3", 又b=a-a=2-1=1, 则6=(kn十b)·3”-[k(n-1)+】·3-1=3-[3km十36 二数列{6}是以1为首项，2为公比的等比数列. k(m-1)-b]=(2kn+2b+k)·3-1, (2)解：由(1)知6.=1×2-1=2-. 六致0解得传21. k=2, c,=4m-1D21 即6.=(2m-1)·3”-[2(n-1)-1)·31=(2m-1)·3- a22m+i2mD(22）, (2n-3)·31, .T=b+6十6++6=1×3-(-1)×3+3×32-1× .S■G十3+十G 31+5×33-3×32+…+(2m-1)·3*-(2m-3)·3-1 -(1-号+号+…+22) (2n-1)·3"-(-1)×3°=(2m-1)·3"+1. 2.解：(1)ae=5,a1=7. -(1-)- 猜想a,=2m十1 考点三 证明如下：由已知可得 a+4-(2m+3)=3[a,-(2m+1)], 【高考这样考】 a-(2n+1)=3[a-1-(2m-1)], 解：(1)2S=a.,.当n=1时，24=a,即a=0:当n=3 时，2(1十aa)=3ag,即a=2. a:-5=3(a1-3). ,当n≥2时，2S.-1=(n一1)a1, a1=3,.a=2m+1. ∴.2(S.-S-1)=a。-(n-1)a.-1=2a, (2)由(1)得2a.=(2m+1)2*, 化简得（一2》a.=6-Da-1当3时马号=- .S.■3×2+5×2+7×22+十(2m十1)×2".① 从而2S.=3×22+5×2+7×2+…+(2m+1)×2+.② 号=1，即a.=m-1, ①一②，得 当n=1,2,3时都满足上式，a,=n-1(n∈N). -5=3×2+2×22+2X2+…+2×2"-(2m十1)×2+1. ∴.S.=(2n-1)2t1+2 (2)=是 第四讲 数列综合问题 “工=1×(3)'+2×（侵）'+3×（侵）'+…+ 【方法清单·把控高考】 考点一 m×(侵)八， 【高考这样考】 (1)证明：设数列{a,}的公差为d, 2T.=1×(2)+2×(2)广+…+(m-1)×(2)” :a十d26=a+2d-6, a+d-2h1=8h-(a1+3d0, mx(合)， 解得么=山=号“原命题得证 两式相减得号工=（侵）》'+（侵）广'+（合）广+…+（合）》广 （2)解：由1知，6-a-号 ×》-】x传》-1 .b=an十abX2*1=a1十(m-1)d+a1, 1一2 即2*-1=2m,亦即m=22∈[1,500]，解得2≤k≤10， .满足等式的解k=2,3,4,…,10, (+)(2)八. 故集合{k|b=am+a1,1≤m≤500}中的元素个数为10 2+1=9. 即T.=2-(2+m(2)广，n∈N 【备考这样练】 1A解析：设等差数列的首项为a1,公差为d,则a1=a1十2d, 【备考这样练】 1.解：(1)：45=3a,十4①， a,=a+6d.a1,,a成等比数列， .(a1十2d)2=a1(a1+6d,解得a1=2d. ∴当n≥2时，4S.1=3a1十4②， 则当n2≥2时，①-②得4a.=3an-3a.-t,即a,=-3ar-t. 兽-告是 2d 当n=1时，由4S.=3a.十4得4a1=3a1十4，.a1=4≠0， 2.①③④解析：对于①：由题知a.,b,是关于n的一次式，对应 ∴数列{a}是以4为首项，一3为公比的等比数列， 的虽数为一次函数，即点(n,a,),(n,b)分别在两条斜率均不 .a=4X(-3)-1 为0的直线上，而这两条直线最多有1个交点，.M中最多有 (2)方法一（错位相减法）： 1个元素，①正确. :6.=(-1)-m.=(-1)1n×4×(-3)-1=4m·31, 对于②：不妨取a=2,6=(一2)，则有am=24=4,b4 ∴.T.=4×3°+8×31+12×32+…+4n·31, (-2)=4(k∈N),am=b(k∈N”),此时M中有无数个 .3T.=4×32+8×32+12X33++4n·3", 元素，∴②不正确， 两式相减得一2T=4十4(3十32+…+3一1)一4m·3”=4+ 对于③：由①知，点(n,a)在一条斜率不为0的直线6上.