2025年安徽省中考数学一轮复习梳理基础知识点 课件 第七章　图形变换 第三节 图形的平移、对称、旋转与位似

2025年安徽省中考数学一轮复习 梳理基础知识点 第七章　图形变换 第三节　图形的平移、对称、旋转与位似 1 教材知识精讲 3 典例串讲训练 2 中考真题在线 目录 1 教材知识精讲 点击回到目录 知识点 1 平移 定义 在平面内，把一个图形沿　 　 移动一定的　 　，会得到另一个图形，这种图形的移动叫做平移 图形 某个方向 距离 点击回到目录 要素 　 　，_________　 性质 ①平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的　 　，平移前后的图形全等 ②对应点所连的线段　 　且平行（或在同一条直线上） 平移方向 平移距离 位置 相等 点击回到目录 知识点 2 对称 1.轴对称与中心对称   轴对称 中心对称 定 义 把一个图形沿某条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做　 　，能够重合的点叫做________　 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做　　 ，能够重合的点叫做________ 对称轴 对称点 对称中心 对称点 点击回到目录 图 形 性 质 ①成轴对称的两个图形______　 ②任意一对对称点所连的线段被对称轴__________　 ③如果对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 ①成中心对称的两个图形________　 ②任意一对对称点所连的线段经过　__________，并且被对称中心______　 全等 垂直平分 全等 对称中心 平分 （续表） 点击回到目录 2.轴对称图形和中心对称图形 ①定义 轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够　 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做　 　. 中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形　 　，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做　 　. ②轴对称与轴对称图形、中心对称与中心对称图形的关系 区别：轴对称与中心对称都是研究两个图形的，轴对称图形和中心对称图形都是研究一个图形的. 完全重合 对称轴 完全重合 对称中心 点击回到目录 联系：当把轴对称和中心对称研究的两个图形看成一个整体时，这个整体就是轴对称图形和中心对称图形，当轴对称图形和中心对称图形被对称轴和过对称中心的直线分成两个图形时，这两个图形就成轴对称和中心对称. ③常见的轴对称图形和中心对称图形 常见的轴对称图形：角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆等. 常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆等. 3.图形的折叠的性质：位于折痕两侧的图形关于折痕所在直线成轴对称，折痕所在的直线是对称轴；折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、周长和面积相等；折叠前后，对应点的连线被折痕垂直平分. 点击回到目录 知识点 3 旋转 1.旋转 定义 在平面内，把一个图形绕着定点O转动一个角度，得到另一个图形，这种变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做_______　 图形 要素 　 　，　 　，___________　 旋转角 旋转中心 旋转角 旋转方向 点击回到目录 性质 ①旋转前后的图形_______　 ②对应点到旋转中心的距离______　 ③对应点与旋转中心的夹角　 　旋转角 备注 点在旋转过程中形成的痕迹是圆弧；中心对称是特殊的旋转 全等 相等 等于 （续表） 点击回到目录 2.旋转对称图形 把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，如果旋转后的图形能够与原来的图形　 　，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个点叫做　 　. 完全重合 旋转中心 点击回到目录 知识点 4 位似 定 义 一般地，如果一个图形上的点A1，B1，…，P1和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足下面两点： ①直线AA1，BB1，…，PP1都经过同一点O； ②＝＝…＝＝k， 那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做　 　，k叫做位似比 图 形 位似中心 点击回到目录 性 质 ①位似的两个图形　 　，且相似比等于位似比 ②任意一对对应点到位似中心距离之比等于________　 ③对应点的连线经过位似中心 备 注 ①如果两个位似的图形的任意一对对应点在位似中心的同一侧，那么这两个图形叫做同侧位似；如果两个位似的图形的任意一对对应点在位似中心的异侧，那么这两个图形叫做异侧位似 ②相似的两个图形不一定位似 相似 位似比 （续表） 点击回到目录 2 中考真题在线 1.（2020·安徽）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的 等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C， E重合.现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重 合时停止移动.在此过程中，设点C移动的距离为x，两 个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　） A B C D 命题点 1 图形的平移 A 点击回到目录 命题点 2 图形的轴对称（折叠） 2.（2020·安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处.折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处.请完成下列探究：   （1）∠PAQ的大小为　 　； （2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为　 . 30° 点击回到目录 命题点 3 图形的旋转 3.