2.2 等差、等比数列(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

专题二数列 第二讲 等差、等比数列 ◆◆知识清单·精准记忆◆。 【基础梳理】 m,n∈N),则ak·a=am·an 1.等差数列的有关公式 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列，则 (1)通项公式：am=a1十(n-1)d. a}a≠0)，2}，a2,a.·b,会}仍是 (2)通项公式的推广：an=am+(n一m)d(n, an m∈N"). 等比数列！ (3)前n项和公式：S=a+n(n21Dd= (4)在等比数列{a.}中，等距离取出若干项也 2 构成一个等比数列，即am,an+,a+2张，a+3让， n(a1十an) 成等比数列，公比为g 2 (5)若公比不为一1的等比数列{an}的前n项 2.等差数列的性质 和为Sm,则S,Sn一Sn,Sm一S2m,…成等比数 (1)若{an}为等差数列，且k十l=m十n(k,l, 列，其公比为q m,n∈N),则aa十a1=am十ar. 【自主检测】 (2)若{a.}是等差数列，公差为d,则at,a+m, 题组一等差数列 a+2m,…(k,m∈N”)是公差为md的等差 1.设数列{am}(n∈N')是公差为d的等差数列， 数列. 若a2=4,a4=6,则d等于( (3)若{an},{bn}是等差数列，则{pan十gbn}也 是等差数列. A.4 B.3 C.2 D.1 (4)若S。为等差数列{an}的前n项和，则数列 2.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差 中项是5，则m和n的等差中项是( Sm,S2m一Sm,S3m一S2m,…(m∈N)也是等差 A.2 B.3 C.6 数列，公差为md. D.9 (5)若S.为等差数列{am}的前n项和，则数列 3.已知在等差数列{an}中，a,十ag=16,a4=1, 则a12的值是 S也为等差数列. 4.设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn,若 3.等比数列的有关公式 a6=2且S5=30,则Sg= (1)通项公式：am=a1g 题组二等比数列 (2)前n项和公式： 1.在等比数列a.中，a=g=2a,=2则 nai,q=1, S= a1(1-2=二a9,g≠1. n=( 1-9 1-q A.3 B.4 C.5 D.6 4.等比数列的常用性质 2.如果一1，a,b,c,一9成等比数列，那么( (1)通项公式的推广：an=am·gm(n,m∈ A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 N*) C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 (2)若{an}为等比数列，且十l=m十n(k,l, 3.在等比数列{an}中，an>0,且a1a1o=27,则 -17 艺术生文化课考前100天数学 log3a2十log3ag等于() 4.对于等比数列{an},a1=5,q=2,Sm=35,则 A.9 B.6 C.3 D.2 an= ◆◆方法清单·把控高考◆心 考点一 等差、等比数列的基本运算 a2a4a5=a3a6,aga1o=一8，则a7= 【高考这样考】 4.(2024·北京卷)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是 团(2023·全国甲卷文)记S.为等差数列{a.}的 龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中 前n项和.若a2十a6=10,a4a8=45,则S= 升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆 () 柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等 A.25 B.22 C.20 D.15 比数列，底面直径依次为65mm,325mm, 【方法规律】等差（比）数列基本运算的解题 325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器 途径 的高为 mm,升量器的高为 (1)设基本量a1和公差d(公比q). mm.