设b 4×31-3）-4n·3=-2+(2-40）3, =g1(q≠1)，当公比q>0时，直线6与数列{h}对应的画 1-3 数的困象至多有2个公共点，M中最多有2个元素：当q一1 .T.=1+(2m-1)·3, 时，点(n,b)在如图所示的曲线C,C上，由图易如直线6与 曲线C,C2至多有3个公共点，如当a。=3m-4,b,=一1X (-2)一1时，a1=b=一1，a2=h=2,a4=b=8,两个数列有3 当心5时，工，-S-(号+名）-（城+n=之m-1D>0, 项相同，.M中最多有3个元素： T>S 当n为奇数时，若n≥3，则T.=(6十十…十b)十(6+ 6+…+61)=-1+2m-3.n1+14+40g-1D+6.1 2 2 2 多+号”一5，显然工=6=-1满足上式。 当n为奇数时，工-受+受-5， 当g=一1时，易知M中最多有2个元素；当-1<g<0时，易 当心5时，T-8=(侵#+是-5)-(+n=(a+ 知M中最多有3个元素.综上可知，当{a,}为等差数列，{6} 2)(m-5)>0,∴.T>S. 为等比数列时，M中最多有3个元素，.③正确， 综上，当>5时，T>S 对于④：若{α}为递增数列，{b}为递减数列，则它们对应的函 【备考这样练】 数分别为单调递增函数和单调递减函数，两个函数田象的公 (1)解：设{a,}的公比为g(g>0),则1十q=d-1,得q=2, 共点最多有1个，M中最多有1个元素，.④正确，综上可 知，正确结论的序号为①③④ 8-1瓷-公-1 3.解：(1)设{a}的公比为q, (2)(1)证明：由(1)知，a4=2*1, 则/a1+g)=2, 六6=6m=2-, la11+g+g)=-6, 解得9=一2， 1a1=-2. 6-1+2,2<2,∈N 故{a,)的通项公式为a,=(-2)”. 当n=a4+1=2时，人=k+1, (②由1)得8=a02=-是+(-1少驾 6.-1=b以-1=-2+2k=r-3+4块=…=i+2k·(2-1-1) 1-9 3 =k+2k·(2-1-1)=k·2-k, 由于8+84=-音+(-1.2≥2 ∴b-1一a4·6.=k·2-k-(k+1)2-1=(k-1)2*-1-k 3 设fx)=(x-1)2-1-x,x≥2，则广(x)=2-1+(x一1)2- -[号+(-1]-2， ln2-1≥2+2ln2-1>0,∴.f(x)在[2，十∞)上单嗣递增， f(x)≥f(2)=0, 故S1,S,S+成等差数列 b.-1一a·b.≥0，即b.-≥a·b. 考点二 (1)解：令k=1,得-1，令k=2,得b=2,=b+2k=6, 【高考这样考】 令k=3,得b=3,b=b+2k=9,6=6+2k=15,6=6+25 a据：设等装数列a阁公差为d6=么∈N. =21, ∴，bM+,…,b成-是一个以b为首项，2k为公差的等差 则b=a1-6,bM=2a=2a1十2d,b=a1-6=a1十2d-6, 数列. ÷会-物十6得-2 b时1=k,由(1)知b以-1=k·2一k,∴时十b时+1十…+ ∴.a=a1+(n-1)d=2n+3, 6M1=®·2·2 2 -=k·41, ∴数列{a.}的通项公式是a,=2n+3 26-6=6+b+…+所-1=1X+2X4十…十nX (2)证明：方法一：由(1)知，5=5+2+3》=+4n,6 2 4,426=1X4+2X++nX4, 12-3,m=2k-1k∈N. 4n十6，n=2k, 两式相减，得一3名6=十华十…十41一…=二号 当n为偶数时，b-1十五=2(n-1)一3十4n十6=6m十1，T,= …="-=(传-)-子 2 “26=(号-号）+号 当n>5时，工-S=(是+）-(m+n)=2m-1D>0, 考点三 .T>S. 【备考这样练】 当n为奇数时，工=Tl-6n=是(a+1)+号(a+1)- 1.D解析：由题意可如分段函数为增函数，且f(8)>f(7),即 3-a>0, [4+10+6]-2r+号n-5, a>1, 解得2<a<3,故实数a的取值范围是 a4>(3-a)×7-3, 当心5时，工-8-（受r+受-5）-(+n）-之a+ (2,3). 2)(m-5)>0,∴.T>5. 2D解析：由题老得2m-5m十3=1，解得m=2或m=云，当 综上，当n>5时，T.>S. 方法二：由(1)知，5=7+m.6=(2a二3,2张-1k∈N。 