1.3 平面向量(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

专题一基础知识 第三讲 平面向量 ◆知识清单·精准记忆◆ 【基础梳理】 |AB1=√(x2-x1)+(-1. 1.向量的线性运算 (3)若a=(,h),b=(x2,2),0为a与b的夹 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运 角，则os0= a·b x2十边之 算.向量线性运算的结果仍是向量，对于任意 ab√+√+ 向量a,b,c,以及任意实数A,山，2，恒有 (4)a·b≤|aIbl. λ(a士b)=a士b, 【自主检测】 注意：谨记平面向量线性运算中的两个注 题组一 平行向量的线性运算 意点 1.如图，在四边形ABCD中，设AB=a,AD=b, (1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面 BC=c,则DC=() 向量基本定理选好基底，变形要有方向，不能 0 盲目转化 (2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相 接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后 一个向量终，点所在的向量；在用三角形减法 A.a-b+c B.b-(a+c) 法则时要保证“同起，点”，结果向量的方向是 C.a+b+c D.b-a+c 指向被减向量 2.如图，在□ABCD中，E是BC的中点，若AB=a, 2.平面向量的两个充要条件 AD=b,则D=()》 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2, 2),则 (1)a∥b→a=b(b≠0)台x1y2-x2yh=0. (2)a⊥b台a·b=0台x1x2+yhy2=0. A.za-b 3.平面向量的数量积的两种运算形式 (1)数量积的定义：a·b=a|bcos0(其中0 C.a+ib D.a-2b 为向量a,b的夹角)。 3.设向量e1,e2是平面内的一组基底，若向量a= (2)坐标运算：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 一3e一e2与b=e1一e2共线，则=( ) a·b=x1xg+y1y2. A号 B-吉 4.平面向量的四个性质 C.-3 D.3 (1)若a=(x,y),则1a=√a·a=√x2+y. 4.(2024·上海卷)已知k∈R,向量a=(2,5), (2)若A(x1,y),B(x2y2),则 b=(6,k),且a∥b,则k的值为 一7 艺术生文化课考前100天数学 题组二平面向量的数量积 3.已知a=1,b=2,a与b的夹角为5，则b 1.若向量a,b满足|a=|b=1,a与b的夹角 为60°，则a·a十a·b等于( 在a方向上的投影向量为 A司 B c1+ 4.(2024·新高考I卷)已知向量a,b满足|a=1, D.2 a+2b=2,且(b-2a)⊥b,则|b=() 2.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos(a,b) A.2 R号 D.1 2 ◆】 方法清单·把控高考 考点一 平面向量的线性运算 ■考向2向量共线的条件及应用 【高考这样考】 1.已知向量a,b不共线，若(a十3b)∥(a一b), (2022·新高考I卷)在△ABC中，点D在边 则实数=( AB上，BD=2DA.记CA=m,CD=n,则 A. B- D. C第=() 2.已知AB=a十5b,BC=-2a+8b,Cd=3(a A.3m-2n B.-2m十3n b),则( C.3m++2n D.2m++3n A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 【方法规律】平面向量的线性运算技巧 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组 3.已知P是△ABC所在平面内一点，若CB= 基底，同时注意向量共线定理的灵活运用 APA+PB,其中λ∈R,则点P一定在() (2)运算过程中要重视数形结合，结合图形分 A.△ABC的内部 B.AC边所在直线上 析向量间的关系 C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上 【备考这样练】 ■考向1平面向量的线性运算 考点三 平面向量的数量积 1.