1.4 计数原理与二项式定理(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

艺术生文化课考前100天数学 第四讲 计数原理与二项式定理 知识清单·精准记忆◆◆ 【基础梳理】 项系数之和为a十a十a5十…= f1)-f(-1) 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的 (3)二项式系数的最值问题 区别 分类加法计数原理针对的是“完成事件的方 当n为偶数时，中间一项即第（受+1项的二 法种类不同”问题，其各种方法是相互独立 项式系数C最大；当n为奇数时，中间两项 的，用其中任何一种方法都能完成这件事情； 分步乘法计数原理针对的是“完成事件需分 即第"空，"生项的二项式系数c,C相 几个步骤”问题，其各个步骤中的方法是相互 等且最大 联系的，只有各个步骤都完成才能完成这件 【自主检测】 事情。 题组一排列、组合问题 2.排列数、组合数公式 1.从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客 (1)排列数公式 车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要 n! A-(n-m)! =n(n-1)(n-2)…(n-m+ 从甲地到乙地，共有不同走法的种数 是() 1)(n,m∈N“,且m≤n). A.26 B.60 C.18 D.1080 (2)组合数公式 2.(2023·河南洛阳模拟)一个电路中含有①② G-能-am n! 两个零件，零件①含有A,B两个元件，零件② =n(n-1)(n-2)(n-m+1D(m,m∈N, 含有C,D,E三个元件，每个零件中有一个元 m! 件能正常工作则该零件就能正常工作，则该 且m≤n). 电路能正常工作的线路条数为( 3.二项式定理 (1)通项与二项式系数 (a十b)的通项T+1=Ca-b(k=0,1,2, …,n),其中C叫做二项式系数. (2)二项式系数的性质 ①C%=C%,Ch=C%1,…,C=C1; A.9 B.8 C.6 D.5 ②C8+Ch十C%+…+C=2"; 3.(2023·湖北武汉高三开学考试)火车站有5 ③C十C号十C%十=C0十C%十C%十…=2m-1: 股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停 放3列不同的火车，则不同的停放方法 ④若f(x)=ao十a1x十a2x2十…十ax",则 f(x)展开式中的各项系数和为f(1),奇数项系 有() A.Cg种 B.A种 数之和为a,十a十a4十…=f)十f-D,偶数 C.53种 D.3种 10 专题一基础知识 题组二二项式定理问题 若各项系数和为32，则x2项的系数为 (2024·上海卷)在(x十1)的二项展开式中， 方法清单·把控高考 考点二 排列、组合问题 2.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影，恰好 【高考这样考】 买到了七张连号的电影票，若甲、乙两人必须 (2023·新高考I卷)某学校开设了4门体育 相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法 类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8 的种数为() 门课中选修2门或3门，并且每类选修课至少选 A.240 B.192 C.96 D.48 修1门，则不同的选课方案共有 种（用 3.(2023·全国甲卷理)有5名志愿者参加社区 数字作答). 服务，共服务星期六、星期日两天，每天从中 【方法规律】1.应用两个计数原理的注意点 任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计 天服务的选择种数为( ) 数原理时，一殼先分类再分步，每一步当中又 A.120 B.60 C.30 D.20 可能用到分类加法计数原理 ■考向2简单的组合问题 (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰 1.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不 当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化 同的数，其和为偶数，则不同的取法共 2.解排列、组合问题的常见策路 有( (1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要 A.60种 B.63种 求，再考虑其他元素 C.65种 D.66种 (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要 2.