(不计量器的厚度) (2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d 考点三 等差、等比数列的性质 (9)的方程（组），然后求解，注意整体计算，以 【高考这样考】 减少运算量. 团(2023·新高考Ⅱ卷)记S.为等比数列{a.} 【备考这样练】 的前n项和.若S4=一5，S6=21S2,则Sg= ■考向1等差数列的基本运算 () 1.(2024·全国甲卷理)设Sn为等差数列(an}的 A.120 B.85 C.-85D.-120 前n项和，已知S=S1o,a5=1,则a1=( 【方法规律】等差、等比数列性质问题求解策略 A号 R号 c-3 D.-H (1)抓关系：抓住项与项之间的关系及项的序 号之间的关系，从这些特点入手，远择恰当的 2.(2022·全国乙卷)记S为等差数列{a}的前n 性质进行求解， 项和.若2S=3S十6，则公差d= (2)用性质：数列是一种特殊的函数，具有函 3.(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的 数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用 前n项和，若a3十a4=7,3a2十as=5,则S1o= 函数性质解题 【备考这样练】 ■考向2等比数列的基本运算 ■考向1等差数列性质的运用 1.(2023·全国甲卷理)已知等比数列{an}中， 1.(2024·全国甲卷文)已知等差数列{an}的前 a1=1,Sm为{am}的前n项和，S5-5S3一4，则 n项和为S.,若Sg=1,则a3十a=() S=() A.7 A.-2 B.9 C.15 D.30 B名 C.1 D号 2.(2022·全国乙卷)已知等比数列{a.}的前3 2.(2023·山东临沂高三开学考试)已知等差数 项和为168，a2一a5=42,则a6=( 列{am}的前n项和为Sm,S4=3,S-4=12 A.14 B.12 C.6 D.3 (n≥5，n∈N),Sn=17,则n的值为() 3.(2023·全国乙卷理)已知{an}为等比数列， A.8 B.11 C.13 D.17 -18 专题二数列 ■考向2等比数列性质的运用 【备考这样练】 1.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前 ■考向1等差数列的判定与证明问题 n项和.若S2=4,S4=6,则S6=( ) 1.已知数列{am}中，a1=1,Sn为数列{am}的前n A.7 B.8 C.9 D.10 2.在等比数列{am}中，如果a1十a2=40,aa+ 项和，且当≥2时，有。2=1皮立，则 a4=60,那么a2十a8=() S2024= A.135 B.100C.95 D.80 2.已知数列{a.}的各项均为正数，前n项和为 3.(2023·山东枣庄模拟)已知等比数列{an}满 Sm,且满足2Sn=a十n-4(n∈N*). 足a2十a十as十a=20,a4·as=2,则2+ (1)求证：数列{an}为等差数列； az (2)求数列{an}的通项公式. 上+1+1的值为( ) a as as A.20 B.10 C.5 D昌 考点三 等差、等比数列的判定与证明 【高考这样考】 (2021·全国甲卷)记S.为数列{an}的前n项 和，已知am>0,a2=3a1,且数列{√Sn}是等差 ■考向2等比数列的判定与证明问题 数列.证明：{an}是等差数列. 1.已知数列{an}的前n项和Sn满足2S.=3an 6,则a6=() A.2×3 B.2×3 C.6×2 D.6×27 2.已知各项都为正数的数列{am}满足am+2= 2am+1十3am (1)证明：数列{an十a+1}为等比数列； (2)若a=2a=多，求a)的通项公式 【方法规律】判定和证明数列是等差（比）数列 的方法 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证 a1一a(或。）为与正整数m无关的某- 常数。 (2)中项公式法： ①若2an=am-1十ar+1(n∈N‘,n≥2)，则{an} 为等差数列： ②若a=aw-1·a+1≠0(n∈N",n≥2)，则 {an}为等比数列. -19[(n-1)2-2]=2m-1: (a-a)+(a4-a)+…+(a-ar1)+a1=(2+3+4+…+ 当n=1时，a1=S=1一2=一1，不满足上式. )+2=广+n+2 ka-2 2 3.9或10解析："，要使S。最大，只需要数列中正数的项相加 44一是解桥：“a-a-十女 即可，即需a.>0,-m2+9m+10>0,得-1<n<10.又n∈ 11 .当≥2时，a一a-ln白n N°，.1≤<10.又a1o=0,.n=9或n=10. 【方法清单·把控高考】 n-之n@-a,=1-2, 1 1 考点一 【高考这样考】 以上各式相加，得a.-a=1- 2m与解折：4十3a,十…+(2m-1)a,-2,故当n≥2时， 2 a=4-又a=3追合上式a=4 a+3a+…+(2n-3)a-4=2(n-1). 考向2 2 两式相减得(2n-1)a,=2,a,一2n与n≥2). 1.a=2·31-1解析：：a1=3a.十2，∴.a+1+1=3(a+ 又由题设可得a=2,满足上式，从而《a}的通项公式为 1)-3,数列{a十1)为等比数列，公比g=3.又 ax+1 2 a.=2m-1 a十1=2，∴a.+1=2·3"-.∴a.=2·3"-1-1. 【备考这样练】 2吊解折：1-4=1山0小-十 a+1d。 考向 1.4m-5解析：当n=1时，a1=S,=2-3=一1：当m≥2时， 多品女-量又a=1则站-1…侵}是以1为省 a。=S-5.-1=(2t-3n)-[2(m-1)2-3(n-1)]=4m-5, 项，2为公差的等差数到，…-+(-)×含-号十 由于a1也适合此等式，a.=4n一5. ax a 2{《23,m≥2解析：当=1时=5=3+1=4： 当n≥2时，a=S-S-1=(3"+1)-(3-1+1)=2X3"-1 考向3 当n=1时，2×31=2≠a六a,=2X3,m≥2. 4,n=1, 1.D解折：a=合a=2,=-1a-a=2a=-1, …,归纳得a,+3=aa4=a3x4+:=a:=2. 3.解桥：a+3a+3a十…+3a,=号，① 么.号解析：计算得=2a一1=号4=24-1=号a=2a 则当≥2时a+3a+3a+叶3a=”写，@ 号.故：列a}是以3为周期的用期线列。 ①-②得3a=号ia=(≥2》. 又2017=672X3+1.aam=4=9。 由题高知a=号特合上式，a- 第二讲等差、等比数列 考点二 【知识清单·精准记忆】 【高考这样考】 【自主检测】 题组一 C解析：a=2,a.=anam,令m=1,别a+1=aa.=2a, {a}是以=2为首项，2为公比的等比数列，a=2×21= 1.D解析：a4-4-2d-6-4-2,∴d-1. 2.B解析：由题意知，2m十m=8,2m十n=10,两式相加得3m十 么.又：a4十aa+…十a4m=20-2,20二29=20 1一2 3n=18,m十n=6,.m和n的等差中项是3. 2,即2+1(20-1)=2(2-1)，.21=2，∴.k+1=5,.k=4 3.15解析：方法一：设等差数列{a,}的首项为a,公差为d,则 【备考这样练】 a1+6d+a1+8d=2a1+14d-16.① 考向1 a+3d=1.② 1 1.C解析：方法一：由已知可知，a1=1,a=2,a=京，a= 联a0@,得a=-号d-子at=a+1d=15. 1 方法二：a,十a4=a4+a2,a4e=16-1=15. 心a-2 方法二4=兰8…台·=（合）1 《说折：已为可得色.州 。解得 aw-1w- d-, () s=8a+82d-32 a一n千1分别令n=1,2,3,…,”-1, 解析：由条件知型=n 题组二 代入上式得n一1个等式，即·8·…品=号× 1.C解桥：“a=ag,号×(2）=立，即（侵）” ai a as 号×星×…x”只，脚台-是又a=号a=品 (受）广，解得n=5, a1 n 3.+十2解析：由条件知a1一a,=m十1，则a=(a@一)+ 2,B解析：=（一1）×（一9）=9且b与首项-1同号，∴b= 2 一3，且a,c必同号，.ac=b=9. 6 3.C解析：aa=a1ao=27,loga+loga=log27=3. 40期折：由89号，得aa二0,5-5-2效 3-213,可得412-5,402-21×40二2,0 1-g 1-9 1-q 9 2 【方法清单·把控高考】 由0可得1+g+g=21,解得g=4,“S=二2= 1一9 考点一 a11二2×(1+g)=-5×1+16)=-85. 【高考这样考】 1一g C解析：方法一：设等差数列{a,}的公差为d,首项为山1，依题 方法二：设等比数列{an}的公比为9,5=-5，S=21S, 意可得十as=a十d+41+5d=10,即a+3d=5.又aa= q≠-1，否别S,=0,从而S,S-S,S一S,S一S成等 (a+3d)(a+7d)=45,解得d=1,a=2,.5=5a1+ 比数列，.