m=之时，)=为%高数，不合题意当m=2时，) 14n十6，n=2k, 当#为偶数时，T=(你十6十…+61)十（十6十…+6） 为非寺非偶函数，符合题意.故a一m十+f可 1+2g》3.受+4+t6.受=号+， 2 n+i+后=干-，剥Sm=2-1+5-2+…+ -10 √202I-√2020=√202I-1 专题三三角函数与解三角形 coscos 0-2sin 0,co+sin 0-4sin 0+sin 50-1,解得血0-号或血0=-得（合去)血0- 5 第一讲三角函数的图象与性质 【知识清单·精准记忆】 ems0=如0-2n0=-s血0=9. 【自主检测】 【备考这样练】 题组一 考向1 1.AC解析：：sin0·cos>0,.sin0<0,cos0<0或sin> 1.C解析：由题意，得P(1,一√3)，它与原点的距离r= 0,c0sD0,.0的终边在第一象限或第三象限 2A解新：由三角品发的定又：得@。=一血。= 2/5 √1+()=2，∴i咖a=义=-5 2 5 因光如。一m8。=-写。 2D解析：角9的终边经过点P(合，-），∴日是第四象 3.B解析：：sin(-110)=-5in110°=-sin(180°-70)= 限角，且c=专血=号期0可以为受 -sin70°=a,.sin70°=-a,.c0s70°=√/1-(-a)= 考向2 v1-a,.'.tan 70'sin 7o 1.C解析：aos(号-）=号∴m(晋+a)=受-（号 题组二 1.A解析：由题因可知，A=2,T=2[受-（-吾)门=元 )]=os(5-。)= ∴w-2由画数图象经过点（号，2），得2sm(2×弩十9)-2， 2.C解析：原式-s血0(sim0叶2sim6os0叶cos) sin 0+cos 0 sin (sincosinsin ossinsinc ÷2×号+p受+2m,eZ,9-吾+2m,k∈Z1p< sin 04cos sin'0+cos0 吾g一音，心通数的解析式为y=2sim(2红一晋） 29-景 tan0+1 考点二 2.B解析：：fx)=sin r∈[-1,1门，且f(x1)=-1,fx)= 【高考这样考】 1,一石血=受，心f(x)的最小正周期T=2×受= 解析：设A(五，2)，B(,2),由AB1=吾可得 w-停-2 看-五-吾，由mx-是可知，-晋+2或x-警+2， 3号解折：品数)y一s工机坐桥爱豪袋标支边)y=m之 原来的2倍 k∈工，由图可知，a函十9一(a函十p)-晋-吾-经，即 1 ∴w=2 -)=行∴w=4.“f(）=im(5+g）=0, 题组三 1LBC解析：对于A,令f)=0,则x-经，k∈Z,又g(受)≠ +p=x,k∈乙，即p=-弩+kx,k∈五f(x)= 0,故A错误：对于B,(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确： si如(4红-8g+kx)=sin(4r-+m),·f(x)= 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D, ◆2红=登+，k长乙，即x-至+经，k∈Z为f)图象的对 sn(4红-)）或fx)=-sm(4x-F).又：f0)<0, 愁轴方程，令2江-叠-受十，EZ,即x-要+受∈Z为 ∴a)=sm(4x-经)∴fx)=sh(4x-ξ）=- g(x)图象的对称轴方程，故f(x)与g(x)的图象的对称抽不 【备考这样练】 相同，故D错误.故选BC 考向1 2.晋解析：由题意可知号十一受十，∈么，即甲=音十x, 1.B解折：由图象可知A=1,-受-(-音），故T=,w= ∈五又p<受，故当=0时，得9 2,f(z)=sin(2x十p.由图象可知当x=时，sim(2×是十 3.[-1,0)解析：“y=tan在（一受，受）内单调递减， =1…p5 a<0且T=高≥，-1w<0, 2.C解析：“函数y=2in(3x-看）的最小正周期T=, 【方法清单·把控高考】 考点一 函教y=2si(3缸一晋)在[0,2x]上的圈泉怡好是三个周期 【高考这样考】 的图象，作出函数y=2sim(3缸-香）与y=sinx在[0,2x] 号解折：0c(o,受）血>0，m>0又m0= 上的图象如图所示， 11艺术生文化课考前100天数学 第四讲 数列综合问题 ◆方法清单·把控高考◆心 考点一 等差、等比数列的简单综合问题 2.