(2023·广东广州模拟)在报名的3名男教师 求，再考虑其他位置 和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要 (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合 求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数 数，再减去不符合要求的排列或组合数. (4)分组分配问题. 为 (结果用数值表示) ①平均分组问题分组数计算时要注意除以组 3.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比 数的阶乘。 赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共 ②不平均分组问题实质上是组合问题， 有 种（用数字作答） 【备考这样练】 ■考向3排列、组合的简单综合 ■考向1简单的排列问题 1.(2023·全国乙卷理)甲、乙两位同学从6种 1.(2022·山东济南二模)由1,2,3,4,5组成没 课外读物中各自选读2种，则这两人选读的 有重复数字的五位数，其中小于50000的偶 课外读物中恰有1种相同的选法共有() 数共有( A.30种 B.60种C.120种D.240种 A.60个 B.48个 2.(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名 C.36个 D.24个 同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两 艺术生文化课考前100天数学 端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( 【备考这样练】 A.12种 B.24种 ■考向1求二项展开式中的指定项或特定项 C.36种 D.48种 系数 3.(2020·新高考Ⅱ卷)3名大学生利用假期到 1.(2023·北京卷)(2x- 的展开式中x的 2个山村参加工作，每名大学生只去1个村， 系数为( ) 每个村至少1人，则不同的分配方案共 A.-80 B.-40 C.40 D.80 有() 2.(2023·福建福州模拟)(2x一y)的展开式 A.4种 B.5种 中，x2y项的系数是( C.6种 D.8种 A.30 B.-30 C.60 D.-60 4.(2024·新高考Ⅱ卷)在如图的4×4方格表 中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个 3.(2023·湖北武汉摸拟)若二项式(x+)的 方格被选中，则共有 种选法，在所有 展开式中二的系数是84，则实数a=( 符合上述要求的选法中，选中方格中的4个 数之和的最大值是 A.2 B.4 C.1 D 4 40 ■考向2二项式系数与各项的系数问题 12 43 12022·山东临沂三模)在二项式(x-)” 34 44 的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式 中各项系数的和为( 考点二 A.-32B.-1 C.1 D.32 二项式定理问题 2.(2022·北京卷)若(2x-1)1=a4x十a3x3+十 【高考这样考】 a2x2十a1x十ao,则ao十a2十a4=( (2024·北京卷)在(x一√：)4的展开式中，x A.40 B.41 C.-40 D.-41 的系数为() A.6 B.-6 C.12 D.-12 3.(2024·全国甲卷理)在（号十x)”的展开式 【方法规律】应用通项公式时的5个注意点 中，各项系数中的最大值为 (1)它表示二项展开式的任意项，只要n与k ■考向3多项展开式中的特定项 确定，该项就随之确定； 1.已知(1十ax)3十(1一x)5的展开式中x3的系 (2)T+1是展开式中的第十1项，而不是第 数为一2，则a等于( ) k项； A.2√3 B.2 C.-2 D.-1 (3)公式中，a,b的指数和为n,且a,b不能随 2.(2020·全国I卷) 便颊倒位置； x+y (x十y)5的展开 (4)对于二项式(a一b)"展开式的通项公式， 式中xy的系数为( ) 要特别注意符号问题； A.5 B.10 C.15 D.20 (5)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是 3.(2024·天津卷)在(3+写)°的展开式中，常 种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的 数项为 经典方法 12b=1. 3.C解析：，四边形ABCD为矩形，建系 3-3a)(号<u<1）小.则c(号，32)=(a3-3a) 知图，A(0,0)M6,3).N(4.4). 元-（号.12）.=a…号+(3-3a)…12 则AM=(6,3).N府=(2.-1). AM.N7=6×2-3×1=9. 5d-6a+是-5(a-是）广-品“当a=号时，市.心承 4.-号解析：a+b叶c=i+6+c+ 得最小值，为一 2(a·b十b·c十e·a)=0-→2(a·b十b·c+e·a)+9=0→a·b+ 【备考这样练】 b:c+ca=号 1,D解析：由图可知x,y均为正，设A市=mA方十mAC,A正 λAi+红AC,:B,D.E,C四点共线，∴m十n=1,A+以=1. 