(2020·新高考Ⅱ卷)若D为△ABC的边AB 【高考这样考】 的中点，则C第=( ) 即(2023·全国乙卷文)正方形ABCD的边长是 A.2CD-CA B.2CA-CD 2,E是AB的中点，则EC.ED=( ) C.2CD+CA D.2CA+CD A.√5 B.3 C.2w5 D.5 2.(2023·山东淄博模拟)在平行四边形ABCD 【方法规律】平面向量数量积问题的解题方法 中，D-3E武，若AE交BD于点M,则( (1)借“底”数字化：要先选取一组合适的基底 A.AM=}AB+号A市 (一般用已知的向量表示未知的向量)，建立 向量之间的关系，利用向量间的关系构造关 B.AM=马AB+号A市 于未知向量的方程进行求解. C.Ai=号A+3A市 (2)借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐 标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示 D.AM=号Ai+Ad 出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使 问题得以解决 专题一基础知识 【备考这样练】 D 一考向1平面向量数量积运算 A品 c 1.(2023·北京卷)已知向量a,b满足a十b=(2, 3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b= 3),a-b=(-2,1),则1a2-b12=( (1,0),c=a+tb,若(a,c〉=〈b,c),则 A.-2B.-1 C.0 D.1 t=( ) 2.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a=1, A.-6 B.-5 C.5 D.6 bl=√3，|a-2b|=3,则a·b=( 考点三 平面向量的综合问题 A.-2B.-1C.1 D.2 【高考这样考】 3.已知矩形ABCD中，AB1=6,|AD1=4,若 (2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD 点M,N满足BM=3M心，DN=2N心，则 中，E为线段CD的三等分点，CE=DE, AM·NM等于( BE=ABA+uBC,则入十u= :F为 A.20 B.15 C.9 D.6 线段BE上的动点，G为AF的中点，则AF· 4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0, DG的最小值为 a=1,|b|=|c=2,则a·b+b·c+c· 【方法规律】平面向量综合问题的解题方法 a= (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系 ■考向2平面向量的模 中，则相关点与向量就可以用坐标表示出来， 1.(2022·全国乙卷)已知向量a=(2,1),b= 这样就能进行相应的代数运算，从而使问题 (-2,4),则|a-b=() 得到解决 A.2 B.3 C.4 D.5 (2)基向量法：适当选取一组基底，建立向量 2.(2023·河北秦皇岛模拟)已知向量a,b满足 之间的关系，利用向量间的关系构造关于未 |a=1,|b1=2,且a-b=|a+b|,则2a+ 知量的方程或表达式进行求解。 b=() 【备考这样练】 A.4 B.√2 C.√5 D.22 1.如图，在△ABC中，点D,E是线段BC上两 3.(2023·山东临沂月考)在正方形ABCD中， 个动点，且AD+AE=xAB+yAC,则1+4 M,N分别是BC,CD的中点，若AB=2,则 AM+BNI=( 的最小值为( A.2 B.√/10 C.4 D.25 4.(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足a-b= √3，la+b=2a-b,则1b= ■考向3平面向量的夹角与垂直问题 A B.2 c D号 1.(2024·新高考I卷)已知向量a=(0,1),b 2.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2,AC=4, (2,x),若b⊥(b-4a),则x=() 若点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则 A.-2 B.-1 (P克+P心)·A的最大值为( ) C.1 D.2 2.(2023·全国甲卷文)已知向量a=(3,1),b= A B.8 c D.5 (2,2),则cosa+b,a-b》=( ) -9“复数：一牛的实饰与盒饰相学， 4.B解析：由(b一2a)⊥b,得(b一2a)·b=一2a·b=0.,.b =2a·b.将|a十2b=2的两边同时平方，得a十4a·b十4b .2a十1=a-2,解得a=-3. 3D解折：=子2品可=1十i,的虚部为1， 2(1+i) =4,即1+26+46=1十6b1=4,解得b1=2,∴1 |x=√2，元=1一i,2=2i为纯虚数 昙戴适日 考点二 【方法清单·把控高考】 【高考这样考】 考点一 A解析：：(1十3D(3-i)=3十81-3驴=6+8i,.所求复数 【高考这样考】 对应的点为(6,8)，位于第一象限 B解析：：点D在边AB上，BD=2DA,Bd=2DA, 【备考这样练】 即CD-Cj=2(Ci-Cd),∴.C市=3Cd-2C才=3m-2m= 1.B解折：由题得1气引_3D-当-3-1 一2m十3n. 【备考这样练】 ∴=-3十i,∴复数元在复平面内对应的点为（一3,1）， 考向1 复数在复平面内对应的点在第二象限 2.D解析：：z√2i,∴2=一√2i,x·空=2故选D. 1.A解析：D为△ABC的边AB的中点，.C市=号(C耐+ 3.C解析：设=x十i(x,y),,x一i=1, C),∴Cj-2C市-Ci x+(y10i=1,2+(y-1)2=1. 2.B解析：：DE=3武，.E为段DC 4.D解析：(z-2)i=1+i, 上靠近，点C的四等分点，如图， =1中+2=3-i别z3,-10. 显然△ABM△EDM,中能-是 ∴Oi1=√3+(-1)=√0. 子∴=迹=号+成=身 考点三 【高考这样考】 (市+)-号A恋+号动 C解析：方法一（解方程法）“”。片=1十i2=(红-1D1十 考向2 D,即x=g-1+i-i,即i=1+ix=1+_1十(-D 1.A解析：：(a十3b)∥（如一b),存在实数A,使得如一b= i(-1) a十30-k3A=-1,解得发=一子 1一i故选C. 2.A 【备考这样练】 解析：Bd-BC+CD-(-2a十8b)+3(a-b)=a十5b.又 A市=a+十5b,∴，AB=Bd,剩A与Bd共线.又A市与Bd有公共 1.A解析：x=5十i,.=5-i,∴.i(元十)=10i故迭A 2.D解析：(1+i)2+i(1-)=1+2i-1+i+1=1+3i 点B,A,B,D三点共线 3.D解析：：(1+2D2·x=5, 3B解析：由市-a才+P,得C$-Pi-Ap,即C一 AP以，则C,Pi为共线向量.又C,PA有公共点P,∴C,P,A a叶20-开9而=-号-普 5 5(-3-4i) 三点共线，即点P在克线AC上 4.7-5i解析：(5+i0(W5-2i)=(5)2-2/5i+5i-2 考点二 【高考这样考】 7-/51 B解析：方法一：以{AB,AD)为基底向量，可知|AB1 第三讲平面向量 【知识清单·精准记忆】 A=2,A店·AD=0,则迹-EB+武-号A违+AD,ED 【自主检测】 +=一恋+迹，庇·动-（侵+D): 题组一 1.A解析：D心-Di+B+B武-A范-AD+BC-a-b+c (-迹+市)-}恋+迹=-1+4-3。 2.D解折：D成-式+C正-恋+(-a市)=恋-2市 方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E(1,0),C(2,2),D(0,2), a-b. 可得EC=(1,2),ED=(-1,2), 3.B解析：a与b共线，.存在uER,使得a=b,即一3e1 .E式.Ed=-1+4=3. =6一：.故4=-3，一w=-1,解得=-寻 方法三：由题意可得ED=EC一5，CD=2 在△CDE中，由余弦定理可得 4.15解析：a∥b,.2k=5×6,解得k=15. 题组二 cOS∠DEC-ED+EC-CD 2ED·EC 1.B解折：a·a+a…b=a+a1bcos60=1+-是 ∴Et.ED-ECIEDlco∠DC=5x5×号-3. 2骆 解析：a=(2,2),b=(-8,6),.a·b=2×(-8)+ 【备考这样练】 考向1 2×6=-4,la=√2+2=22,1b1=√(-8)+6=10. 1.B解析：向量a,b满足a十b=(2,3),a一b=(一2,1)， ,.a3-b1=(a十b)·(a-b)=2×(-2)+3×1■-1. 2.C解析：a-2b1=1a|8-4a·b+4b|2,a=1,1b 3.a解析：b在a方向上的投影向量为blms子日-2X号a=a √3，a一2b=3,.9=1-4a·b+4×3=13-4a·b,∴.a· b=1. 3.C解析：，'四边形ABCD为矩形，建系 3-3a)(导<a<则c(号32)…市-a,3-3a, 如图，A(0,0),M6,3),N(4,4) D心-(g120)∴.t=a…号+3-3a).a= 则AM=(6,3),NM■(2，-1) ∴AM.NM=6×2-3X1=9. 