1.2 复数(知识必备)-2025年高考数学艺术生文化课考前100天

艺术生文化课考前100天数学 第二讲复数 知识清单·精准记忆◆◆ 【基础梳理】 2.复数运算的几个重要结论 一、复数的概念 (1)a十212+|a一212=2(a1+12). 1.复数的分类 (2)E·x=|x=| 实数(b=0), (3)若x为虚数，则：2≠zx2 复数=a十i 纯虚数(a=0), (4)(1±i)2=±2i. (a,b∈R) 虚数(b≠0)》 非纯虚数(a≠0). 2.复数的有关概念 (6)n=1,w+1=i,ia+2=-1,i#+3=-i(n∈N0. (1)复数相等：a十bi=c十di=a=c且b=d(a, 【自主检测】 b,c,d∈R) 题组一 复数的概念 (2)共轭复数：a十bi与c十di共轭台a=c且 1.已知a∈R,若a一1十(a一2)i是实数，则a= b=-d(a,b,c,d∈R). (3)复数的模：向量O2的模叫做复数x=a十i A.1 B.-1 C.2 D.-2 的模，记作||或|a+i,即之|=|a+bi= 2.(2023·山东青岛模拟)若复数x满足x=1十 r=va2+(r≥>0，a,b∈R). i,则g2一2：的共轭复数的虚部为() 3.复数的几何意义 A.-2 B.i C.0 D.2 复数x=a十bi与复平面内的点Z(a,b)及平面 题组二复数的几何意义 向量O2=(a,b)(a,b∈R)是一一对应的 1.复数之=一1一2i在复平面内对应的点位于 关系 ( 二、复数的四则运算 A.第一象限 B.第二象限 1.复数的四则运算法则 C.第三象限 D.第四象限 设=a十bi,2=c十di(a,b,c,d∈R),则 2.(2024·新高考Ⅱ卷)已知复数之=一1一i,则 (1)1+2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+ 1x=( ) (b+d)i; A.0 B.1 C.√2 D.2 (2)x1-&2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+ 题组三 复数的四则运算法则 (b-d)i; 1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1一2i)=( (3)12=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+ A.-2+4i B.-2-4i bc)i; C.6+2i D.6-21 (4)atbi_(a+bi)(c-di) c+di (c+di)(c-di) 2.(2024·北京卷)若复数之满足兰=-1-i.则 (ac+bd)(bc-ad)i(cdi). c2+d2 x=(） A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i 专题一基础知识 ◆方法清单·把控高考◆◆ 考点一 复数的概念 对应的点位于() 【高考这样考】 A.第一象限 审(2024·上海卷)已知虚数，其实部为1，且z十 B.第二象限 2=m(m∈R),则实数m的值为 C第三象限 D.第四象限 【方法规律】解决复数概念问题的方法及注意 【方法规律】复数几何意义问题的解题策路 事项 (1)复数、复平面上的点Z及向量OZ相互联 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以 系，即x=a十bi(a,b∈R)白Z(a,b)O2. 转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问 题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚 (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应 部满足的方程（不等式）组即可. 