(2024·北京卷)设{am}与{bn}是两个不同的 【高考这样考】 无穷数列，且都不是常数列.记集合M一{k 面(2022·新高考Ⅱ卷)已知{am}为等差数列， au=b4,k∈N”},给出下列四个结论： {bn}是公比为2的等比数列，且a2一b2=a3 ①若{am}与{bn}均为等差数列，则M中最多 b3=b4-a4. 有1个元素； (1)证明：a1=b; ②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多 (2)求集合{k|b=am十a1,1≤m≤500)中元 有2个元素； 素的个数 ③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若{a.}为递增数列，{b.}为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是 3.记S.为等比数列{an}的前n项和，已知S2 2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式； 【方法规律】等差、等比数列的综合问题的解 (2)求Sn,并判断Sa+1,Sm,Sm+2是否成等差 题技巧 数列. (1)将已知条件转化为等差与等比数列的基 本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、 前n项和公式求解.求解时，应“瞄准目标”， 灵活应用数列的有关性质，简化运算过程.求 解过程中注意合理选择有关公式，正确判新 是否需要分类讨论， (2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是 可以相互转化的，即{an}为等差数列台{can} (c>0且c≠1)为等比数列；{an}为正项等比 数列台{log.a}(c>0且c≠1)为等差数列. 【备考这样练】 L.若等差数列{an}的公差d≠0且a1,a3,a成等 比数列，则等于() a A R号 c司 D.2 22- 专题二数列 考点二 数列与不等式的综合 k:n=ak, (2)设b.= k∈N. 【高考这样考】 b.-1+2k,ae<n<a+1 (2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列， (i)当k>2,n=a+1时，求证：b.-1≥as·bn: am一6，n为奇数， b.=2a,n为偶数， 记S.,T.分别为数列 (I)求之6. {an},{b.}的前n项和，S4=32,T3=16. (1)求{an}的通项公式： (2)证明：当n>5时，Tm>Sn 考点三数列与函数的综合 【方法规律】数列与函数的综合问题主要有以下 两类 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一 般利用函数的性质、图象来解决 (2)已知数列条件，解决函数问题，此类问题一 般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对所 给条件化简变形 【方法规律】数列与不等式的交汇问题 【备考这样练】 (1)函数法：即构造函数，通过函数的单调性、 r(3-a)x-3,x≤7， 1.已知函数f(x)= 若数列 极值等得出关于正实数的不等式，通过对关 a-6,x>7, 于正实数的不等式赋特殊值得出数列中的不 {an}满足an=f(n),n∈N°，且{an}是递增数 等式 列，则实数a的取值范围是() (2)放缩法：数列中的不等式可以通过对中间 A[3) B(层3 过程或者最后的结果放缩得到. C.(1,3) D.(2,3) (3)比较法：作差或者作商进行比较. 2.已知幂函数f(x)=(2m2-5m十3).x是非奇 【备考这样练】 (2024·天津卷)已知数列{a.}是等比数列，公 非偶函数，令a。 fn+1)+fmn∈N),记 比大于0，其前n项和为Sm,若a1=1,S2= 数列{an}的前n项和为Sn,则S=( a3-1. A.√2020+1 B.√2020-1 (1)求数列{an}的前n项和Sn; C.2021+1 D.W2021-1 -23