2.3 数列求和(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

艺术生文化课考前100天数学 第三讲 数列求和 ◆方法清单·把控高考◆◆ 考点 分组转化求和法 2.(2024·全国甲卷文)已知等比数列{am}的前 【高考这样考】 n项和为Sm,且2Sn=3am+1一3. (2021·新高考I卷)已知数列{an}满足a1= (1)求{an}的通项公式： an十1，n为奇数， (2)求数列{S,}的前n项和. 1,a+1= an十2，n为偶数 (1)记bn=a2m,写出b,b2,并求数列{bn}的通 项公式： (2)求{an}的前20项和. 考点二 裂项相消法求和 【方法规律】利用分组转化法求和的3个关 【高考这样考】 镜点 审(2022·新高考I卷)记S。为数列{an}的前n (1)会“列方程”，即会利用方程思想求出等差 顶和，已知=1，三}是公差为号的等差 数列与等比数列中的基本量 数列。 (2)会“用公式”，即会利用等差（比）数列的通 (1)求{a.}的通项公式： 项公式，求出所求数列的通项公式 (3)会“分组求和”，观察数列的通项公式的特 （②证明++…叶d<2 征，若数列是由若干个简单数列（如等差数 列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和 时可用分组求和法，把数列分成几个可以直 接求和的数列. 【备考这样练】 1.已知数列{au}中，a=a2=1,am+2= an十2，n是奇数， 则数列{a.}的前20项和 2am,n是偶数， 为() A.1121 B.1122 C.1123 D.1124 20 专题二数列 【方法规律】裂项相消法求和的实质和解题 (2)求数列“2岩的前n项和T 关键 裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项 分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最 终达到求和的目的，其解题的关键就是准确 裂项和消项. (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂 几项，直到发现被消去项的规律为止， 【方法规律】错位相减法求和的基本步骤 (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩 展开 844a4.D 几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 乘公北厂t068:6② 【备考这样练】 ①-②.得(1-gS.=a1·b,+a2·五++ai·b-+a.·b. L1.(2023·福建宁德二模)已知数列{am}满足 错位相诚 -a,·b+ag·b+tao1·b,+a·6.d an升4a-1,则数列aa1的前10 =1·b1+d6+6t…+6.-a+b, 求和 S= a1·b+d6+地，++6-a·61 项和为() 1-g Al B品 c n号 【备考这样练】 1.(2024·全国甲卷理)记S.为数列{am}的前n 2.已知在数列{an}中，a1=1,a2=2,ae+1=3am 项和，已知4Sm=3a.十4. 2ar-1(n≥2，n∈N).设bn=at1一am (1)求{am}的通项公式： (1)证明：数列{b}是等比数列： (2)设b,=(-1)”-1am,求数列{b.}的前n项 (2)设c=(4n21)2,求数列{c,}的前n项 和T 和S 2.(2020·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1=3, a=3an-4n. (1)计算a2,a3,猜想{am》的通项公式并加 以证明： (2)求数列{2a.}的前n项和S. 考点三 错位相减法求和 【高考这样考】 (2023·全国甲卷理)已知数列{an}中，a2=1, 设Sn为数列{an}的前n项和，2Sn=nam, (1)求{a.}的通项公式； -21∴.√S=a+(n-1)d=√a+(m-1)v/a=na, am=3×10-2=28,am=3×10-1=29. .S.=na. ∴.{a,}的前20项的和为 当≥2时，an=S,-S-1=t41-(n-1)2a=(2n-1)a. (a1十as十十as)十(a2十a十+am) ∴.a,-a,-1=(2n-1)a1-[2(n-1)-1]a1=2a1, =1+28×10+2+29×10=30. 