的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系 (2)解题时一定要先看复数是否为a十i(a, 在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问 b∈R)的形式，以确定实部和虚部. 题的解决更加直观. 【备考这样练】 【备考这样练】 1.(2023·全国甲卷)若(a+i)(1一ai)=2,a∈ 1.(2023·江苏南京模拟)已知复数心满足i这 R,则a=( 1一3，则复数在复平面内对应的点位 A.-1 B.0 于() C.1 D.2 A.第一象限 2(202·山东泻博一模)若复数=的实 B.第二象限 部与虚部相等，则实数a的值为( C.第三象限 A.-3 B.-1 D.第四象限 C.1 D.3 2.(2024·全国甲卷文)设复数x=w2i,则x· 3.(2023·湖南雅礼中学模拟)已知复数≈= =() 吕则下列结论正确的是( A.-2 B.2 A.x的虚部为i C.-2 D.2 B.|z=2 3.设复数x满足|x一i=1,在复平面内对应 C.x的共轭复数：=一1十i 的点为(x,y),则( D.2为纯虚数 A.(x+1)2+y2=1 考点二 复数的几何意义 B.(x-1)2+y2=1 【高考这样考】 C.x2+(y-1)2=1 (2023·新高考卷)在复平面内，(1+3i)(3一i) D.x2+(y+1)2=1 -5 艺术生文化课考前100天数学 4.(2023·江苏苏州中学模拟)在复平面内，满 【备考这样练】 足(z一2)i=1十i的复数x对应的点为Z,则 1.(2024·全国甲卷理)若复数=5十i,则i(十 O21=() x)=( A.2 B.5 A.10i B.2i C.2w2 D.v10 C.10 D.2 考点三 复数的四则运算 2.(2023·广东清远模拟)复数(1十i)十i(1一i)= 【高考这样考】 A.3-i B.3+i (2024·新高考1卷)若复数：满足。二 C.-1+3i D.1+3i 1+i,则=() 3.(2023·广东高三校联)已知复数之满足(1+ A.-1-i B.-1+i 2i)2·g=5,则=() C.1-i D.1+i A号寺 B+ 【方法规律】复数的加法、减法、乘法运算可以 类比多项式运算，除法关镀是分子、分母同乘 C. D.-- 分母的共轭复数，注意要把ⅰ的暴写成最简 4.(2024·天津卷)已知i是虚数单位，则复数 形式 (w5+i)·(W5-2i)= 6答案及解析 “主书”答案及解析 专题一 基础考点 【备考这样练】 考向1 第一讲集合与常用逻辑用语 1A解析：由x<1且y<1,可得x十y<2,当x=2,y=-1 【知识清单·精准记忆】 时，满足x+y2,但不满足x<1且y<1,划“x<1且y<1” 【自主检测】 是“x十y<2”的充分不必要条件. 题组一 2.C解析：a⊥b台x2十x十2x=0台x=0或x=一3，∴.x=一3 1.B解析：A=(1,2,3,4},B=(2,3,4,5},.A∩B={2,3, 是a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误，C 4}.故选B 正确.a∥b=2x十2=2曰x2-2x-2=0曰x=1士3，故B,D 2.C解析：由集合的并运算，得MUN={x|一3<x<4}. 错误， 3.C解析：图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集，即 3.C解析：由A二C,得CC二CcA,当B三CC时，B三CuA, 图中的阴影部分可以用A∩(CxB)来表示. 可得A∩B=必；“A∩B=☑”能推出“存在集合C,使得A二C 4.5 且BGC,C" 题组二 4B解析：由(a十b)·(a-b)=0,得d-=0,即a2-1b 1.C解析：由函数y=x2单调递增可知，若a=,则a=b:由 =0,.a=|b,当a=(1,1),b=(-1,1)时，la=|b1,但a 函数y=3单调递增可知，若3=3，则a=五.故“a2=”是 ≠b且a≠一b,故充分性不成立：当a=一b或a=b时，(a十b)· “3=3”的充要条件.故选C (a一b)=0,故必要性成立..