1.5 古典概型的概率计算(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

专题一基础知识 第五讲古典概型的概率计算 ◆ 知识清单·精准记忆◆· 【基础梳理】 【自主检测】 1.古典概型 1.一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其 率为( 数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。 A号 R (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个， c D (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 2.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两 相等。 位，只记得第一位是M,I,N中的一个字母， 2.古典概型的概率公式 第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包 输入一次密码能成功开机的概率为( 含n个样本点，事件A包含其中的k个样本 A哥 B吉 cg D动 点，则定义事件A的概率P(A)==nA) nn(2)1 3.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球.从中 其中，n(A)和n(2)分别表示事件A和样本空 任取一球，则取到白球的概率为 间2包含的样本点个数， 4.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其 和为5的概率是 ◆方法清单·把控高考◆心 考点一 简单古典概型的概率计算 m,求出概率PA, 【高考这样考】 【备考这样练】 审(2022·新高考I卷)从2至8的7个整数中 1.(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6 随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率 为() 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主 题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同 A司 D号 主题的概率为( 【方法规律】计算古典概型的概率问题的一般 步聚 A哥 B号 c (1)列出所有样本点，得到样本空间中样本点 2.(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6 的总数n: 的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的 (2)找出事件A所包含的样本点，得到A包含 2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率 的样本点的个数m: 为( (3)利用公式P(A)= A包含的样本点的个数 样本空间中样本点总数 A号 B.3 c 2 D. 13 艺术生文化课考前100天数学 3.(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任 来自不同年级的概率为( 选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 A若 R号 c D号 2.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同 4.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随 的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么 机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都人选 甲盒中恰好有3个小球的概率为( 的概率为 A是 B号 c易 D 考点二复杂的古典概型问题 3.将3名男生1名女生共4名同学分配到甲 【高考这样考】 乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少 (2024·全国甲卷文)甲、乙、丙、丁四人排成 一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到 一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率 甲社区的概率是( 是( A是 R号 c D. A c.2 D号 4.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集 合1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m= 【方法规律】古典概型中基本事件个数的探求方法 (a,b)与向量n=(1,一1)垂直的概率 适合基本事件个数较少且易一一列 为( 枚举法 举的问题 A吉 c D.2 树状 适用于较为复杂的问题中基本事件 5.(2024·新高考I卷)甲、乙两人各有四张卡 图法 个数的探求，尤其是有序问题 片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分 别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数 排列、 在求解一些较为复杂的问题时，可利 字2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛 组合法 用排列，组合知识求出基本事件个数 中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一 张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的 人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置 【备考这样练】 此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次 1.