2 .数列{a.}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列. 【备考这样练】 【备考这样练】 考向1 1.C解析：由题意可知，数列{a2,}是首项为1，公比为2的等比 2 2a. 数列，数列(}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列 12025解析：当n≥2时，由a.5g=1,得2S-S-)= (a}的前20项和为1X0二22+10×1+10X9×2=1123. 1-2 2 8-及8-8=-85爱-号-1爱-2 2.解：(1)：2S,=3a+1一3，∴.25+1=3a+一3，两式相减可得 “侵}是以2为首项，1为公差的等差数到心景=+1，故 2a+1=3aw+t-3a+1t 8=品用Sw=2 2 即a=等比数列a的公比为 2.(1)证明：当n=1时，有2a=a+1-4,即dG-2a1-3=0,解 :2S-3a,-3-5a,-3,a-1,故a.-(号） 得a1=3(a1=-1舍去). (2:25,=3a1-35=2(a1-1D=2[(号）广-1] 当≥2时，有2S-1=a21十n-5,又2S=a十n一4， 两式相减得2a,=a一1十1，即a一2a.十1=a21,也即 (a.-1)2=a21, 设数列S}的前n项和为工，则工。号×31一（号门 因此a,一1=a-或a,一1=一a-1… 1-号 若a,一1=-a-4,则a.十a-=1. 多n=×(停)广-是m只 而a1=3,.a:=一2，这与数列(a}的各项均为正数相矛盾， ∴an-1=a.-1,即a,-a。-1=1, 考点二 因此数列{a}是首项为3，公差为1的等差数列. 【高考这样考】 (2)解：由(1)知a1=3,d=1,.数列{a.}的通项公式为a. (1)解：a=1,S=a=1,9=1. 3+(n-1)×1■n+2. 考向2 又：（各}是公差为号的等差数列， 1.A解析：2S=3a.一6，.2S+1=3a+1一6，两式相减得 2a+1=3a-t-3a.,pa+1=3a.2S=3a1-6,a=6, =1+号-=8=2 an 3 {a}是以6为首项，3为公比的等比数列，as=6×3= 2×3°. 当≥2时，S1-a+1a, 3 2.(1)证明：a*a=2a+1十3a a,=5.-S1=a+2a-mt10aa 3 ∴a+8十ami=3(a+1十an）. 3 数列{a,}中各项均为正数， 整理得(m一1)a,=(n十1)a1,即- a1十a,>0,t021=3, att十a。 ∴数列{a十a+}是公比为3的等比数列. a as dr-2 dx1 (2)解：由(1)知数列{a,十a1}是以a1十a为首项，3为公比 产2×， 2 的等比数列，且a=号a,=是， 显然对于n=1也成立 则a,十a+1=(a1+a)31=2×3 {a.}的通项公式a,=n十1 21 a+t=2a+1+3a., ∴a+s-3a+1=-(a+1-3a.)=(-1)2(a.-3an-1）=…= (-1)"(ag-3a1). +1+…+ 又'a-3a=0,a+1-3a,=0, 放a1=3a4a=2X3,a=3 =2(-)+(合-)++(-)] 第三讲数列求和 【方法清单·把控高考】 =21-）<2 考点一 【备考这样练】 【高考这样考】 LA解析：an十aa=1心(n十1Da=a心数列 解：(1)由题意，得 b=a4=a+1=2,h=a=a+1=a,+2+1=5. (m}是每项均为1的常数列，m=l,a=元心aa 易得a2n+2=am+1十1，a2+1=a2,十2， -是南数列aa}的前10项和为（仔 1 a+a=aa,十3，即6+1=b十3， .b.=2+3(n-1)=3n-1. (2)由(1)可得a.=3n-1, )+(合号)++（品）=1-品品 4m-1=d.-8+2=b.1+2=3n-2. 2.(1)证明：a+1=3a。-2a-(n≥2，n∈N°)， b.=amm-as 方法二（裂项求和）： 岩--。-22-2 6=(-1)-1a,=(-1)-nX4×(-3)-1=4n·31, aw+t一a。 d1-an 令b.