“(a十b)·(a一b)=0”是“a 2.B解析：由《xx>5}(xx≤一1或x≥3}，可知p是9的 一b或a=b'的必要不充分条件. 必要不充分条件. 考向2 3.A解析：由f(x)=1知，f(x)≤1且存在实数五∈R,使 1.一1解析：由题意，得p:x≥一2,9：xa一1.p是q的充要 得f(x)=1:而f(x)≤1恒成立，不能得到f(x)=1, 条件，.a-1=一2，即a=一1. 【方法清单·把控高考】 2.3解析：由-x一6>0，得x<一2或x>3.:“2 考点一 x一6>0”是“x>a”的必要不充分条件，.(x|x>a}星 【高考这样考】 {xx<一2或x>3},a≥3，故a的最小值为3. C解析：方法一：N={x2-x-6≥0}=(-∞，-2]U 第二讲复数 [3,+∞)，而M={-2,-1,0,1,21,∴.MnN={-2. 方法二：：M=(-2,-1,0,1,2},将-2，-1,0,1,2代入不等 【知识清单·精准记忆】 式x2-x一6≥>0，只有-2使不等式成立，∴MnN={-2. 【自主检测】 题组一 【备考这样练】 1.C解析：，a一1十(a-2)i是实数，∴.a-2=0,.a=2. 考向1 2.C解析：，"x=1十i,.2一2x=(1十i)2一2(1十i)=2i 1.C解析：，A=B,.3a-2=a,解得a=1或a=2.当a=1 2一2i=一2，.所求共扼复数为一2，其虚部为0. 时，集合A=《0,1,1}不满足元素的互异性，故舍去，当a=2 题组二 时，集合A={0,1,4),集合B=1,0,4},符合题意.a=2. 1C解析：x■一1一2i在复平面内对应的点为（一1，一2），它位 2.B解析：当a一2=0时，解得a=2,此时A={0,一2}，B 于第三象限 {1,0,2》,不将合题意：当2a一2=0时，解得a=1,此时A= {0,一1}，B=1,-1,0),符合题意.综上，a=1. 2.C解析：lx=一1一i=/(一1)+（一1）■√2.故选C. 考向2 题组三 1.A解析：由题意可得MUN=(xx<2,则Cu(MLUN)={x 1.D解析：(2+2i)(1一2D=2+4-4i+2i=6-21 x2},故A正确：CM={x|x≥1}，则NU(CM)={x|x> 2.C解析：由题意得，=i(一1一D=1一i -1),故B错误：MnN={x-1<x<1),则Cu(MnN)= 【方法清单·把控高考】 {xx≤-1或x≥1}，故C错误：CuN={xx≤-1或x≥2}， 考点一 【高考这样考】 别MLU(CuN)={xx<1或x≥2}，故D错误. 2.D解析：由题意可得B={1,4,9,16,25,81},A∩B={1,4, 2解析：设z=1十bi,beR且b≠0， 9),则CAa(A∩B)={2,3,5.故选D. 则+是-1++子6=()+()=m 3.A解析：由U=AUB=(0,2],A∩(CuB)=(1,2],得B 十3 (0,1]. 1+b =m, 考点二 m∈R, 解得m=2. 【高考这样考】 8一b=0 1+ B解析：当sira十irB-1时，斜a=受，0，但血a十cos时 【备考这样练】 1.C解析：，(a+i)(1-ai)=a-ai+i+a=2a+(1-a)i=2. 0,即sira+sinp=1推不出sina十cosB=0:当sina十cosg 12a=2, 0时，5ima十sinB=(-cos B)2十sinB=l,即sina十cos=0 11-a2=0, 解得a=1. 能推出sina十simB=1.综上，“sina十sinB=1"是“sina十 cos日=0”的必要不充分条件， 2.A解析：x-2生-2士Da--2a+1+(a-2 ati (a+i)(a-i) a2+1 “复数：一牛的实饰与盒饰相学， 4.B解析：由(b一2a)⊥b,得(b一2a)·b=一2a·b=0.,.b =2a·b.将|a十2b=2的两边同时平方，得a十4a·b十4b .2a十1=a-2,解得a=-3. 3D解折：=子2品可=1十i,的虚部为1， 2(1+i) =4,即1+26+46=1十6b1=4,解得b1=2,∴1 |x=√2，元=1一i,2=2i为纯虚数 昙戴适日 考点二 【方法清单·把控高考】 【高考这样考】 考点一 A解析：：(1十3D(3-i)=3十81-3驴=6+8i,.