考向2 :Ab+AE=xAB+yAC=(m+)AB+(+)AC. 1.D解析：a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),.1a-b= ×4+(-3)7=5. ym+a++=2+仕+号)+ 2.D解析：由a一b=|a十b两边平方化简可得a·b=0, ∴.(2a+b)=4a+b+4a·b=8,.2a+b=22. (6++）≥号(5+2V是·号)=号且仅 3.B解析：以AB,AD所在直线分别为x,y个 -号即一导y一青时等号成立，别上+手的装小值 y釉建立如图所示的平而直角坐标系， y AB=2,则A(0,0),B(2,0),M2,1), 为 N(1,2),∴.AM=(2.1),BN=(-1,2), 2.C解析：：∠A=90.∴以AB,AC的方向 ..AM+BN=(1.3)...AM+B= 分别为xy抽的正方向，建立平面直角坐 1+3=/10. 标系，如图所示.A(0,0),B(2,0),C(0 4.3解析：方法一：”a+b=|2a-b,(a十b)= 4),D1,2).设AP=AAD(0≤A≤1)，可得 (2a-b)2,即a+2a·b+=4a2-4a·b+b,整理得a P(x,2x),则P5=(2-1,-2x),P心 (-a,4-2),(Pi+P)·AD=(2-2x. 2a·bm0.又1a-b=3,.(a-b)2=3,.a2-2a·b+ =6=3, 4-4)·(a.22)=-10x2十10%=-10（入 ∴.b1=5. 方法二：设c=a-b,则c=3,a+b=e+2b,2a-b=2c+b. 2）+, 由题意可得(e十2b)=(2c+b),则c2+4c·b+4=4c+ “当=号时.（市+心·的最大值为受 4e·b+b,整理得c=,∴.b1=c=3. 第四讲计数原理与二项式定理 考向3 【知识清单·精谁记忆】 1.D解析：，b⊥(b一4a),.b·(b-4a)=0,即b=4a·b.a 【自主检测】 =(0,1),b=(2,x),∴=4+x2,a·b=x,得4十2=4r. 题组 (x-2)=0,解得x=2.故达D 1,A解析：由分类加法计数原理知有5+12十3十6■26（种）不 2.B解析：，a=(3,1),b=(2,2),a+b=(5,3),a-b=(1 同走法 -1).则a+b1=、5+3=,34.la-b1=/+(-1)下 2.C解析：由分步乘法计致原理易得，该电路能正常工作的线 ￥2，(a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2..aosa+b,a-b)= 路条数为2×3=6. 《a十b)·(a-b=2= 3.B解析：火车站有5段盆道，每股盆道只能停放一列火车，现 17 la+bla-bl 、3×217 要停放3列不同的火车，它是排列问题，∴不同的停放方法有 A种. 3C解桥：c=(3十.4).0os(a,c)=6s(b.c.脚9+3+16 5el 题组二 10解析：今x=1,.(1+1)°=32.即2"=32，解得n=5. 资解释5 ∴.(x十1)户的展开式的通项为T4=C·x,令5-r=2,则 考点三 r=3,.T,=(Cx2=10.r,故x2项的系数为10. 【方法清单·把控高考】 【高考这样考】 考点一 寺一是解析：坐标法：以点A为坐标 【高考这样考】 原点建立如图所示的平而直角坐标系， 64解析：(1)若逸修2门，则只能各选1门，共有CC= 16(种). 则A(0.0),B(1,0),C(1,1),D(0.1) (2)选修3门，①若体育类选修课选1门，则艺术类选修课选2 (号1小∴成-(-号1)m=(-1 门，共有CC=24(种)： 若体育类选修课选2门，则艺术类选修课逃1门，共有 o),成-(0.1).成=A耐+C,(（-31)=(-1, (C=24(种). 棕上，不同的途课方案共有16十24十24=64（种） 0)+(0.1D.入=号=1A+以=寺由B1,0 【备考这样练】 E(号1)可得直线BE的方程为y=-3(x-1),设F(@, 考向1 1C解析：先排个位，然后排万位，再排其他位置..由1,2,3. 4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共 、)的展开式中含的项为C·C(-G)=6,(x 有2×3×A=36(个). 正)的展开式中x2的系数为6， 2.B解析：丙在正中间(4号位)，甲、乙两人只能坐12,23或 【备考这样练】 56,67号位，有4种情况，考虑到甲、乙的顺序有A种情况，刻 考向1 下的4个位置其余4人坐有A种情况，故不同的坐法的种数 为4AA=192. 1,D解析：(2x-子）的展开式的通项为T=C(2x 3.B解析：不妨记5名志愿者分别为a,b.,d,世，氧设d连续参 加了两天服务，再从剩余的4人中抽取2人各参加星期六与 (-子）广=(-10r2Cr,◆5-2x=1.得r=2. 星期日的服务，共有A=12(种)方法，同理，b,C,d,e连续参 “(2-）广的展开式中x的系教为(-1)2C=80, 加了两天服务，也各有12种方法，，恰有1人连续参加两天 服务的选择种数为5×12=60. 