(2023·全国甲卷文)某校文艺部有4名学 中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不 生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生 小于2分的概率为 中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共 vE)的展开式中舍x2的项为C·C(一√E)=6x,∴(x 有2×3×A=36(个). √工)1的展开式中x2的系数为6. 2.B解析：丙在正中间(4号位)，甲、乙两人只能坐12,23或 【备考这样练】 56,67号位，有4种情况，考虑到甲、乙的顺序有A证种情况，剩 考向1 下的4个位置其余4人坐有A:种情况.故不同的坐法的种数 为4A年A=192. 1D解析：(2z-}）广'的展开式的通项为T1=G(2 3.B解析：不妨记5名志愿着分别为a,b,c,d,e,假设a连续参 加了两天服务，再从剩余的4人中抽取2人各参加星期六与 (-）广=(-10y2CG2*,令5-2r=1,得=2， 星期日的服务，共有A=12(种)方法，网理，b,c,d,e连续参 “(2z红-子）广'的展开式中x的系数为(-1D2-C=80, 加了两天殿务，也各有12种方法，.恰有1人连续参加两天 2.C解析：由题意T,+1=C(2x)(一y)',当r=4时，x2y项 服务的选择种数为5×12=60. 的系数是15×4■60. 考向2 1.D解析：9个整数中共有4个不同的偶数和5个不同的奇 3B解析：二项式(x+）的展开式的第r十1项为T1 数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇 数和2个偶数，故不同的取法有C心十C十C号C=66(种). C2(）广=Cax.又展开式中子的系数是84，即7- 2.120解析：①1男4女，CC=45(种)：②2男3女，CC= 2r=-3,.r=5.∴.Ca=84,解得a= 60(种)：③3男2女，CC=15(种)..一共有45十60十15 考向2 120(种). 1.B解析：二项式系数的和是32，则2"=32，.n=5.令x 3.16解析：从6位学生中任意选3人有C=20(种)选法，没有 1,则展开式中各项系数的和为（一1）°=一1. 女生入选有C=4(种)选法，故至少有1位女生入选的不同选 2.B解析：令x=1,则a十a十a十a十a=1,令x=一1，划 法共有20一4=16（种）. 考向3 a-a+a-a+a=(-3)'=81,故a+a+a=1+81=4 2 1.C解析：首先确定相同的读物，共有C种，然后两人各自的 3.5解析：（号+z)”的展开式的通项公式为T1=C。, 另外一种读物相当于在刺余的5种读物里，选出两种进行排 列，共有A号种，根据分步乘法计数原理，可得CA=120(种). (})r,则各项的系数分别为C8(3）”,C()',G· 2.B解析：，丙丁要在一起，先把丙丁掴绑，看作一个元素，连 同乙、龙看成三个元素排列，有3！种排列方式：为使甲不在两 (}),c(3)',c(号)广，c(3)广c(3)',c· 端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位 置插入，有2种插空方式：注意到丙丁两人的顺序可交换，有 (号广'，C(行)，C(号)，C阳（号）°，观察发现二项式系 2种排列方式.'.安排这5名同学共有3！×2×2=24（种）不 数先增大后减小，且前后对称，指致式递增，分别计算C。· 同的排列方式. (号)，c(3)六，c(3).c(号)，c(3) 3.C解析：可先将3名大学生分成2组，一组2人，一组1人， 共有C=3(种)分法，再将这两组分配到2个山村，有A= C(号)°，比较可得，C(号)=5最大。 2(种)分法，故共有3×2=6（种）分法， 考向3 4,24112解析：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同 1.B解析：(1十ax)3,(1一x)°的展开式中x的系数分别为 的选法：第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共 d,C(-1),由题意可得a2-10=-2,即d=8,解得a=2. 有3种不同的选法：第三步，从第三行选一个与第一、二个数 均不同列的数，共有2种不同的选法：第四步，从第四行选一 2C解桥：方法-(+)x+-(+）d+ 个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法 5xy十10xy2十10.xy十5xy+y),.x2y的系数为10+ 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1=24. 5=15. 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数 字分别为1,2,3,4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数 方法二：当x+兰中取x时，正y的系教为C心，当十兰中取 字的最大值分别为1,3,3,5，故从第一行选21，从第二行选 33,从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最 兰时，士y的系数为C,“2y的系数为C+C=I0十 大，故选中方格中的4个数之和的最大值为21十33十43十 5=15. 15=112. 考点二 320解析：（是+苦）的展开式的通项为T1=C(3) 【高考这样考】 (传)广-C·3·,令6-18=0，则k=3,常数项 A解析：方法一（公式法）：(x一V反)的展开式的通项为 为T=C·3·x”=20. T+1=Cx-(-VE)r=(-1)rCx+(r=0,1,2,3,4).