=(kn+b)·3"-[k(n-1)+b]·3", 又b=a-a=2-1=1, 则6=(kn十b)·3”-[k(n-1)+】·3-1=3-[3km十36 二数列{6}是以1为首项，2为公比的等比数列. k(m-1)-b]=(2kn+2b+k)·3-1, (2)解：由(1)知6.=1×2-1=2-. 六致0解得传21. k=2, c,=4m-1D21 即6.=(2m-1)·3”-[2(n-1)-1)·31=(2m-1)·3- a22m+i2mD(22）, (2n-3)·31, .T=b+6十6++6=1×3-(-1)×3+3×32-1× .S■G十3+十G 31+5×33-3×32+…+(2m-1)·3*-(2m-3)·3-1 -(1-号+号+…+22) (2n-1)·3"-(-1)×3°=(2m-1)·3"+1. 2.解：(1)ae=5,a1=7. -(1-)- 猜想a,=2m十1 考点三 证明如下：由已知可得 a+4-(2m+3)=3[a,-(2m+1)], 【高考这样考】 a-(2n+1)=3[a-1-(2m-1)], 解：(1)2S=a.,.当n=1时，24=a,即a=0:当n=3 时，2(1十aa)=3ag,即a=2. a:-5=3(a1-3). ,当n≥2时，2S.-1=(n一1)a1, a1=3,.a=2m+1. ∴.2(S.-S-1)=a。-(n-1)a.-1=2a, (2)由(1)得2a.=(2m+1)2*, 化简得（一2》a.=6-Da-1当3时马号=- .S.■3×2+5×2+7×22+十(2m十1)×2".① 从而2S.=3×22+5×2+7×2+…+(2m+1)×2+.② 号=1，即a.=m-1, ①一②，得 当n=1,2,3时都满足上式，a,=n-1(n∈N). -5=3×2+2×22+2X2+…+2×2"-(2m十1)×2+1. ∴.S.=(2n-1)2t1+2 (2)=是 第四讲 数列综合问题 “工=1×(3)'+2×（侵）'+3×（侵）'+…+ 【方法清单·把控高考】 考点一 m×(侵)八， 【高考这样考】 (1)证明：设数列{a,}的公差为d, 2T.=1×(2)+2×(2)广+…+(m-1)×(2)” :a十d26=a+2d-6, a+d-2h1=8h-(a1+3d0, mx(合)， 解得么=山=号“原命题得证 两式相减得号工=（侵）》'+（侵）广'+（合）广+…+（合）》广 （2)解：由1知，6-a-号 ×》-】x传》-1 .b=an十abX2*1=a1十(m-1)d+a1, 1一2 即2*-1=2m,亦即m=22∈[1,500]，解得2≤k≤10， .满足等式的解k=2,3,4,…,10, (+)(2)八. 故集合{k|b=am+a1,1≤m≤500}中的元素个数为10 2+1=9. 即T.=2-(2+m(2)广，n∈N 【备考这样练】 1A解析：设等差数列的首项为a1,公差为d,则a1=a1十2d, 【备考这样练】 1.解：(1)：45=3a,十4①， a,=a+6d.a1,,a成等比数列， .(a1十2d)2=a1(a1+6d,解得a1=2d. ∴当n≥2时，4S.1=3a1十4②， 则当n2≥2时，①-②得4a.=3an-3a.-t,即a,=-3ar-t. 兽-告是 2d 当n=1时，由4S.=3a.十4得4a1=3a1十4，.a1=4≠0， 2.①③④解析：对于①：由题知a.,b,是关于n的一次式，对应 ∴数列{a}是以4为首项，一3为公比的等比数列， 的虽数为一次函数，即点(n,a,),(n,b)分别在两条斜率均不 .a=4X(-3)-1 为0的直线上，而这两条直线最多有1个交点，.M中最多有 (2)方法一（错位相减法）： 1个元素，①正确. :6.=(-1)-m.=(-1)1n×4×(-3)-1=4m·31, 对于②：不妨取a=2,6=(一2)，则有am=24=4,b4 ∴.T.=4×3°+8×31+12×32+…+4n·31, (-2)=4(k∈N),am=b(k∈N”),此时M中有无数个 .3T.=4×32+8×32+12X33++4n·3", 元素，∴②不正确， 两式相减得一2T=4十4(3十32+…+3一1)一4m·3”=4+ 对于③：由①知，点(n,a)在一条斜率不为0的直线6上.设b 4×31-3）-4n·3=-2+(2-40）3, =g1(q≠1)，当公比q>0时，直线6与数列{h}对应的画 1-3 数的困象至多有2个公共点，M中最多有2个元素：当q一1 .T.=1+(2m-1)·3, 时，点(n,b)在如图所示的曲线C,C上，由图易如直线6与