2C解析：由题意T,+1=C(2x)(-y),当r=4时，xy项 的系数是15×4=60. 考向2 1.D解析：9个整数中共有4个不同的偶数和5个不同的奇 3B解析：二项式（十兰）的展开式的第十1项为T 数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或金为偶数，或2个奇 数和2个偶数，故不同的取法有C十C十((C=66(种). C(二）=Cax-.又晨开式中子的系数是8，即7- 2.120解析：①1男4女，CC=45(种)：②2男3女，CC 2r=-3.∴.r=5..Ca=84,解得a=. 60(种)：③3男2女，CC=15(种)..一共有45十60十15 考向2 120(种). 1.B解析：'二项式系数的和是32，则2=32..H=5.令x 3.16解析：从6位学生中任意选3人有C=20(种)选法，没有 1,则展开式中各项系数的和为（一1）=一1， 女生入选有C一4（种）选法，故至少有1位女生入选的不同选 2.B解析：令x=1,则a十a十十a+出=1，令x=一1，则 法共有201■16（种）. 考向3 a-a+-a十a=(-3=81,故m+w+4=1t81=41. 2 1,C解析：首先确定相同的读物，共有C种，然后两人各自的 3.5 另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排 解析：（号十）的展开式的道项公式为T1=C 列，共有A种，根据分步乘法计数原理，可得CA=120(种). (号)x,则各项的系盘分别为C(3)”.C(日）'，C· 2.B解析：，”丙丁要在一起，先把丙丁捆铆，看作一个元素，违 同乙、戊看成三个元素排列，有3！种排列方式：为使甲不在两 (3)广'，c(3).c(3)）.c(号)c(3),G· 端，必须且只雪甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位 置插入，有2种插空方式：注意到丙丁两人的顺序可交换，有 (3),(号)广，C(号)）.C()观察发现二项式系 2种捧列方式.，∴.安裤这5名问学共有3！×2×2=24（种）不 数先增大后减小，且前后对称，指数式递增，分别计算C。· 同的排列方式 (3).c(3),c(3)'.c().c() 3.C解析：可先将3名大学生分成2组，一组2人，一红1人， 共有C=3(种)分法，再将这两组分配到2个山村，有A= C(号)），比较可得，C心(3)=5最大， 2(种)分法，故共有3×2=6（种）分法. 考向3 1.24112解析：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同 的选法：第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共 L.B解析：(1十a.x),(1一x)户的展开式中的系数分别为 a2,C(一1)，由题意可得a2-10=-2,即d2=8,解得a=2. 有3种不同的逸法：第三步，从第三行选一个与第一，二个数 均不同列的数，共有2种不同的选法：第四步，从第四行遮一 2C解桥：方法-：(+兰)u+)y-(c+兰)十 个与第一，二、三个数均不同列的数，只有1种选法。 5ry+10.ry+10ry+5.cy+y),xy的系数为10+ 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2X1一24 5=15. 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数 字分别为1.2.3,4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数 方法二：当r十兰中取r时，xy的系教为C,当x十兰中取 字的最大值分别为1,3.3.5，故从第一行选21，从第二行选 33,从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最 兰时y的系数为C,“y的系数为Cg+C=10+ 大，故选中方格中的4个数之和的最大值为21十33十43十 5=15. 15m112. 考点二 320解析：（停+号）的展开式的道项为T1=C(停)尸 【高考这样考】 (写）广=C·3·r,令6k-18=0,则k=3,常教项 A解析：方法一（公式法）：(x一)的展开式的通项为 为T,=C·3·x”=20. T1=Cxr(-反)y=(-1)rCx+(r=0,1.2.3,4).由 第五讲古典概型的概率计算 4-5=3,得r=2六(x-厅)小的展开式中2的系数为 【知识清单·精准记忆】 (-1)2C=6. 【自主检测】 方法二（组合数法）：(x一r)'的展开式中含工的项是由 1,D解析：一枚硬币连海2次可能出现（正，正），（反，反），（正， 反)，（反，正）4种情况，只有一次出现正面的情况有2种，故 (x一F)(x一√五)(x一x)(x一红)中任意取2个括号内的x 与制余的2个括号内的（一）相乘得到的，（题眼）.(x一