精品解析：广东省中山市2024-2025学年上学期期末水平测试九年级数学

中山市2024-2025学年上学期期末水平测试试卷 九年级数学 （测试时间： 120分钟， 满分： 120分） 温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷． 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：、既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、方程为一元一次方程，不符合题意； B、方程是二元一次方程，不符合题意； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程是分式方程，不符合题意， 故选：C． 3. “翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【详解】解：“翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件是随机事件， 故选：A． 4. 抛物线 的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线 的对称轴是y轴，即直线， 故选：． 5. 如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，长方形性质，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．记，，旋转后的对应点为，，，交于点．利用旋转的性质，长方形性质，平行线性质得到，即可解题． 【详解】解：记，，旋转后的对应点为，，，交于点． 由旋转的性质可知四边形为长方形， ， ， ， ， 旋转角可以为， 故选：A． 6. 《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰．书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒米内夹谷粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 石 B. 石 C. 石 D. 石 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了样本估算总体，设这批米内夹谷约有石，由题意得，求出解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设这批米内夹谷约有石， 由题意得：， 解得：， 故选：． 7. 如图，内接于， 是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理求出、，再根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：B． 8. 某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，找出降价后的盈利与销售量是解题的关键． 根据题意，设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克，由此列式即可求解． 【详解】解：已知原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，每千克降价元，那么每天可多售出， 设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克， ∴， 故选：B ． 9. 如图，正六边形边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形，求扇形的面积．先求出正六边形的一个内角的度数，再利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 10. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”． 已知点，，，分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数性质，圆的半径相等的性质，勾股定理，连接，根据抛物线解析式求出，，，，，利用勾股定理求出，即可得到的长度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，     由抛物线解析式得， 当时，， ∴点的坐标为， ∴， 令，则，解得：，， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 即这个“果圆”被轴截得的线段的长为， 故选：． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知是一元二次方程 的一个根，则m的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得：， 故答案为：2． 12. 二次函数的顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：的顶点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要是根据顶点式解析式写出顶点坐标的方法的考查，需熟记． 13. 如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单概率公式计算概率即可． 本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：一共有5种等可能性，其中从东面出口出来的可能性有3种， 故从东面出口出来的概率为． 故答案为：． 14. 如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形． 球的半径为， 瓶内液体的最大深度， 则截面圆中弦的长为_____________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键．根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【详解】解：在中，设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：16． 15. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点间的距离，连接，分别交于点，由，，，则为中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出，从而转化为转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值，即有，再求出，代入即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，分别交于点， ∵，，， ∴为中点， ∵， ∴， ∴转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题 （ 一）：本大题共3 小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程： 【答案】. 【解析】 【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值，代入求根公式即可求出解． 【详解】 ∴ ∴原方程的解为 【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 17. 已知关于x的一元二次方程 （1）若该方程有实数根，求m取值范围； （2）若时，该方程的根为等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元二次方程-公式法、三角形三边关系及等腰三角形的性质，熟知一元二次方程根的判别式及等腰三角形的性质是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）将代入，求出方程的解，再结合三角形三边的关系即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题知，因为该方程有实数根， 所以， 解得， 所以m的取值范围是． 【小问2详解】 解：将代入方程得，， 解得，． 当1为腰时， ， 所以此情况不存在． 当3为腰时， ， 此时等腰三角形的周长为：． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到的； （2）求点C旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换作图、弧长公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）将三个顶点绕点A逆时针旋转得到对应点，再顺次连接即可得到； （2）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：如图， ， 点C旋转到点的过程中所经过的路径长为． 四、解答题 （二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______； （2）请补全条形统计图； （3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率． 【答案】（1）240，35 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考音了统计图． （1）根据：该项所占的百分比该项人数÷总人数．两图给出了“跷脚牛肉”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“钵钵鸡”的人数； （2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“甜皮鸭”的人数，再补全条形图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：本次抽取的游客总人数为(人)， ， 故答案为：240，35； 【小问2详解】 “甜皮鸭”对应的人数为(人)， 补全图形如下： 【小问3详解】 假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”， 画树状图如图所示， 共有12种等可能的结果数，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数为2， ∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是． 