(-5S)2=S2(21S+5),解得S2=一1或S2 5×d-5x2+10-20, 景当8=-1时，S5-5S-58-5即为-1，-4 方法二：ag十a4=2a=10,a4ag=45,.a=5,ag=9,从 -16,S+21,易知S+21=-61,即5=-851当5-子时， d-8-号-1，子是画=a-d=5-1=48=5a=20. S-a1+a+a+a4=(a+a)(1+d)=(1十g)S>0,与 【备考这样练】 S4=-5矛盾，含去 考向1 【备考这样练】 1.B解析：由S=Sn,得5Ca十a）=10a,十a2,5a, 考向1 2 1.D解析：方法一：设等差数列{a.}的公差为d,由S=9a1+ 5a十a)ia=0,公是d=g号=-寸a=a-4d 9X8ad=9(a,十4d0=1,得a十4d=号，剥a+a=a+2d+ 2 1-4X(-号)=子故选B a+6d=2ai+8d=2a+4d0=号.故选D 2.2解析：由2S=3S十6可得2(a1+ae十a)=3(a1十a2)十 方法二：{a}为等差教列，S-9Ca十a）-9a6-l,得a 2 6,化简得2a1=a1十a:十6，即2(a1十2d)=2a1十d十6，解 得dm2. =,则山十=2a,-子故选D 3.95解析：设{a.}的公差为d,由a十a4=a1十2d十a十3d= 2a+5d=7,3a十a=3(a十d0+a+4d=4a1+7d=5,解得 2.D解析：S,=a1十a十a+a=3①，S.-4=12,Sn=17, .a-s+a-a+a-1+a.=17-12=5②，①+②得(a+a,)+ a1■一4，d=3,则S1a■10a1十45d■95. (a十a。-1)十(a十a,t)+(a十a)=8,由等差数列的性质 考向2 可知a1十an=ag十a,-1=aa十a,t=a4十a.-1,a1十a,=2又 1,C解析：在等比数列{a.)中，设公比为q,由题意知1十g十 +￠+g=5(1+q十寸)-4，即d+g=4g十4d,即￠+寸 3.=@+a2=17,m=17. 2 4q一4=0，即(q一2)(g十1)(q十2)=0.由题意知q>0,∴.q 考向2 2,,.5=1+2+4+8=15. 1,A解析：方法一：设等比数列{a}的公比为9，则由等比数列 2.D解析：方法一：设等比数列的公比为q,9≠0，由题意，q≠1， 则a4十a4十4-802=168，a-a4=ag-ag s-24,① 1-q 1-g 的前n项和公式得 s-02-6.@ aq1一寸)=42，联立两式解得g=2,a1=96,则a4=a1￠ 1-9 96×2=3. ②÷①，得1+日-是，解得=是代入①得，8 方法二：设等比数列的公比为g,g≠0，则41十a:十a,=a:(1十 8-a92=。1-门=8x(-号）- 1-g q十d)=168,a-as=a1q-ag=aq(1-d)=42,.q(1- 方法二：等比数列{a.}的前n项和有如下的性质：S,S,一S, g）=,解得g=a=96a,=af=96×克=3 5-S,…成等比数列，且公比4-S气S=冬则5-5 S 3.一2解析：设等比数列(a,}的公比为q(q≠0)，则aa4= aa6=a2q·asq,显然a,≠0，a■d,即a=d,.aq■1. (5-5)…日=(6-40×2=1，s=S+(8-5)+ aao=-8,a·a1t=-8,q=(q)=-8= (S-S)=4+2+1=7. (-2)3,∴.q=-2,.a=a1g·=q=-2. 2.A解析：由等比数列的性质知，a十ae,a十a,4十a6,a十 4.2357.5解析：设升，斗量器的高分别为h:mm,h2mm,升、 斗，斜量器的客积分别为V1mm,V2mm,Vmm.升、斗、 a或等比数列，共着项为40，公比为8-号a十a=40X 解量器的容积成公比为10的等比数列，∴V=10V:,即x× ()）=135. (受)'×230=10×x×(罗)×，解得=2a又V- 3.B解析：在等比数列{a.}中，由等比数列的性质可得·am= 10V,即xX(25)'×23=10×x()'×M,M1=57.5 am-2.++1+1-+a+a+a a ∴升、斗量器的高分别为57.5mm,23mm a十a十a十+as=29=10. 考点二 d2dg 2 【高考这样考】 考点三 C解析：方法一±设等比数列{a}的公比为q,首项为a1,若 【高考这样考】 q=一1，则S=0≠一5，与题意不将，.q≠一1.若q=1,则 证明：设等差数列{S}的公差为d, S=6a1=3×2a1=3S≠0，与题意不符，q≠1.