（2023·安徽）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA 绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD. （1）如图1，求∠ADB的大小； 【解答】（1）∵M是AB的中点，∴MA＝MB，由旋转的性质得：MA＝MD＝MB， ∴∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD. ∵∠MAD＋∠MDA＋∠MDB＋∠MBD＝180°， ∴∠ADB＝∠MDA＋∠MDB＝90°， 即∠ADB的大小为90°; 点击回到目录 （2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB. （ⅰ）如图2，连接CD，求证：BD＝CD； 【解答】（2）（i）证法一：如图，延长BD，AC交于点F，则 ∠BCF＝90°， ∵ME⊥AD，∠ADB＝90°，∴EM∥BD. 又∵DE∥AB，∴四边形BDEM是平行四边形，∴DE＝BM. ∵M是AB的中点，∴AM＝BM，∴DE＝AM，∴四边形AMDE是平行四边形. ∵ME⊥AD，∴平行四边形AMDE是菱形，∴AE＝AM. ∵EM∥BD，∴，∴AB＝AF. ∵∠ADB＝90°，即AD⊥BF，∴BD＝DF，即点D是Rt△BCF斜边的中点，∴BD＝CD； 点击回到目录 证法二：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M是斜边AB的中点， ∴点A，C，D，B在以M为圆心，AB为直径的☉M上， ∵ME⊥AD，∴ME垂直平分AD，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE. ∵DE∥AB，∴∠DAB＝∠ADE，∴∠EAD＝∠BAD，∴BD＝CD； 证法三：∵∠ADB＝90°，∴AD⊥BD， ∵ME⊥AD，∴ME∥BD.∵ED∥BM，∴四边形EMBD是平行四边形， ∴DE＝BM＝AM，∵DE∥AM，∴四边形EAMD是平行四边形. ∵EM⊥AD，∴平行四边形EAMD是菱形，∴∠BAD＝∠CAD， 又∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴A，C，D，B四点共圆， ∴，∴BD＝CD； 点击回到目录 （ⅱ）如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值. 【解答】（ii）如图，过点E作EH⊥AB于点H，则∠EHA＝∠EHB＝90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝10. ∵四边形EAMD是菱形， ∴AE＝AM＝AB＝5， ∵sin∠CAB＝， ∴EH＝AE·sin∠CAB＝5×＝3，∴AH＝＝4， ∴BH＝AB－AH＝10－4＝6， ∴tan ∠ABE＝. 点击回到目录 命题点 4 网格中的图形变换 4.（2024·安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）. 点击回到目录 （1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； 【解答】（1）如图，△A1B1C1即为所求； 点击回到目录 （2）直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积； 【解答】 （2）40； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的 坐标. 【解答】 （3）（3，0）或（4，2）或（5，4）或（6，6）（写出一个即可）. 点击回到目录 5.（2023·安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）. 点击回到目录 （1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1； 【解答】（1）线段A1B1如图所示； （2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平 移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2； 【解答】 （2）线段A2B2如图所示； （3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N， 使得直线MN垂直平分AB. 【解答】 （3）直线MN即为所求. 点击回到目录 命题点 5 旋转和位似 6.（2018·安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成 的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点. （1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原 来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画 出线段A1B1； 【解答】（1）如图所示，线段A1B1即为所求； 点击回到目录 （2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1； 【解答】（2）如图所示，线段A2B1即为所求； （3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　 　个平方单位. 【解答】（3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，∴四边形AA1B1A2的面积是 ＝20.故答案为：20. 20 点击回到目录 3 典例串讲训练 （图形的平移）如图，将△ABE向右平移得到△DCF，如果△ABE的周长是16 cm，四边形ABFD的周长是20 cm，那么平移的距离为（　　）   　　A.1 cm　 B.2 cm　 C.3 cm　 D.4 cm B 点击回到目录 1.如图，线段AB与CD相交于点O，且∠BOD＝60°，连接AC，分别将AB和AC平移到CC'，BC'的位置.若AB＝CD＝a，连接DC'，则DC'的长为（　　） A.a B.a C.a D.a B 点击回到目录 （轴对称图形与中心对称图形）（2024·青岛）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） D 点击回到目录 （图形的旋转）（2024·蚌埠三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，将△ABC绕点B顺时针转60°，得到△BDE，连接CE，则CE的长为　 　. 