5d-6a+是-5(a-号)广-是当a=号时，亦.D心取 4.-号解析：a+b叶e=d心+书+t+ 符最小值，为一8 2(a·b+b·c+c·a)=0→2(a·b十b·c十e·a)+9=0-→ab+ 【备考这样练】 6:cte…a=-是 1.D解析：由图可知x,y均为正，设A市=mA+n心，正 AA范+AC,:B,D,E,C四点共线，m十n=1,A十4=1 考向2 :AD+AE=xAB+yAC=(m十)AB+(n+)AC,别x+ 1.D解析：a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),.|a-b= √/4+(-3)3=5. ym+a+A+=2六+号号(+号)+》 2.D解析：由a一b=a十bl两边平方化随可得a·b=0, ∴.(2a+b)=4a2+b+4a·b=8,.|2a+b=22, 2(5+￥+号)≥(5+2√2·号)=是：当且枚当 3.B解析：以AB,AD所在直线分别为x, 兰-号，即红一号y一专时等号成立则上+手的最小值 y轴建立如图所示的平面直角坐标系， x y AB=2,则A(0,0),B(2,0),M(2,1), 为是 N1,2),∴.AM=(2,1),BN=(-1,2), 2.C解析：：∠A=90°，以AB,AC的方向 AM+B=(1,3),∴AM+B1 分别为x,y抽的正方向，建立平面直角坐 √/+3=√10. 标系，如图所示。.A(0,0),B(2,0),C(0, 4.W3解析：方法一：|a+b|=|2a-b|,(a十b)2= 4),D(1,2),设AP=1Ab(0≤≤1)，可得 (2a-b)2,即a2+2a·b+=4a2-4a·b+,整理得c P(a,2),则Pj=(2-1,-2A),P心 2a·b=0.又1a-b=3,(a-b2=3,∴d2-2a·b+ (-1,4-2),(Pi+P心)·AP=(2-2, 0=6=3, 4-4)·(a,2)=-102+10以=-10(d .|b=3 方法二：设c=a-b,则c=√3，a十b=c十2b,2a-b=2c+b. 》广+ 由题意可得(c十2b)=(2c+b)2,则c十4e·b+4=4c+ “当入=合时，(P市+P心·市的最大值为号 4c·b+b,整理得c=,∴.|b=|c=√3. 第四讲计数原理与二项式定理 考向3 【知识清单·精谁记忆】 1.D解析：b⊥(b-4a),.b·(b一4a)=0,即b=4a·b.a 【自主检测】 =(0,1),b=(2,x),=4+,a·b=x,得4+x=4x, 题组一 (x一2)2=0，解得x=2.故选D. 1.A解析：由分类加法计数原理知有5十12+3+6=26（种）不 2.B解析：a=(3,1),b=(2,2),.a+b=(5,3),a-b=(1, 同走法 -1),则|a+b1=√⑤+3=√34，la-b1=√/+(-1)= 2.C解析：由分步乘法计数原理易得，孩电路能正常工作的线 √2，(a十b)·(a-b)=5X1+3X(-1)=2,∴.cmsa十b,a-b》 路条数为2X3=6. 3.B解析：火车站有5股盆道，每股盆道只能停放一列火车，现 (a+b)·(a=b)_217 la+bl la-b34x/2-17 要停放3列不同的火车，它是排列问题，，不同的停放方法有 A种 3.C解折：c=(3+,4),cos(a,0)=os(b.c,即9+3+16 5c 题组二 10解析：令x=1,.(1十1)"=32，即2"=32，解得n=5, 告解释=5 (x十1)卢的展开式的通项为T+1=CG·x,令5一r=2,则 考点三 r=3,T=Cx2=102,故2项的系数为10. 【方法清单·把控高考】 【高考这样考】 考点一 专一员解析：坐标法：以点A为坐标 【高考这样考】 原点建立如图所示的平面直角坐标系， 64解析：(1)若选修2门，则只能各选1门，共有CC■ 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), 16(种). (2)选修3门，①若体有类选修课选1门，则艺术类选修课选2 (号，1成-(-号1)，=(-1 门，共有CC=24(种)： ②若体育类选修课选2门，则艺术类选修课选1门，共有 0),BC=(0,1),Bd=aB+rBC,（-31）=a(-1, CC=24(种). 综上，不同的选课方案共有16十24十24=64（种）. 0)+μ(0,1)，A=3,=1,心A+=分.由B(1,0), 【备考这样练】 E(号，1)可得直线BE的方程为y=-3(x-1D,设F(a, 考向1 1.C解析：先排个位，然后排万位，再排其他位置，由1,2,3，