由 第五讲古典概型的概率计算 4-7=3,得r=2,(x一丘)八的展开式中工的系数为 【知识清单·精准记忆】 (-1)2C=6. 【自主检测】 方法二（组合数法）：(x一√x)的展开式中含x的项是由 1D解析：一枚硬币连斯2次可能出现（正，正），（反，反），（正， 反)，（反，正）4种情况，只有一次出现正面的情况有2种，故 (x一√x)(x-√x)(x一√x)(x一√x)中任意取2个括号内的x 与剩余的2个括号内的（一√x)相乘得到的，（题最），(x一 P== 2.B解析：用树状图列举如图。 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头， 且甲或乙在排尾的兼法共有8种，“所求概率为员=子故 选B. 【备考这样练】 1.D解析：依题意，从这4名学生中随机选2名组帜校文艺汇 演，总的基本事件有C=6(件)，其中这2名学生来自不同年 ∴.事件总数有15种，由题意知小敏输入一次密码能成功的概 级的基本事件有CC=4(件)，∴这2名学生来自不同年级的 率为品 概率为合=号 3.号解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取 2C解析：将7个相同的小球投入甲，乙，丙，丁4个不同的小 盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好 62 法有6种，则所求概率为P=污=亏 有3个小球有G种批读，故所求桃率为是=品 4弓解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基 3.D解析：分配方案共有CA种，拾好一名女生和一名男生分 本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5) 到甲社区的分法有G战种，故所来燕奉儿器=行 3,,a.5),4.5,共10种P=品-号 2 4.A解析：由题意可知m=(a,b)有CXC=12(种)情况. 【方法清单·把控高考】 ,m⊥n,即m·n=0,,a×1十bX(一1)=0，即a=b,满足条 考点一 件的有3,3)，(6,5)，共2个，故所求的概率为后 【高考这样考】 D解析：从2至8的7个整数中随机取2个不问的数，共有 5号解析：”甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能廉，…四 C=21(种)不同的取法，若两数不互质，不同的取法有(2,4) 轮比赛后，甲的总得分最多为3分。 (2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种，故所求概 若甲的总得分为3分，则甲出卡片3,5,7时都燕，∴只有1种 率P21-72 组合：3-2,5-4,7-6,1-8. 21 3 【备考这样练】 若甲的总得分为2分，有以下三类情况： 1,A解析：用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙两人每人抽取 第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3-2,5 1个主题共有6×6=36（个）不同结果，它们等可能，其中甲、 4,1-6,7-8: 乙抽到相同主题的结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)， 第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3-2,7一4,1-6,5-8或 (6,6),共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果 3-2,7-4,1-8,5-6或3-2,7-6,1-4,5-8，共3种 有30个，版P-器-吾 组合： 第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5-2,7一4,1一6,3一8或 2.C解析：从6张卡片中无放回抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1， 5-2,7-4,1-8,3-6或5-4,7-2,1-6,3-8或5-4,7 4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), 2,1-8,3-6或5-2,7-6,1-4,3-8或5-2,7-6,1-8， (3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种情况，其中数字之积为4 3一4或5-4,7-6,1-2,3-8，共7种组合 的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种 擦上，甲的总得分不小于2分共有12种组合，而所有不同的 情况，故概率为是-号 组合共有4X3X2×1=24(种)，.甲的总得分不小于2分的 3号解析：从正方体的8个顶点中任取4个，有n=G 专题二数列 70(个)结果，这4个，点在同一个平面的有m=6十6=12（个）， 故所求概率P=m=12=6 n7035 第一讲 数列的概念与表示 4音解析：从5名同学中随机选3名的方法数为C-10,甲、 【知识清单·精准记忆】 【自主检测】 乙都入选的方法数为C=3,∴甲乙都入选的概率P一品 题组一 1.C解析：经验证可知，它的一个通项公式为a=m十2 考点二 2.AC解析：可以通过画函数的图象一一判所.B有增有减，D是 【高考这样考】 摆动数列，A对应的函数是一次函数，且一次项系数小于0，故 B解析：画出树状图： 1 为递诚数列，C中的数列可以看成指数函数，也是递减数列. 3.A解析：a+1=a,十3>a.,n∈N”,即被数列每一项均小于后 一项，故数列(a。)是递增数列. 4.1一1解析：当n=8时，a4=(一1)°=1.当n=9时，a。= 丁丙丁乙内乙 丁丙丁甲丙甲 (-1)°=-1. 题组二 1.D解析：S=62十1=37，S=52+1=26,故a6=S一S.= 37-26=11. 乙内甲 解析：当n≥2时，a.=S.一S.-1=(元-2) 丙乙丙甲乙甲 2{6 -5