由S=-5, 则d=S-√S=√a十a-a=4a-a=am, 一7一 ∴.√S=a+(n-1)d=√a+(m-1)v/a=na, am=3×10-2=28,am=3×10-1=29. .S.=na. ∴.{a,}的前20项的和为 当≥2时，an=S,-S-1=t41-(n-1)2a=(2n-1)a. (a1十as十十as)十(a2十a十+am) ∴.a,-a,-1=(2n-1)a1-[2(n-1)-1]a1=2a1, =1+28×10+2+29×10=30. 2 .数列{a.}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列. 【备考这样练】 【备考这样练】 考向1 1.C解析：由题意可知，数列{a2,}是首项为1，公比为2的等比 2 2a. 数列，数列(}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列 12025解析：当n≥2时，由a.5g=1,得2S-S-)= (a}的前20项和为1X0二22+10×1+10X9×2=1123. 1-2 2 8-及8-8=-85爱-号-1爱-2 2.解：(1)：2S,=3a+1一3，∴.25+1=3a+一3，两式相减可得 “侵}是以2为首项，1为公差的等差数到心景=+1，故 2a+1=3aw+t-3a+1t 8=品用Sw=2 2 即a=等比数列a的公比为 2.(1)证明：当n=1时，有2a=a+1-4,即dG-2a1-3=0,解 :2S-3a,-3-5a,-3,a-1,故a.-(号） 得a1=3(a1=-1舍去). (2:25,=3a1-35=2(a1-1D=2[(号）广-1] 当≥2时，有2S-1=a21十n-5,又2S=a十n一4， 两式相减得2a,=a一1十1，即a一2a.十1=a21,也即 (a.-1)2=a21, 设数列S}的前n项和为工，则工。号×31一（号门 因此a,一1=a-或a,一1=一a-1… 1-号 若a,一1=-a-4,则a.十a-=1. 多n=×(停)广-是m只 而a1=3,.a:=一2，这与数列(a}的各项均为正数相矛盾， ∴an-1=a.-1,即a,-a。-1=1, 考点二 因此数列{a}是首项为3，公差为1的等差数列. 【高考这样考】 (2)解：由(1)知a1=3,d=1,.数列{a.}的通项公式为a. (1)解：a=1,S=a=1,9=1. 3+(n-1)×1■n+2. 考向2 又：（各}是公差为号的等差数列， 1.A解析：2S=3a.一6，.2S+1=3a+1一6，两式相减得 2a+1=3a-t-3a.,pa+1=3a.2S=3a1-6,a=6, =1+号-=8=2 an 3 {a}是以6为首项，3为公比的等比数列，as=6×3= 2×3°. 当≥2时，S1-a+1a, 3 2.(1)证明：a*a=2a+1十3a a,=5.-S1=a+2a-mt10aa 3 ∴a+8十ami=3(a+1十an）. 3 数列{a,}中各项均为正数， 整理得(m一1)a,=(n十1)a1,即- a1十a,>0,t021=3, att十a。 ∴数列{a十a+}是公比为3的等比数列. a as dr-2 dx1 (2)解：由(1)知数列{a,十a1}是以a1十a为首项，3为公比 产2×， 2 的等比数列，且a=号a,=是， 显然对于n=1也成立 则a,十a+1=(a1+a)31=2×3 {a.}的通项公式a,=n十1 21 a+t=2a+1+3a., ∴a+s-3a+1=-(a+1-3a.)=(-1)2(a.-3an-1）=…= (-1)"(ag-3a1). +1+…+ 又'a-3a=0,a+1-3a,=0, 放a1=3a4a=2X3,a=3 =2(-)+(合-)++(-)] 第三讲数列求和 【方法清单·把控高考】 =21-）<2 考点一 【备考这样练】 【高考这样考】 LA解析：an十aa=1心(n十1Da=a心数列 解：(1)由题意，得 b=a4=a+1=2,h=a=a+1=a,+2+1=5. (m}是每项均为1的常数列，m=l,a=元心aa 易得a2n+2=am+1十1，a2+1=a2,十2， -是南数列aa}的前10项和为（仔 1 a+a=aa,十3，即6+1=b十3， .b.=2+3(n-1)=3n-1. (2)由(1)可得a.=3n-1, )+(合号)++（品）=1-品品 4m-1=d.-8+2=b.1+2=3n-2. 2.(1)证明：a+1=3a。-2a-(n≥2，n∈N°)，