3＋3 点击回到目录 2.（2023·无锡）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F.当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（　　）   A.80°　　 B.85°　　 C.90°　　 D.95° B 点击回到目录 （图形的位似）如图，在平面直角坐标系中已作出△ABC的位似图形△A1B1C1.  点击回到目录 （1）在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标； 【解答】（1）M点的位置如图所示，M（0，2）； （2）若以点A1为位似中心，请在图中给定的网格内画出△A1B1C1的位似图形△A1B2C2，且△A1B1C1与△A1B2C2的位似比为2∶1. 【解答】 （2）△A1B2C2如图所示. 点击回到目录 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）. （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； 【解答】（1）如图，△A1B1C1为所作； 点击回到目录 （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2∶1，并写出点B2的坐标. 【解答】 （2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（－4，－6）. （续表） 点击回到目录 （坐标系中的图形变换与坐标变化）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（　　）   A.（2，0） B.（－2，－3） C.（－1，－3） D.（－3，－1） C 点击回到目录 点P（x，y）向右（或左）平移a（a＞0）个单位，对应点的坐标为（x＋a，y）（或（x－a，y））；点P（x，y）向上（或下）平移b（b＞0）个单位，对应点的坐标为（x，y＋b）（或（x，y－b））；点P（x，y）关于x轴（y轴）对称，对应点的坐标为（x，－y）（或（－x，y））；点P（x，y）关于原点对称，即绕原点旋转180°，对应点的坐标为（－x，－y）. 点击回到目录 4.如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为 ，线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线 段OA'，则点A'的坐标为（　　） A.（－5，2） B.（5，2） C.（2，－5） D.（5，－2） A 点击回到目录 5.（2024·淄博）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（－3，1），B（－1，3），将线段AB平移得到线段CD.若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是　 　. （3，4） （续表） 点击回到目录 （图形变换下的推理与计算）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD，BD. 　　　 （1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，求∠ADB的度数； 【解答】（1）由题意得，CA＝CD＝CB，∴点A，D，B都在以 C为圆心，CA长为半径的☉C上，如图，在优弧上取点G， 连接AG，BG，∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∴∠BGA＝45°， ∵四边形ADBG是圆内接四边形，∴∠ADB＝180°－45°＝135°； 点击回到目录 （2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时， ①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数； 【解答】（2）①补全图形，如图，由题意得，CA＝CD＝CB，∴点A，D，B都在以C为圆心，CA长为半径的☉C上，∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∴∠ADB＝45°； 点击回到目录 ②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE.用等式表示线段AD，CE，BE之间的数量关系，并证明. 【解答】 ② 2BE－AD＝CE.证明如下： 如图，过点C作CH⊥EC交ED的延长线于点H，∵CD ＝CB，CE是∠BCD的平分线，∴CE是线段BD的垂直 平分线，∴BE＝DE，∠EFD＝90°，由①知∠ADB＝ 45°，∴∠DEF＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形， ∴∠DEF＝∠H＝45°，CE＝CH，∵CD＝CA，  ∴∠CAD＝∠CDA，∴∠CAE＝∠CDH，∴△AEC≌△DHC，∴AE＝DH， ∴EH＝2ED－AD＝2BE－AD， ∵△CEH是等腰直角三角形，∴2BE－AD＝CE. 点击回到目录 解决旋转问题时，要应用旋转的性质：1.对应点到旋转中心的距离相等；2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3.旋转前后的图形全等. 点击回到目录 6.如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC，点O为 BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C 重合），将△ACD沿AD折叠得到△AED，连接BE. （1）当AE⊥BC时，∠AEB＝　 　； 【解答】（1）∵∠ABC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，∴∠BAE＝60°， ∵将△ACD沿AD折叠得到△AED， ∴AC＝AE，∴AB＝AE，∴∠AEB＝60°，故答案为：60°； 60° 点击回到目录 （2）探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明. 【解答】（2）∠AEB＝30°＋∠CAD，证明如下： ∵将△ACD沿AD折叠得到△AED， ∴AE＝AC，∠CAD＝∠EAD， ∵∠ABC＝30°，AB＝AC，∴∠BAC＝120°，∴∠BAE＝120°－2∠CAD， ∵AB＝AE＝AC，∴∠AEB＝＝30°＋∠CAD. （续表） 点击回到目录 $$