所求复数 【高考这样考】 对应的点为(6,8)，位于第一象限 B解析：：点D在边AB上，BD=2DA,Bd=2DA, 【备考这样练】 即CD-Cj=2(Ci-Cd),∴.C市=3Cd-2C才=3m-2m= 1.B解折：由题得1气引_3D-当-3-1 一2m十3n. 【备考这样练】 ∴=-3十i,∴复数元在复平面内对应的点为（一3,1）， 考向1 复数在复平面内对应的点在第二象限 2.D解析：：z√2i,∴2=一√2i,x·空=2故选D. 1.A解析：D为△ABC的边AB的中点，.C市=号(C耐+ 3.C解析：设=x十i(x,y),,x一i=1, C),∴Cj-2C市-Ci x+(y10i=1,2+(y-1)2=1. 2.B解析：：DE=3武，.E为段DC 4.D解析：(z-2)i=1+i, 上靠近，点C的四等分点，如图， =1中+2=3-i别z3,-10. 显然△ABM△EDM,中能-是 ∴Oi1=√3+(-1)=√0. 子∴=迹=号+成=身 考点三 【高考这样考】 (市+)-号A恋+号动 C解析：方法一（解方程法）“”。片=1十i2=(红-1D1十 考向2 D,即x=g-1+i-i,即i=1+ix=1+_1十(-D 1.A解析：：(a十3b)∥（如一b),存在实数A,使得如一b= i(-1) a十30-k3A=-1,解得发=一子 1一i故选C. 2.A 【备考这样练】 解析：Bd-BC+CD-(-2a十8b)+3(a-b)=a十5b.又 A市=a+十5b,∴，AB=Bd,剩A与Bd共线.又A市与Bd有公共 1.A解析：x=5十i,.=5-i,∴.i(元十)=10i故迭A 2.D解析：(1+i)2+i(1-)=1+2i-1+i+1=1+3i 点B,A,B,D三点共线 3.D解析：：(1+2D2·x=5, 3B解析：由市-a才+P,得C$-Pi-Ap,即C一 AP以，则C,Pi为共线向量.又C,PA有公共点P,∴C,P,A a叶20-开9而=-号-普 5 5(-3-4i) 三点共线，即点P在克线AC上 4.7-5i解析：(5+i0(W5-2i)=(5)2-2/5i+5i-2 考点二 【高考这样考】 7-/51 B解析：方法一：以{AB,AD)为基底向量，可知|AB1 第三讲平面向量 【知识清单·精准记忆】 A=2,A店·AD=0,则迹-EB+武-号A违+AD,ED 【自主检测】 +=一恋+迹，庇·动-（侵+D): 题组一 1.A解析：D心-Di+B+B武-A范-AD+BC-a-b+c (-迹+市)-}恋+迹=-1+4-3。 2.D解折：D成-式+C正-恋+(-a市)=恋-2市 方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E(1,0),C(2,2),D(0,2), a-b. 可得EC=(1,2),ED=(-1,2), 3.B解析：a与b共线，.存在uER,使得a=b,即一3e1 .E式.Ed=-1+4=3. =6一：.故4=-3，一w=-1,解得=-寻 方法三：由题意可得ED=EC一5，CD=2 在△CDE中，由余弦定理可得 4.15解析：a∥b,.2k=5×6,解得k=15. 题组二 cOS∠DEC-ED+EC-CD 2ED·EC 1.B解折：a·a+a…b=a+a1bcos60=1+-是 ∴Et.ED-ECIEDlco∠DC=5x5×号-3. 2骆 解析：a=(2,2),b=(-8,6),.a·b=2×(-8)+ 【备考这样练】 考向1 2×6=-4,la=√2+2=22,1b1=√(-8)+6=10. 1.B解析：向量a,b满足a十b=(2,3),a一b=(一2,1)， ,.a3-b1=(a十b)·(a-b)=2×(-2)+3×1■-1. 2.C解析：a-2b1=1a|8-4a·b+4b|2,a=1,1b 3.a解析：b在a方向上的投影向量为blms子日-2X号a=a √3，a一2b=3,.9=1-4a·b+4×3=13-4a·b,∴.a·