20. 【问题情境】 如图是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线． 以点为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为轴，所在直线为轴，点，为水花的落水点在轴上，其中右侧抛物线的解析式为． 【问题解决】 （1）求喷水管的高度； （2）现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为，求喷水管要降低的高度． 【答案】（1）喷水管的高度为； （2）喷水管要降低的高度为． 【解析】 【分析】（）将代入，求出相应的的值即可； （）先设喷水管要降低的高度，然后可知是使得后来的函数解析式的值为，再求出相应的降低的高度即可； 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， 即喷水管的高度为； 【小问2详解】 解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为 ， 将代入，可得， ∵现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为， ∴是方程的根， ∴， 解得：， 答：喷水管要降低的高度为． 21. 【阅读材料】解一元二次不等式： ． 解：设 ，解得：，，则抛物线 与x轴的交点坐标为和 ． 画出二次函数 的大致图象 （如图所示）， 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即 ，所以一元二次不等式． 的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： 【数学理解】（1） 请直接写出一元二次不等式． 的解集； 【拓展探索】（2） 用类似的方法解一元二次不等式： ． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识点，理解二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题干提供的思路求出一元二次不等式的解集即可； （2）先求出的解，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，大致画出画出抛物线，根据确定一元二次不等式的解集即可． 【详解】解：（1）一元二次方程的解为，， 由图象可知：当时函数图象位于x轴下方，此时，即 ， ∴一元二次不等式的解集为：． （2）设 ， 解得：，， 则抛物线与x轴的交点坐标为和 ， 画出二次函数 的大致图象，如图所示： 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即 ， ∴一元二次不等式的解集为：或． 五、解答题 （三 ）： 本大题共2小题， 第22题13分， 第23题14分， 共27分．题21图 22. 如图1， 在中，，， 经过A，C两点的交于点D， 连接并延长线交于点 F， 作交于点E． （1）求证： 为的切线； （2）若，，求的长； （3）如图2， 将绕点C逆时针旋转到，点F和点G对应， 连接，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接，先得出为等腰直角三角形，求出，进而得出，根据平行线的性质得出，进而可得出，即可得出结论； （2）作，垂足为 M，由（1）可知为等腰直角三角形，先求出，，进而根据勾股定理得出结论； （3）连接，由题意可知：，，先证明，再证明，得出，得出答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线； 【小问2详解】 如图 2，作，垂足为 M， 由（1）可知为等腰直角三角形， ∵ ，，，， ∴，， ∵在中，，， ∴； 【小问3详解】 如图 3，连接，由题意可知：，， ∵， ， ∴， ∵在与中， ，，， ∴， ∵， ∴， 即． 23. 【综合探究】 如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若，求此时点坐标； （3）是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（）把点， 点代入即可求解； （）由抛物线的解析式为，求出，再利用待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故有，，再通过列出方程，然后解方程即可； （）分当时和当时两种情况分析即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（）得：抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由： ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市2024-2025学年上学期期末水平测试试卷 九年级数学 （测试时间： 120分钟， 满分： 120分） 温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷． 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. “翻开人教版《数学九年级上册》课本恰好翻到二次函数部分”这个事件（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 4. 抛物线 对称轴是直线（ ） A B. C. D. 5. 如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ） A. B. C. D. 6. 《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰．书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒米内夹谷粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 石 B. 石 C. 石 D. 石 7. 如图，内接于， 是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”． 已知点，，，分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知是一元二次方程 的一个根，则m的值为____________． 12. 二次函数的顶点坐标是___________． 13. 如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为_____． 14. 如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形． 球的半径为， 瓶内液体的最大深度， 则截面圆中弦的长为_____________． 15. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是______． 三、解答题 （ 一）：本大题共3 小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程： 17. 已知关于x的一元二次方程 （1）若该方程有实数根，求m的取值范围； （2）若时，该方程的根为等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到的； （2）求点C旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 四、解答题 （二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______； （2）请补全条形统计图； （3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率． 20. 【问题情境】 如图是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线． 以点为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为轴，所在直线为轴，点，为水花的落水点在轴上，其中右侧抛物线的解析式为． 【问题解决】 （1）求喷水管的高度； （2）现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为，求喷水管要降低的高度． 21. 阅读材料】解一元二次不等式： ． 解：设 ，解得：，，则抛物线 与x轴的交点坐标为和 ． 画出二次函数 的大致图象 （如图所示）， 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即 ，所以一元二次不等式． 的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： 【数学理解】（1） 请直接写出一元二次不等式． 的解集； 【拓展探索】（2） 用类似的方法解一元二次不等式： ． 五、解答题 （三 ）： 本大题共2小题， 第22题13分， 第23题14分， 共27分．题21图 22. 如图1， 在中，，， 经过A，C两点的交于点D， 连接并延长线交于点 F， 作交于点E． （1）求证： 为的切线； （2）若，，求的长； （3）如图2， 将绕点C逆时针旋转到，点F和点G对应， 连接，求的大小． 23. 【综合探究】 如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若，求此时点的坐标； （3）是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $